Тема «Объем конуса»

План урока

I. Организационный момент.
II. Повторение основных сведений о конусе.
III. Историческая справка.
IV. Объяснение нового материала.
V. Решение задач на объем конуса (3 задачи).
VI. Дополнительная информация о конусе.
VII. Задание на дом.
VIII. Подведение итогов.
IX. Резервные устные вопросы.

I. Организационный момент

Учащимся сообщается план урока.

II. Повторение основных сведений о конусе

1. Определение прямого кругового конуса.
2. Сечения конуса (высветить кодопозитивы).
3. Площадь поверхности конуса.

 III. Историческая справка

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287–212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Платон был учеником Сократа (470–399 гг. до н. э.). Он в 387 г. до н. э. основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.

Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260–170 гг. до н. э.) – учеником Евклида (III в. до н. э.), который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.

Объем конуса

1-е доказательство (рис. 1).

2-е доказательство.

За величину объема конуса принимается предел, к которому стремится объем правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном удвоении числа сторон ее основания.

3-е доказательство (рис. 2).

Задача 1. Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м³ земли имеет массу 1650 кг?

Решение (рис. 3).

Задача 2. Высветить слайд «Сбор смолы с сосен».

Дано:

коническая воронка
D = 10 см
L = 13 см
V – ?

Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро?

Решение (рис. 4).

Задача 3. Прослушаем фонограмму старинной легенды восточных народов, рассказанной А.С. Пушкиным в «Скупом рыцаре».

«... Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу.
И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли.»

Это одна из немногих легенд, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Докажите геометрически, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм».

Войско в 100 000 воинов считалось очень внушительным.

V = 0,2ж100 000 = 20 000 дм³ = 20 м³.

Угол откоса Ј 45°, иначе земля начнет осыпаться. Возьмем угол откоса наибольшим возможным, т. е. 45° (рис. 5).

Итак,

дано:

конус
V = 20 м³
a = 45°
Найти: H_конуса

Решение.

Так как H = R, то

Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу в 2,7 м ( человеческих роста) назвать «гордым холмом». Сделав расчет для меньшего угла, мы получили бы еще более скромный результат.

У Аттилы было самое многочисленное войско, которое знал древний мир. Историки оценивают его в 700 000 человек. К сведению, Аттила – предводитель гуннов, кочевого народа, сложившегося в Приуралье из многих племен. Массовое передвижение гуннов на запад (с 70-х гг. IV в.) дало толчок «великому переселению народов». Наибольшего могущества гуннская держава достигла при Аттиле (?–453 гг.), который возглавил опустошительные походы в Восточно-Римскую империю (413 г., 447 г., 448 г., 451 г.). Но в 451 году на Каталаунских полях (равнина в северо-восточной Франции к западу от города Труа) войска Западно-Римской империи в союзе с франками, вест-готами, бургундами, аланами и др. разгромили гуннов во главе с Аттилой, что привело к распаду гуннской державы.

Если бы все воины Аттилы участвовали в насыпании холма, образовалась бы куча повыше вычисленной нами, но не очень. Советую вам самим дома вычислить высоту кургана и подумать, удовлетворила бы такая высота честолюбие Аттилы или нет.

VI. Дополнительная информация о конусе

1. В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.
2. В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
3. «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.
4. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности (рис. 6). Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.

5. В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает (рис. 7). Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

1. Прямоугольный равнобедренный треугольник вращается вокруг оси, проходящей через вершину прямого угла и параллельной гипотенузе. Найти объем тела вращения, если гипотенуза равна 2a.
2. Вычислить вес гранитного скального выступа «Жандарм на гребне» между пиком «Туюксу» (4100 м) и «Иглы Туюксу» (4123 м) (Северный Тянь-Шань, хребет Заилийский Алатау).
3. Вычислить, на какую высоту мог бы подняться Аттила, если его войско составляло 700 тыс. человек.

VIII. Подведение итогов

Итак, мы с вами расширили понятие и представление о конусе, вывели формулу объема конуса, научились применять эту формулу при решении задач. Вопрос о конусе важен, так как конические детали имеются во многих машинах и механизмах. В автомобилях, танках, бронетранспортерах – конические шестерни; носовая часть самолетов и ракет имеет коническую форму.

IX. Резервные устные вопросы

Высветить через кодоскоп следующий кодопозитив (рис. 8):

Как найти объем тела, полученного при вращении каждой фигуры относительно изображенной оси?

Окончание урока

Слова Яна Амоса Коменского: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию».

Литература

1. Гарднер. Математические досуги.
2. История древнего мира. 6 класс.
3. Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах.
4. Лиман. Школьникам о математике и математиках.
5. Перельман. Занимательная геометрия. – 1935.
6. Погорелов. Учебник геометрии, 6–10.
7. Смышляев. О математике и математиках. – 1977.
8. Фокин. Сборник задач с военным содержанием (для суворовских училищ).
9. Энциклопедический словарь юных математиков. – 1985.
10. Энциклопедический словарь. – 1986.