школа N№ 80, г. Краснодар
Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры
Урок 4
Тема урока: «Решение дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры».
Цель урока: формировать умение решать дробно-рациональные уравнения, содержащие параметры.
Тип урока: введение нового материала.
1. (Устно.) Решите уравнения:
Пример 1. Решите уравнение 
Решение. 
Найдем недопустимые значения a: 
Ответ. Если 
если a = – 19, то корней нет.
Пример 2. Решите уравнение 
Решение. 
Найдем недопустимые значения параметра a:
10 – a = 5, a = 5;
10 – a = a, a = 5.
Ответ. Если a = 5, то уравнение теряет смысл; если a№5, то x=10–a.
Пример 3. При каких значениях
параметра b уравнение 
имеет:
а) два корня; б) единственный корень?
Решение. 
1) Найдем недопустимые значения параметра b:
x = b, b2(b2
– 1) – 2b3 + b2 = 0, b4
– 2b3 = 0,
b = 0 или b = 2;
x = 2, 4(b2 – 1) – 4b2 + b2
= 0, b2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b = 2 или b = – 2.
2) Решим уравнение x2(b2 – 1) – 2b2x + b2 = 0:
D = 4b4 – 4b2(b2 – 1), D = 4b2.
а) 
Исключая недопустимые значения параметра b, получаем, что уравнение имеет два корня, если b№– 2, b№– 1, b№0, b№1, b№2.
б) 4b2 = 0, b = 0, но
это недопустимое значение параметра b;
если b2–1=0, т. е. b=1
или.
Ответ: а) если b№–2, b№–1, b№0, b№1, b№2, то два корня; б) если b=1 или b=–1, то единственный корень.
Самостоятельная работа
Вариант 1
Решите уравнения:
Вариант 2
Решите уравнения:
Ответы
В-1. а) Если a=3, то
корней нет; если 
б) если 
если a№2,
то корней нет.
В-2. Если a=2, то
корней нет; если a=0, то корней
нет; если 
б) если a=– 1, то уравнение
теряет смысл; если 
то корней нет;
если 
Задание на дом.
Решите уравнения:
Ответы: а) Если a№–2,
то x=a; если a=–2,
то решений нет; б) если a№–2, то x=2;
если a=–2, то решений нет; в)
если a=–2, то x
– любое число, кроме 3; если a№–2, то x=2;
г) если a=–8, то корней нет;
если a=2, то корней нет; если 
Урок 5
Тема урока: «Решение дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры».
Цели урока:
обучение решению уравнений с нестандартным условием;
сознательное усвоение учащимися алгебраических понятий и связей между ними.
Тип урока: систематизации и обобщения.
Проверка домашнего задания.
Пример 1. Решите уравнение 
а) относительно x; б) относительно y.
Решение. 
а) Найдем недопустимые значения y: y=0, x=y, y2=y2–2y,
y=0 – недопустимое значение параметра y.
Если y№0, то x=y–2; если y=0, то уравнение теряет смысл.
б) Найдем недопустимые значения параметра x: y=x, 2x–x2+x2=0, x=0 – недопустимое значение параметра x; y(2+x–y)=0, y=0 или y=2+x;
y=0 не удовлетворяет условию y(y–x)№0.
Ответ: а) если y=0, то уравнение теряет смысл; если y№0, то x=y–2; б) если x=0, то уравнение теряет смысл; если x№0, то y=2+x.
Пример 2. При каких целых значениях
параметра a корни уравнения 
принадлежат промежутку 
Решение.
D = (3a + 2)2 – 4a(a + 1)·2 = 9a2 + 12a + 4 – 8a2 – 8a,
D = (a + 2)2.
Если a № 0
или a № – 1,
то 
Ответ: 5.
Пример 3. Найдите относительно x
целые решения уравнения 
Решение.
Ответ. Если y=0, то уравнение не имеет смысла; если y=–1, то x – любое целое число, кроме нуля; если y№0, y№– 1, то решений нет.
Пример 4. Решите уравнение 
с параметрами a
и b.
Решение.
Если a№– b,
то 
Ответ. Если a=0 или b=0, то уравнение теряет смысл; если a№0, b№0, a=–b, то x – любое число, кроме нуля; если a№0, b№0, a№–b, то x=–a, x=–b.
Пример 5. Докажите, что при любом
значении параметра n, отличном от нуля, уравнение 
имеет
единственный корень, равный – n.
Решение. 
т. е. x=–n, что и требовалось доказать.
Задание на дом.
1. Найдите целые решения уравнения 
2. При каких значениях параметра c
уравнение 
имеет:
а) два корня; б) единственный корень?
3. Найдите все целые корни уравнения 
если aОN.
4. Решите уравнение 3xy – 5x + 5y = 7: а) относительно y; б) относительно x.
Ответы:
1. Уравнению удовлетворяют любые целые равные
значения x и y, отличные от нуля.
2. а) При 
б) при 
или 
3. – 12; – 9; 0.
4. а) Если 
то
корней нет; если 
б) если 
то корней нет; если 
Контрольная работа
Вариант 1
1. Определите тип уравнения 7c(c + 3)x2+(c–2)x–8=0 при: а) c=–3; б) c=2; в) c=4.
2. Решите уравнения: а) x2–bx=0;
б) cx2–6x+1=0; в)
3. Решите уравнение 3x–xy–2y=1:
а) относительно x;
б) относительно y.
4. Найдите целые корни уравнения nx2 – 26x + n = 0, зная, что параметр n принимает только целые значения.
5. При каких значениях b уравнение 
имеет:
а) два корня;
б) единственный корень?
Вариант 2
1. Определите тип уравнения 5c(c + 4)x2+(c–7)x+7=0 при: а) c=–4; б) c=7; в) c=1.
2. Решите уравнения: а) y2+cy=0;
б) ny2–8y+2=0; в) 
3. Решите уравнение 6x–xy+2y=5:
а) относительно x;
б) относительно y.
4. Найдите целые корни уравнения nx2–22x+2n=0, зная, что параметр n принимает только целые значения.
5. При каких значениях параметра a уравнение 
имеет:
а) два корня;
б) единственный корень?
Ответы
В-1. 1. а) Линейное уравнение;
б) неполное квадратное уравнение; в) квадратное
уравнение.
2. а) Если b=0, то x=0;
если b№0, то x=0,
x=b;
б) 
если cО(9;+Ґ), то
корней нет;
в) если a=–4, то
уравнение теряет смысл; если a№–4, то x=–a.
3. а) Если y=3, то корней нет; если 
б) если x=–2, то
корней нет; 
4. Если n=0, то x=0.
5. а) bО(– Ґ; –1)И(2;+Ґ); б) b=–1, b=2.
В-2. 1. а) Линейное уравнение; б)
неполное квадратное уравнение; в) квадратное
уравнение.
2. а) Если c=0, то y=0;
если c№0, то y=0,
y=c;
б) 
если nО(8;+Ґ),
то корней нет;
в) если a=2, то
уравнение теряет смысл; если a№2, то x=–a.
3. а) Если y=6, то корней нет; 
б) если x=2, то корней нет;
4. Если n=0, то x=0.
5. а) aО(– Ґ;–3)
И (1; + Ґ);
б) a=–3, a=1.
Дополнительные задания
Решите уравнения:
Литература
1. Голубев В.И., Гольдман А.М., Дорофеев Г.В. О параметрах с самого начала. – Репетитор, № 2/1991, с. 3–13.
2. Гронштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Необходимые условия в задачах с параметрами. – Квант, № 11/1991, с. 44–49.
3. Дорофеев Г.В., Затакавай В.В. Решение задач, содержащих параметры. Ч. 2. – М., Перспектива, 1990, с. 2–38.
4. Тынякин С.А. Пятьсот четырнадцать задач с параметрами. – Волгоград, 1991.
5. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М., Просвещение, 1986.
.