Л. Мигина,
школа № 5, г. Пенза

Решение уравнений с применением оригинальных приемов

Пособие содержит примеры решения иррациональных, тригонометрических, логарифмических и других уравнений, решаемых нетрадиционными методами. Многие задачи взяты из вступительных заданий в вузы г. Пензы за последние годы.

Целью пособия является оказание помощи выпускникам школ и абитуриентам при подготовке к экзаменам, а также учителям. Пособие содержит задачи для самостоятельной работы и ответы к каждому заданию.

Считаю, что данные методы не единственные и, возможно, не самые рациональные для данных уравнений.

I. Решение иррациональных уравнений

1.1. Метод подстановки.

1. Решите уравнение

Решение. Заметим, что знаки x под радикалом различные. Введем обозначения:

Тогда 9 – x = a³, 7 + x = b³. Почленно сложим обе части уравнения: 16 = a³ + b³.
Имеем систему уравнений

Так как a + b = 4, то (a + b)² = 16, a² + b² = 16 – 2ab,

Значит, 

следовательно, x = 1.

Ответ: x = 1.

2. Решите уравнение

Решение. Введем обозначения: 

Значит,  17 + x = a⁴, 17 – x = b⁴.

Сложив почленно левую и правую части уравнений, имеем:  a⁴ + b⁴ = 34.

Получаем систему уравнений 

a + b = 2, a² + 2ab + b² = 4, a² + b² = 4 – 2ab,

a⁴ + 2a²b² + b⁴ = 16 – 16ab + 4a²b²;

a⁴ + b⁴ = 16 – 16ab + 2a²b².

Вернемся к системе уравнений   

– 16ab + 2a²b² = 18, a²b² – 8ab – 9 = 0.

Решив уравнение относительно ab, имеем ab = 9, ab = – 1 ( – 1 – посторонний корень, так как aі0, bі0).

Данная система не имеет решений, значит, исходное уравнение также не имеет решения.

Ответ: решений нет.

3. Решите уравнение

Решение. Введем обозначение Тогда

Рассмотрим три случая:

1) 0 Ј a < 1, – a + 1 – a + 2 = 1, решения нет;
2) 1 Ј a < 2, a – 1 – a + 2 = 1, [1; 2);
3) a і 2, a – 1 + a – 2 = 1, a = 2. Решение: [1; 2].

Если 

Ответ: 2Ј xЈ5.

1.2. Метод оценки левой и правой частей (метод мажорант).

Метод мажорант – метод нахождения ограниченности функции. Мажорирование – нахождение точек ограничения функции, M – мажоранта.

Если имеем f(x) = g(x) и известно ОДЗ, и если f(x)Ј M,

1. Решите уравнение

Решение. ОДЗ: 2Ј x Ј 4.

Рассмотрим правую часть уравнения.

Введем функцию y = x² – 6x + 11. Графиком функции является парабола с вершиной A(3; 2). Наименьшее значение функции y(3) = 2, т. е. y = x² – 6x + 11 і 2.

Рассмотрим левую часть уравнения.

Введем функцию С помощью производной нетрудно найти максимум функции, которая дифференцируема на xО(2; 4);

g(3) = 2. Имеем
В результате

Составим систему уравнений, исходя из указанных выше условий:

Решив первое уравнение системы, имеем x = 3. Подставляя это значение во второе уравнение, убеждаемся, что x = 3 – решение системы.

Ответ: x = 3.

1.3. Применение монотонности функции.

1. Решите уравнение

Решение. ОДЗ: x і   0, так как

Известно, что сумма возрастающей функции есть функция возрастающая. Левая часть уравнения

представляет собой возрастающую функцию. Правая часть – линейная функция (k = 0). Графическая интерпретация подсказывает, что корень единственный. Найдем его подбором, имеем x=1.

Доказательство. Предположим, имеется корень x₁, больший 1, тогда так как

Делаем вывод, что корней, больших единицы, нет.

Аналогично можно доказать, что нет корней, меньших единицы. Значит, x=1 – единственный корень.

Ответ: x = 1.

2. Решите уравнение

Решение. , так как

Преобразуем уравнение

Левая часть уравнения представляет собой возрастающую функцию (произведение возрастающих функций), правая часть – линейная функция (k=0). Геометрическая интерпретация показывает, что исходное уравнение должно иметь единственный корень, который можно найти подбором, x=7.

Проверка:

Можно доказать, что других корней нет.

Ответ: x = 7.

II. Использование геометрического смысла определенного интеграла

1. Вычислите

Решение. Выполним замену

Имеем:

7 + 6x – x² = y²,
y² + x² – 6x – 7 = 0,
y² + (x² – 6x + 9) – 9 – 7 = 0,
y² + (x – 3)² = 16.

Используем геометрический смысл определенного интеграла. Криволинейной трапецией, площадь которой равна   является полукруг радиуса 4 с центром в точке (3; 0), ограниченный осью абсцисс и графиком функции. Его площадь равна

Ответ:

Самостоятельная работа

Вычислите интегралы:

III. Логарифмические уравнения

3.1. Метод оценки левой и правой частей.

Решите уравнение log₂ (2x – x² + 15) = x² – 2x + 5.

Решение. Оценим левую часть уравнения:

2x – x² + 15 = – (x² – 2x – 15) = – ((x² – 2x + 1) – 1 – 15) = (– (x – 1)² + 16 Ј 16.

Тогда  log₂ (2x – x² + 15) Ј 4.

Оценим правую часть уравнения:  x² – 2x + 5 = (x² – 2x + 1) – 1 + 5 = (x – 1)² + 4 і 4;

Исходное уравнение может иметь решение только в случае, когда правые части уравнений равны

Ответ: x = 1.

Самостоятельная работа

Решите уравнения:

1. log₄ (6x – x² + 7) = x² – 6x + 11,
2. log₅ (8x – x² + 9) = x² – 8x + 18.
3. log₄ (2x – x² + 3) = x² – 2x + 2.
4. log₂ (6x – x² – 5) = x² – 6x + 11.

Ответы:  1. x = 3.  2. x = 6.  3. x = 1.  4. x = 3.

3.2. Использование монотонности функций, подбор корней.

Решите уравнение  log₂ (2x – x² + 15) = x² – 2x + 5.

Решение. Выполним замену

2x–x²+15=t, t>0. Тогда x²–2x+5=20–t, значит, log₂ t=20–t. Функция y=log₂ t – возрастающая, а функция y=20–t – убывающая. Геометрическая интерпретация дает понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором, t=16. Решив уравнение 2x–x²+15=16, находим, что x=1. Проверкой убеждаемся в верности подобранного значения.

Ответ: x=1.

3.3. Некоторые «интересные» логарифмические уравнения.

Решите уравнение

Решение. ОДЗ: (x – 15) cos x > 0. Перейдем к уравнению

Перейдем к равносильному уравнению

(x – 15)(cos² x – 1) = 0.
x – 15 = 0, x = 15;

или  cos² x = 1, cos x = 1, x = 2pk, kОZ

или   cos x = – 1, x = p + 2pl, lОZ.

Проверим найденные значения, подставив их в ОДЗ:

1) если x=15, то (15 – 15)cos15>0, 0>0 – неверно; x=15 не является корнем уравнения;
2) если x=2pk, kОZ, то (2pk – 15)·1 > 0, 2pk > 15. Заметим, что 15»5p.
Имеем k>2,5, kОZ, k = 3, 4, 5...;
3) если x=p +2p l, l Э Z, то (p +2p l – 15)(– 1) > 0, p + 2p l<15, 2p l < 15 – p. Заметим, что 15»5p. Имеем: l < 2, l = 1, 0, – 1, – 2...

Ответ: x = 2pk (k = 3, 4, 5, 6...), x = p + 2p l (l = 1, 0, – 1, – 2, ...).

IV. Тригонометрические уравнения

4.1. Метод оценки левой и правой частей уравнения.

Решите уравнение cos 3x cos 2x = – 1.

Решение. Способ I.

0,5(cos x + cos 5x) = – 1, cos x + cos 5x = – 2.

Поскольку cos x l – 1, cos 5x l – 1, заключаем, что cos x + cos 5x > – 2, откуда следует система уравнений Решив уравнение cos x = – 1, получим x = p + 2pk, где kОZ. Эти значения x являются также решениями уравнения cos 5x = – 1, так как

cos 5x = cos 5(p + 2pk) = cos (p + 4p + 10pk) = – 1.

Таким образом, x = p + 2pk, где kОZ – это все решения системы, а значит, и исходного уравнения.

Ответ: x = p(2k + 1), kОZ.

Способ II. Можно показать, что из исходного уравнения следует совокупность систем Решив исходную систему уравнений, найдем объединение корней.

Ответ: x = (2pk + 1), kОZ.

Самостоятельная работа

Решите уравнения:

Ответы:  1. Нет решений.  2. Нет решений.  3. x = 2pk, kОZ.
 6. Поскольку данное уравнение равносильно системе x = 4pm, mОZ.
7. x = 8pk, kОZ.
9. x = p + 4pk, kОZ.

4.2. Уравнения, связанные с тригонометрическими уравнениями.

Решите уравнение | x + 5 | sin x = x + 5.

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Решением этой системы является x = – 5, а также корни уравнения sin x = 1, удовлетворяющие условию xі – 5,

Решением этой системы являются корни уравнения sin x = – 1, удовлетворяющие условию

Ответ: – 5; + 2pk (k = – 1, 0, 1...); –  + 2pm (m = – 1, – 2, – 3...).

Самостоятельная работа

Решите уравнения:

1. | x + 3 | sin x = x + 3.

2. 2| x – 6 | cos x = x – 6.

3. 

Ответы:

 1.

2.

3. ОДЗ: Возведем обе части уравнения в квадрат: 

Решим данное уравнение (cos x№0, см. ОДЗ).

cos² x(x + 18)–(x + 18)=0,  (cos² x–1)(x + 18)=0, cos x=1, x=2pk, kОZ;
cos x= – 1, x = p + 2pm, m О Z или x = – 18.

Произведем отбор корней в соответствии с ОДЗ.

1) x = – 18, (– 18 + 18) cos 18і0 (заметим, что угол, выраженный в радианах, принадлежит IV четверти, 18№5,7p). cos 18 і 0 – верно.

2) x = 2pk, (2pk + 18) cos 2pkі0, так как cos 2pk=1, то 2pkі –18, 2pkі– 5,7p, kі– 2,85, k = – 2, – 1, 0, 1...

3) x=p +2pm, (p+2pm + 18)cos (p + 2pm)і0, так как cos(p +2pm)= – 1, то p+2pm+18Ј 0, p + 2pmЈ – 18, 2pmЈ – 5,7p – p, mЈ – 3,35, m = – 4, – 5, – 6...

Ответ: – 18; 2pk, k = – 2, – 1, 0, 1...; p + 2pm, m = – 4, – 5, – 6, – 7...