Т. Косякова, г. Краснодар

Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений, содержащих параметры

Урок по теме
«Решение линейных уравнений, содержащих параметры»

Цели урока: закрепить навык решения линейных уравнений с параметром; использовать полученные навыки при решении нестандартных задач.

Тип урока: систематизации и обобщения.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания.
2. Пример 1. При каких значениях параметра a уравнения ax=12 и 3x=a имеют общие корни?

a₁ = 6 и a₂ = – 6.

Ответ: a = 6, a = – 6.

Пример 2. При каком значении параметра b уравнение (x–b+1)²–(x+b–1)²=2x+6  имеет:

а) положительный корень;
б) отрицательный корень;
в) корень, равный нулю?

Решение.

(x–b+1)²–(x+b–1)²=2x+6,
(x–b+1+x+b–1)(x–b+1–x–b+1)=2x+6,
2x(2–2b)=2x+6, x(1–2b)=3.

в) Так как уравнение корней не имеет, то ни при каком значении параметра b исходное уравнение не будет иметь корень, равный нулю.

Ответ:

Пример 3. Решите уравнение

1) При a = 0 выражение не имеет смысла.

2)  то исходное уравнение не имеет корней.

3) 

Ответ: если a = 0, a = – 1, то корней нет; 

Пример 4. Графики функций  y=(4 – a)x+a и y=ax+2 пересекаются в точке с абсциссой, равной –2. Найдите ординату точки пересечения.

3a – 8 = – 2a + 2, 5a = 10, a = 2,
y = – 4 + 2 = – 1.

Ответ: – 2.

Пример 5. Графики функций  y=kx–4 и y=2x+b симметричны относительно оси абсцисс.

а) Найдите b и k.
б) Найдите точку пересечения этих графиков.

Решение. Графики симметричны относительно оси абсцисс, следовательно, b=4.
Получаем систему:

В результате y=2x+4 и y= –2x–4; точка пересечения графиков (– 2; 0).

Ответ: а) b = 4, k = – 2; б) (– 2; 0).

Пример 6. Решите уравнение | x – 2 | + | x + a | = 0.

Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательно, то можно перейти к системе:

Ответ: если a = – 2, то x = 2; если , то решений нет.

Пример 7.* Решите уравнение |x+2|+|a(x–1)|=0.

(Предложите ученикам решить самостоятельно примеры 7 и 8, а затем подробно разобрать решение на доске.)

Ответ: если a = 0, то x = – 2; если то решений нет.

Пример 8. Решите уравнение |x+2|+a²|x|=0.

Ответ: если a = 0, то x = – 2;  если то решений нет.

Задание на дом.

Решите уравнения:

Ответы:

а) если a = 2, то решений нет;
б) то x = a; если a=2, то решений нет;
в) если aі0, то x₁=a, x₂=–a; если a<0, то решений нет;
г) если m = 3, то x – любое число из R; если m= –3, m=0, то корней нет; если m№–3, m№0, m№3, то
д) если n=1, то x – любое число; если n=0, n=–5, то корней нет; если n=1, n№0, n№–5, то

Урок по теме
«Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры»

Цели урока: формировать умение решать системы линейных уравнений, содержащих параметры; осуществить оперативный контроль и самоконтроль учащихся; развивать исследовательскую и познавательную деятельность школьников.

Тип урока: введение нового материала.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания.
2. Введение нового материала.

Говорят, что дана система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными x и y, если требуется найти пары чисел (x₀; y₀), являющиеся решениями одновременно и первого, и второго уравнения.

Если то система имеет единственное решение.
Если  то система не имеет решений.
Если  то система имеет бесконечно много решений.

Пример 1. При каких значениях параметра a система

а) имеет бесконечное множество решений;
б) имеет единственное решение?

Решение.

Ответ: а) если a=4, то система имеет бесконечное множество решений; б) если то решение единственное.

Пример 2. Решите систему уравнений

Решение. система имеет единственное решение.

1–ym–y=n–2y, –ym+y=n–1;

исходная система решений не имеет.

система имеет бесконечно много решений.

Ответ: если m=1 и n№1, то решений нет; если m = 1 и n = 1, то решений бесконечное множество, если m № 1 и n – любое, то

Пример 3. (Предложите ученикам выполнить это задание самостоятельно с последующей проверкой.) Решите систему уравнений

Решение.

Пример 4. Определите, при каком условии уравнение

а) имеет единственное решение;
б) имеет бесконечно много корней;
в) не имеет корней.

Решение.

– при этом условии уравнение корней не имеет.

– при этом условии решение исходного уравнения есть любое число из R.

Ответ:
б) если a = 0 или b = 0, то x – любое число;
в) если 2b = a, a № 0, b № 0, то корней нет.

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. При каком значении k система имеет бесконечное множество решений?

2. Решите систему уравнений

Вариант 2

1. При каком значении d система не имеет решений?

2. Решите систему уравнений

Ответы

В-1.  1. k = 2,5.  2. Если b = 0, c = 0, то решений нет; если b = c, d № 0, a – любое число, то решений нет; если a = 0, b, c, d – любые числа, то решений нет; если c № 0, b № 0, a № 0, b № c, d – любое число, то если b = c, d = 0, то

В-2.  1. d = – 20.  2. Если b = 0, c = 0, то решений нет; если c = – b, то решений нет; если b № 0 и c № 0, c № – b, то если c = – b и dbc = ac, то

Задание на дом.

1. При каких значениях параметра b система уравнений

а) имеет бесконечное множество решений;
б) не имеет решений?

2. Графики функций y = ax + 3 и y = (2 – a)x + a пересекаются в точке с абсциссой – 1. Найдите ординату точки пересечения графиков.

3. Графики функций y = 4x + b и y = kx + 6 симметричны относительно оси ординат.

а) Найдите b и k.
б) найдите координаты точки пересечения этих графиков.

4. Решите систему уравнений

Ответы:  1. а) b = 10; б) b № 10.  2.  3. а) b = 6, k = – 4; б) (0; 6).  4. Если mn = – 1 и m ­ 1, n ­ – 1, то решений нет; если m = 1 и n = – 1, то x – любое число, y = 1 + mx; если mn № 1 и n № – 1, m № 1, то

Урок по теме
«Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений, содержащих параметры»

Цели урока: обобщить и систематизировать полученные знания; подготовиться к контрольной работе.

Тип урока: урок-практикум.

Ход урока

1. Анализ самостоятельной работы.

2. Практическая работа.

Класс делится на четыре группы. В группу входят ученики с разным уровнем знаний. Весь урок они выполняют задания учителя, работают самостоятельно. В каждой группе назначается консультант (сильный ученик). Учитель оказывает помощь, отвечает на вопросы, указывает на ошибки. В конце урока группа, наиболее успешно справившаяся с заданием, поощряется хорошими оценками.

Задание.

1. Решите уравнения относительно x:

2. При каких значениях параметра b уравнение b(b – 3)x = 10(2b + x) не имеет корней?

3. Решите систему уравнений 

Ответы:  1. а) Если m = 0, то корней нет; если m№0, то
б) если a = 0, то x – любое число; если a№0, то x = 1;
в) если a = – 3, то корней нет; если a№­ – 3, то
г) если c = – 2, c = 2, то корней нет; если c№ – 2, c№ 2, то
д) если a = 0, то уравнение теряет смысл; если a № – 1, то ; если a = – 1, то корней нет;
е) если c = 0, то уравнение теряет смысл; если c№ 4, то x = c + 4; если c = 4, то корней нет;
ж) если m = 0, то уравнение теряет смысл; если m № 4, то x = 4m; если m = 4, то x – любое число.  
2. При b = – 2 и b = 5.  
3. Если k № – 2, то если k = – 2, то система решений не имеет.

Задание на дом.

Решите уравнения:

Ответы: а) если n = 2, то корней нет; если n № 2, то
б) если b = 0, b = 1, то корней нет; если b № 0, b № 1, то
в) если b = 0, то x – любое число; если b № 0, то
г) если b = – 1, то уравнение теряет смысл; если b = 0, то корень уравнения – любое число; если b№ – 1, b№0, то y = b + 1;
д) если n = 0, то уравнение теряет смысл; если n№5, n№0, то y = 5 – n; если n = 5, то корень уравнения – любое число;
е) если p = 0, то уравнение теряет смысл; если p№5, p№0, то если p = 5, то корней нет.

Контрольная работа

Вариант 1

1. Подберите число a так, чтобы уравнение  5x – 4 = 3x + a имело корень:

2. Выясните, имеет ли корни уравнение при заданном значении a:

а) 5x + a = 4x + 1 при a = 3;
б) 4x – a = 4x + 4 при a = – 2.

3. При каком значении a прямые 5x – 3y = 15 и ax + 7y = – 6  пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс?

4. Решите уравнения:

5. При каком значении a система  решений не имеет?

6. Графики функций   y = 3x + b и y = kx – 6 симметричны относительно оси абсцисс.

а) Найдите k и b.
б) Найдите точку пересечения этих графиков.

Вариант 2

1. Подберите число a так, чтобы уравнение  3x + 2 = x – a имело корень:

а) x = – 1;     б) x = 0,3.

2. Выясните, имеет ли корни уравнение при заданном значении a:

а) 7x – a = 3x + 1   при a = 7;
б) 2x + a = 2x – 5  при  a = 4.

3. При каком значении k прямые  4x – y = – 5 и 3x – ky = 15 пересекаются в точке, принадлежащей оси ординат?

4. Решите уравнения:

5. При каком значении a система решений не имеет?

6. Графики функций   y = 0,5x + b и y = kx + 2   симметричны относительно оси ординат.

а) Найдите k и b.
б) Найдите точку пересечения этих графиков.

Ответы

В-1.  1. а) a = – 2; б)
2. а) x = – 2; б) корней нет.  3. a = – 2.  
4. а) x = 3a – 4; б) если a = 0, то корней нет; то корней нет;  6. а) k = – 3, b = 6; б) (– 2; 0).

В-2.  1. а) a = 0; б) a = – 2,6.  2. а) a = 2; б) корней нет.  3. k = – 3.  
4. б) если a = 0, то корней нет; в) если a = – 3, то корней нет;
5.  6. б) (0; 2).

Дополнительные задания.

Решите уравнения относительно x:

1. x – a = 0;
2. x + a = 1;
3. c + x = a – b;
4. x + y= 2;
5. x + a = 2b;
6. y – 3 = a + x;
7. kx + y = 0;
8. 2m – 3xy = 5;
9. 2px = q;
10. 3a2b – 6abx = ab;
11. 7 – 2ab = 3bx;
12. a(b + x) = 3a – (x – a)b;
13. 2a – (a + b)x = (a – b)x;
14. c – (c + a)x = (a – c)x – (b + ax);
15. ax – b(a – x) = c(b – x) – b(c – x);
16. 2x = a;
17. bx = c;
18. xy = 0,5;
19. ax = 1;
20. cx = – y;
21. – ax = b;
22. ax + 8 = 5x – 7;
23. bx – 7 = 2x + 8;
24. ax – 3 = b;
25. b = a(x – 3);
26. 4 + bx = a;
27. 4 = a – (bx – 1);
28. ax + a + 3 = 2a + 5;
29. (a – 2)x = 10 – a;
30. 3 – ax = a + x; 31. ax – a = 2x – 17;
32. (6 – a)x = 5a – 2x;
33.  
34. 
35. При каких значениях параметра c корень уравнения x + c = 3x – 5 является неотрицательным числом?

Литература

1. Голубев В.И., Гольдман А.М., Дорофеев Г.В. О параметрах – с самого начала. – Репетитор, № 2/1991, с. 3–13.
2. Гронштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Необходимые условия в задачах с параметрами. – Квант, № 11/1991, с. 44–49.
3. Дорофеев Г.В., Затакавай В.В. Решение задач, содержащих параметры. Ч. 2. – М., Песпектива, 1990, с. 2–38.
4. Пятьсот четырнадцать задач с параметрами. / Под ред. Тынякина С.А. – Волгоград, 1991.
5. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М., Просвещение, 1986.