Е. Миганова, Г. Саранцев,
г. Саранск
Красота математики
О красоте математики написано немало. Авторы видят ее в гармонии чисел и форм, геометрической выразительности, стройности математических формул, решении задач различными способами, в изяществе математических доказательств, в порядке, богатстве приложений, универсальности математических методов. Под понятие красоты подводится широкий спектр различных объектов от схем зверушек, составленных из отрезков, до представления красивого объекта моделью, удовлетворяющей требованиям изоморфизма1, простоты и неожиданности. Так, Э.Т. Белл привлекательность математического объекта видит в совокупности следующих характеристик:
— универсальность использования в различных разделах математики, как правило, изначально совсем неочевидная;
— продуктивность или возможность побудительного влияния на дальнейшее продвижение в данной области на основе абстракции и обобщения;
— максимальная емкость охвата объектов рассматриваемого типа [2].
Указанная совокупность признаков красивого математического объекта, как и другие предлагаемые наборы характеристик красоты, сформулирована не вполне четко и несколько размыто, что объясняется их «трудной уловимостью» и неполной осознаваемостью.
Наиболее четко характеристика эстетической привлекательности математического объекта дана Г. Биркгофом: M=O/C, где M — мера красоты объекта, O — мера порядка, а C — мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта [3]. С формулой красоты, предложенной Г. Биркгофом, созвучна модель, разработанная В.Г. Болтянским [4]. По его мнению, красота математического объекта может быть выражена посредством изоморфизма между этим объектом и его наглядной моделью, простотой модели и неожиданностью его появления. Изоморфизм предполагает правильные, неискаженные отражения основных свойств явления в его наглядной модели. Созвучность видится в том, что как в первой, так и во второй модели мера красоты тем выше, чем меньше мера сложности объекта (по Биркгофу) или чем проще наглядная модель исследуемого объекта (по Болтянскому).
Надо сказать, что проблема красоты занимает не только математиков, она привлекала и привлекает внимание величайших умов человечества. Одни исследователи считают, что в красоте объектов проявляется их свойство, существующее независимо от сознания. Чувство красоты трактуется как продукт отражения в человеческом сознании реально существующих эстетических свойств окружающего мира. Другие рассматривают красоту как продукт ума, свободной мысли. Для третьих красота является даром богов, особенно женская красота, воспеваемая в поэзии, литературе, живописи. Писатель-фантаст А. Казанцев во второй половине прошлого столетия выдвинул версию, согласно которой красивыми кажутся те черты лица, которые отвечают биологической целесообразности, лучше приспособлены к природным условиям. Наиболее правдоподобно природа красоты была раскрыта в 60-х годах XX столетия известным психологом академиком Р.Х. Шакуровым. Им была предложена гипотеза о том, что красивы те черты лица, которые при зрительном восприятии укладываются в их корковый, обобщенный образ — в стереотипный усредненный стандарт, сформировавшийся в нашей голове в ходе общения с людьми [6, с. 81–82]. Сказанное отражает красоту форм. Другими составляющими красоты являются: ее эмоционально-экспрессивная сторона, обращенная к аффилиативной потребности, ассоциативно-эмоциональный компонент, оригинальность. Указанные составляющие проявляются в улыбчивых лицах, светящихся добротой и нежностью, в цвете лица, ассоциирующемся со здоровьем, в своеобразии, нестандартности [6, с. 84–85].
Очевидно, что указанное понимание красоты лица может быть перенесено на красоту любого объекта, в частности математического. Наиболее привлекательным будет тот объект, представление о котором соответствует сформировавшемуся образу этого объекта. Данный вывод совпадает с указанными математическими моделями эстетической привлекательности математических объектов. Ясно, что в случае затраты минимума усилий, а это возможно когда восприятие укладывается в обобщенный образ (по Шакурову), мера красоты возрастает, причем степень возрастания пропорциональна росту меры порядка. Отсюда следует, что для ученика красивыми математическими объектами будут те, восприятие которых учеником сопряжено с наименьшими его усилиями. Их привлекательность будет усиливаться за счет динамической составляющей красоты, выражаемой в оригинальности, неожиданности, изяществе.
С позиций сказанного следует внести коррективы в традиционно сложившуюся методику обучения школьников математике. Например, методика обучения доказательству рекомендует как можно раньше приобщать школьников к самостоятельному открытию фактов и способов их обоснования, хотя у учащихся еще нет даже самого простого представления о процессе доказательства, его составляющих. Само требование «доказать» не вызывает у них нужных ассоциаций. Замечу, что процесс самостоятельного поиска доказательства основывается на ряде логических и эвристических операций, многими из которых учащиеся 6–7-х классов не владеют. Поэтому на первых уроках геометрии 7-го класса следует воспользоваться готовыми доказательствами с целью изучения структуры логического вывода (наличия большой посылки, малой посылки), связей логических шагов. Для достижения этой цели можно воспользоваться специальными карточками с двумя колонками, в одной из которых указываются утверждения, в другой — обоснования, причем каждая колонка имеет пустые места, количество которых зависит от способностей школьника, заполняющего пропуски в колонках. Ясно, что сказанное не отменяет эвристического обучения2 и приобщения учеников к открытию доказательств. Однако, подчеркнем еще раз, самостоятельное доказательство должно основываться на понимании готового доказательства, порядка, что ведет к формированию устойчивых математических образов.
Учитывая, что у ученика с его взрослением развиваются пространственные представления об окружающем мире, приобретающие форму устойчивых образов реальных объектов, изучение элементов геометрии в 5–6-х классах естественно должно основываться на идее фузионизма (слияния); однако эта идея не должна быть стержневой. В основной школе должен изучаться систематический курс планиметрии, а в старших классах — курс стереометрии. Заканчивать изучение геометрии в средней школе следует знакомством школьников с аксиоматическим методом не только как методом организации математической теории, но и как эффективным эвристическим средством, а также выходом в геометрию четырехмерного пространства. Известно, что необходимость систематических курсов оспаривается некоторыми математиками и методистами. Они предлагают, в частности, единый курс планиметрии и стереометрии. Однако такой курс построить на достаточно строгом логическом уровне в основной школе невозможно. Такой курс будет представлять собой набор различных фактов, поэтому мера порядка его организации будет невысокой, а потому будет низкой и мера привлекательности такого курса для учащихся, что, несомненно, будет отражаться на их интересе к изучению такого курса, а следовательно и на знаниях и умениях школьников.
Необходимость учета зависимости меры красоты и привлекательности объекта от порядка и меры усилий на его понимание подтверждает и природа распознавания объектов: на уровне свернутого выполнения действий распознавание осуществляется не по логическим признакам, а по внешне выраженным, наглядным признакам используемых объектов. «Идеальный» вариант возникает тогда, когда определение понятия позволяет воображению легко конструировать образы определяемых объектов. В данном контексте, например, наиболее привлекательным среди возможных определений параллелограмма является классическое определение, так как оно в большей мере соответствует имеющемуся в мышлении ученика образу параллелограмма.
Известны многолетние дискуссии по вопросу использования алгебраического метода решения текстовых задач. Одни участники дискуссий выступают за раннее введение метода уравнений, другие считают, что основное внимание в начальной школе и в 5–6-х классах должно уделяться арифметическому методу.
С позиции красоты вряд ли будет казаться привлекательным для ученика 5-го класса решение текстовой задачи с применением уравнений или доказательство теоремы методом «от противного», потому что рассуждения, осуществляемые в процессе решения задачи либо в доказательстве теоремы, не будут для ученика естественными. Хотя текстовые задачи привлекательны для школьников, поскольку они отражают реальные ситуации, хорошо знакомые им.
Изначальным стимулом развития математического знания является потребность в решении конкретных практических задач, которая «неизбежно приобретает внутренний размах и выходит за рамки непосредственной полезности» [5, с. 19]. Поэтому использование текстовых задач в обучении математике на ранних этапах необходимо, однако спешить с применением уравнений при их решении не следует. Последнее предполагает ряд таких умений (моделировать словесно заданные ситуации, выражать заданные величины одну через другую и т. д.), которые как раз и формируются при решении текстовых задач арифметическим способом. Ученик, овладевший хотя бы некоторым опытом решения текстовых задач арифметическим методом, при встрече с алгебраическим методом будет, в какой-то мере, удивлен оригинальностью суждения при его использовании, и эта неожиданность будет усиливать привлекательность алгебраического метода.
Анализируя учебники геометрии для основной школы, мы видим, что метод «от противного» используется при решении задач уже на первых уроках геометрии, хотя учащиеся еще не осознали смысл прямого обоснования. Поэтому в такой ситуации применение этого метода может вызвать лишь неприязнь к изучению геометрии. Последнему будет способствовать и неопределенность требований первых задач курса геометрии.
Как уже было отмечено, важной характеристикой меры красоты является порядок, который выступает в различных формах. Наиболее распространенной из них является симметрия. Причем речь идет не только о симметрии как гармонии частей целого, их упорядоченности, но и как осознании стройности математических доказательств. Поэтому наиболее привлекательными для учащихся являются изящные доказательства. Отметим и такие характеристики красоты математики, как возможность влияния на дальнейшее продвижение в той или иной области на основе аналогии и обобщения, богатство возможных приложений как в математике, так и в смежных дисциплинах, оригинальность.
Под влиянием конкретной ситуации в коре головного мозга актуализируются определенные образы, бессознательно «ждущие» встречи с соответствующими объектами. Когда ожидание, основанное на обобщенном стандарте, беспрепятственно реализуется, это переживается как красота. В ситуации, когда воспринимаемый стимул похож на его корковую модель, но не укладывается в нее полностью, возникает удивление и связанный с ним познавательный интерес. Абсолютно новый стимул не вызывает интереса, поскольку он не представлен в психике, нет его стереотипного образа в голове [6, с. 88]. В связи со сказанным, в обучении важно использование различных рисунков к доказательству теоремы, упражнений на распознавание объектов, принадлежащих формируемому понятию, различных способов доказательства, самостоятельного открытия теорем, оригинальных способов решений, укрупнения единиц, чертежей с одной основой, аналогичных задач, блоков «родственных» задач и т. д. Все это непосредственно связано с красотой, с механизмами эстетического воспитания школьников средствами математики, с выработкой эстетического вкуса путем формирования стандартов (устойчивых математических образов). Вспоминаю случай, когда во время перерыва после урока геометрии в 7-м классе вбежал в класс возбужденный ученик с криком: «Я доказал, что сумма углов четырехугольника равна 360°» (на уроке изучалась теорема о сумме углов треугольника). Удивление вызвала неожиданная догадка о том, что четырехугольник можно диагональю разбить на два треугольника. При отборе задач, их организации следует учитывать возможность актуализации привычных образных представлений, использования аналогии, обобщения, конкретизации, неожиданности, изящества в обосновании утверждений, общности исходных гипотез, связи с практическими ситуациями, естественного хода обоснования гипотез. Рассмотрим конкретные примеры.
1. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом B. На его гипотенузе AC (вне его)
построен квадрат ACDE с центром O. Доказать, что луч
BO является биссектрисой угла ABC.
Возможно, что кто-то из учащихся, решавших эту задачу, и предложит один из способов ее решения. Однако может оказаться, что таких учащихся не найдется. В таком случае можно предложить рассмотреть частный случай, обусловленный тем, что треугольник ABC будет прямоугольным и равнобедренным. Чертеж, иллюстрирующий данную ситуацию, будет более привлекателен для учащихся, так как его восприятие в большей мере соответствует их житейским образам. Поэтому к такому рисунку будет проявлено большее любопытство.
Легко заметить, что фигура на рисунке 1
симметрична относительно прямой BO. Этот факт
легко может быть и обоснован: точка B
равноудалена от точек A и C, следовательно, она
принадлежит оси симметрии этих точек. 
Аналогично, этой же оси симметрии
принадлежит и точка O. Значит, прямая BO — ось
симметрии четырехугольника ABCO, а потому луч BO
является биссектрисой угла B. Ясно, что
обоснование доказываемого утверждения может
быть выполнено и другим способом.
Устанавливаем, что четырехугольник ABCO — квадрат, около которого можно описать окружность. По отношению к ней углы ABO и OBC являются вписанными, опирающимися на равные дуги AO и OC (рис. 2). Легко заметить, что перемещая точку B по окружности (рис. 3), приходим к рисунку 4, который и соответствует данной задаче. Частный случай подсказал способ ее решения. Ясно, что идея симметрии в общем случае не срабатывает, однако она наталкивает на идею использования поворота вокруг точки O на 90°.
Пусть это будет поворот по часовой стрелке. Он переведет прямую AB в прямую BC, поскольку точка A перейдет в точку C, а прямая AB — в прямую, проходящую через точку C перпендикулярно к AB, то есть в прямую BC. Следовательно, точка O равноудалена от прямых AB и BC, а потому принадлежит оси симметрии угла ABC.
Решив данную задачу, следует обратить
внимание учащихся на эвристики:
1) если в задачной ситуации имеется два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой, то полезно для решения задачи ввести окружность, описанную около этих треугольников;
2) если в условии задачи даны две взаимно перпендикулярные прямые либо квадрат, то для ее решения можно воспользоваться поворотом вокруг центра квадрата на 90°.
Далее можно предложить рассмотреть случай, когда квадрат, построенный на гипотенузе AC, содержит точку B. В зависимости от уровня подготовленности класса можно продвинуться и далее. Например, прямоугольный треугольник можно заменить двумя взаимно перпендикулярными прямыми, проходящими через соседние вершины квадрата. Можно предложить учащимся составить несколько аналогичных задач, заменив квадрат, например, правильным треугольником. В этом случае две взаимно-перпендикулярные прямые должны быть заменены двумя прямыми, проходящими через соседние вершины треугольника и образующими угол в 120°. Указанная задачная ситуация может быть обобщена на правильный шестиугольник и т. д.
Замечу, что исследование задачной
ситуации с использованием обобщения,
конкретизации и аналогии способствует созданию
обобщенного образа этой ситуации, особенно в том
случае, когда она является опорной, то есть
используемой в большинстве задач изучаемого
раздела. Встреча учащихся с рисунком, который
отложился в памяти ученика, вызовет те
ассоциации, которые были связаны с ним ранее и
могут продвинуть решение задачи. Наконец отметим
и то, что поиск решения задачи осуществляется
посредством приема мысленного преобразования
исследуемого объекта, что важно, потому что
данный прием является эффективным эвристическим
приемом в математическом познании. С другой
стороны, решение подобных задач формирует сам
указанный прием, а также приемы обобщения,
аналогии, конкретизации и т. п.
2. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (РC = 90°). Построен отрезок CC1 (C1ОAB), перпендикулярный медиане AA1. Найти отношение BC1 : C1A.
Данная задача интересна тем, что допускает различные способы решения, хотя заключительный этап ее решения не богат возможностями конструирования новых задач. В журнале «Математика в школе» (№ 4/1981, с. 69) приведено пять способов решения задач, однако среди них нет самого простого способа, основанного на использовании координатного метода. Приведем его.
Введем систему координат так, чтобы прямая CA служила осью Ox, прямая CB — осью Oy (луч CA определяет положительное направление оси Ox, а луч CB — оси Oy); за единицу измерения примем длину отрезка AC. Тогда
где 
.
Уравнение прямой CC1 имеет вид:
а уравнение прямой A1A
– 
Используя условие перпендикулярности прямых,
получаем 
Заключительный этап решения задачи обладает большим эстетическим потенциалом и служит хорошим средством формирования мотивации учебной деятельности школьника. Данный этап имеет значительные возможности для приобщения школьников к составлению задач, что связано с исследованием задачной ситуации.
3. Если хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.
Конкретизация задачной ситуации приведет к задаче, в условии которой хорды перпендикулярны и одна из них является диаметром. Поскольку в полученной задаче используется частный случай, то решение последней задачи распространяется и на решение полученной. Данная задачная ситуация может быть интерпретирована по-другому: из точки окружности проведен перпендикуляр к ее диаметру. Квадрат перпендикуляра равен произведению отрезков диаметра. Заметим, что конкретизация приводит к ситуации, когда имеется решение задачи, а сама задача должна быть сформулирована.
P.S. Обобщение основной задачи приводит к ситуациям:
1) прямые, которым принадлежат хорды, пересекаются вне круга, определяемого данной окружностью;
2) одна из секущих является касательной (предельный случай 1);
3) обе секущие являются касательными.
Далее возможен выход в задачную ситуацию, которую составляют две окружности и хорды каждой из них. Требуется найти такое положение точки пересечения хорд, которое удовлетворяет основной задаче. Возможен выход даже в три окружности, что обусловит уже исследование со всеми его атрибутами.
Привлекательность работы с задачей может быть повышена даже в процессе решения элементарных задач.
Рассмотрим задачу. В треугольнике ABC
биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D,
AD = DC, РA = 40° (рис. 5). Доказать, что
AB > BC.
Поскольку в треугольнике ABC известен угол A, то сравнение указанных сторон может быть осуществлено посредством сравнения углов, лежащих против данных сторон. На данную эвристику следует обратить внимание учащихся. Однако ее использование требует знания второго угла треугольника — угла C. Рисунок помогает увидеть, что РC содержит РACD, равный углу A. Таким образом, РC >РA, следовательно AB > BC.
Ясно, что приведенная задача не обладает возможностями построения на ее основе задач-обобщений, задач-конкретизаций, задач-аналогов и так далее. Однако на ее основе возможно конструирование целой серии задач. Вот требования некоторых из них (условия задач совпадают с условием данной задачи):
«Сформулируйте несколько утверждений, справедливость которых следует из условия данной задачи».
Ответ: 1) РACD=40°; 2) РC=80°; 3) РB=60°; 4) AC>BC; 5) AC<AB; 6) DC>BD; 7) AB>BC.
Рассмотрим следствие 7). Доказано, что AB>BC. Учитывая, что точка D находится между точками A и B, а AD=AB, то AD+BC>BC и, наконец, DC+DB>BC. Последнее неравенство, как легко заметить, будет справедливым при любой величине угла A и любом положении внутреннего луча CD. Важно лишь то, что AD=DC. Так приходим к обобщенной задаче: «На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что AD=DC. Докажите, что AB>BC». Данное неравенство DC+DB>BC приводит к выводу, что в треугольнике сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны. Решение данной задачи не только мотивирует введение теоремы о неравенстве треугольников, моделирует ее доказательство, но и обосновывает ее для частного случая.
Сопровождая решение даже таких простых задач указанной работой с ними, мы повышаем их привлекательность и эстетический потенциал. Учащиеся начинают смотреть на задачи как на исследовательские объекты, в которых скрыта гармония и красота математики, наслаждаясь тем, что в процессе работы эти качества математики обнажаются, и красота математики становится для учащихся доступной.
Подведем итоги. Красота математики раскрывается в воспитании склонности школьников к использованию обобщения и аналогии, наглядной выразительности математических объектов, унификации и разнообразным приложениям тех или иных математических фактов и закономерностей, всестороннему анализу изучаемых ситуаций, минимально возможной субъективной сложности, требуемой для достижения того или иного результата, поиску различных способов решения задачи и выбору из них наиболее изящного, полной логической обоснованности и доказательности, склонности к поиску различных моделей рассматриваемых ситуаций, общности исходных гипотез, различных приложений изучаемых фактов.
Следует иметь в виду и эмоциональность формы подачи учебного материала. Монотонность изложения, безразличие учителя к излагаемому не вызовут эстетического удовлетворения школьников. Известно, что 38% информации человек получает из интонации, 55% — через жесты и мимику, и лишь 7% — из слов. Поэтому владение учителем интонацией голоса, мимикой и жестами есть одно из условий успеха в эстетическом воспитании школьников.
Литература
1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. — М., 1970.
2. Белл Э.Т. Творцы математики. — М., 1979.
3. Биркгоф Г. Математика и психология. — М., 1977.
4. Болтянский В.Г. Математическая культура и эстетика. — Журнал «Математика в школе», № 2/1982, с. 40–43.
5. Курант Р., Робинс Г. Что такое математика? — М., 1967.
6. Шакуров Р.Х. Эмоция. Личность. Деятельность (механизмы психодинамики). — Казань, 2001.
1 Изоморфизм — наличие взаимооднозначного отображения двух совокупностей, сохраняющего их структурные свойства.
2 Эвристика — совокупность приемов и методических правил теоретического исследования и отыскания истины; метод обучения, способствующий развитию находчивости, активности.