Главная страница «Первого сентября» • Главная страница журнала «Математика» • Содержание №26/2003

Алгебра и начала анализа

С. Шестаков,
Москва

Письменный экзамен

11 класс
1. Вычисления. Преобразование выражений

§ 3. Степень с действительным показателем

Упражнения § 5 первой главы сборника в основном связаны с показательной функцией и ее свойствами. В этом параграфе, как и в предыдущих, проверяется не только умение выполнять преобразования на основе известных свойств, но и овладение учащимися функциональной символикой. Среди заданий сборника можно выделить следующие группы:

упражнения, проверяющие усвоение определения показательной функции (1.5.A06, 1.5.B01–B04) и умение пользоваться функциональной символикой (1.5A02, 1.5.B05, 1.5C11);
упражнения на преобразование выражений, содержащих степень с действительным показателем, и на вычисление значений таких выражений и значений показательной функции (1.5B07, 1.5B09, 1.5.C02, 1.5.C04, 1.5.C05, 1.5D03, 1.5D05, 1.5.D10 и др.);
упражнения на сравнение значений выражений, содержащих степень с действительным показателем, требующие применения свойств степени с действительным показателем и показательной функции (1.5.B11, 1.5C01, 1.5C12, 1.5D01, 1.5D11);
прочие упражнения (в том числе связанные с позиционной записью числа, прогрессиями и др.) — 1.5.A03, 1.5.B08, 1.5.C06, 1.5. C09, 1.5.C10, 1.5.D07, 1.5.D09.

Рассмотрим ряд задач, связанных с функциональной символикой.

1.5.A02. д) Даны функции

Найдите значение выражения f²(x) – g²(x).

Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов:

Ответ: –12.

1.5.C11. б) Даны функции

Найдите значение выражения f(x) f(y) – g(x) g(y), если f(x – y) = 9.

Решение.

Ответ: 3.

Приведем краткие решения упражнений на преобразование выражений, содержащих степень с действительным показателем, и на вычисление значений таких выражений и значений показательной функции.

1.5.B07. а) Известно, что 6^a – 6^–a = 6. Найдите значение выражения (6^a – 6)·6^a.

Решение. Из условия задачи следует, что 6^a – 6 = 6^–a. Тогда

(6^a – 6)·6a = 6^–a·6^a = 1.

Ответ: 1.

1.5.C05. б) Найдите значение выражения 7^a–b, если

Решение. По условию Разделим числитель и знаменатель левой части данного равенства на 7^b. Получим

Сделаем замену. Пусть y = 7^a–b. Равенство принимает вид

Решим полученное уравнение

Ответ: 1.

Следующая группа упражнений — задачи на сравнение значений выражений, содержащих степень с действительным показателем, требующие применения свойств степени с действительным показателем и показательной функции.

1.5.B11. б) Расположите числа f(60), g(45) и h(30) в порядке убывания, если f(x) = 5^x, g(x) = 7^x и h(x) = 3^x.

Решение. f(60) = 5⁶⁰, g(45) = 7⁴⁵ и h(30) = 3³⁰.

Преобразуем данные степени так, чтобы получить одинаковые показатели:

5⁶⁰=625¹⁵, 7⁴⁵=343¹⁵, 3³⁰=9¹⁵.

Запишем основания в порядке убывания: 625 > 343 > 9.

Следовательно, искомый порядок: f(60), g(45), h(30).

Ответ: f(60), g(45), h(30).

1.5.C12. а) Сравните , где x и y — некоторые действительные числа.

Решение.

Поэтому

Поскольку 3² > 2³, получаем, что

Ответ:

1.5.D11. а) Сравните числа

Решение.

Поскольку получим

Ответ:

В завершение обзора задач на степень с действительным показателем рассмотрим упражнения, связанные с позиционной записью числа, прогрессиями и др.

1.5.A03. б) Дана функция f(x) = (0,1)^x. Найдите значение выражения 6f(3) + 9f(2) + 4f(1) + 4f(0).

Решение.

4f(0) + 4f(1) + 9f(2) + 6f(3) = 4·1 + 4·0,1 + 9·0,01 + 6·0,001 = 4,496.

Таким образом, данное выражение является разложением в сумму разрядных единиц десятичной дроби 4,496.

Ответ: 4,496.

1.5.D07. а) Дана функция f(x) = 0,1^x. Найдите значение выражения f³(1) – f³(2) + f³(3) + ... + (–1)^n–1f³(n) + ...

Решение.

f³(1)–f³(2)+f³(3)+...+(–1)^n–1f³(n)+...= 0,1³–0,1⁶+0,1⁹+...+(–1)^n–1·0,1³ⁿ + ...

Данное выражение является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 0,001 и знаменателем –0,001. Сумма равна

Ответ:

1.5.D09. а) Найдите значение выражения 5^2x+5^2y+2^5x·5^y – 25^y·5^x, если 5^x–5^y=3, x + y = 3.

Решение.

5^2x+5^2y+25^x·5^y–25^y·5^x=(5^x – 5^y)²+2·5^x·5^y+5^x·5^y(5^x – 5^y)=3²+2·5^x+y+5^x+y·3=3²+2·5³+3·5³=634.

Ответ: 634.

§ 4. Логарифмические выражения

При повторении темы «Преобразование логарифмических выражений» (§ 1.6 сборника) следует вспомнить ряд основных формул, связанных с логарифмами:

Приведем ряд формул, знание которых не требуется для решения задач уровней A и B, но может оказаться полезным при решении более сложных задач (число этих формул можно как уменьшать, так и увеличивать в зависимости от взглядов учителя и уровня подготовленности учащихся):

Большинство упражнений из § 1.6 сборника можно отнести к одной из следующих групп:

упражнения на непосредственное использование определения и свойств логарифмов (1.6.A03, 1.6.A04, 1.6.B01, 1.6.B05, 1.6.B08, 1.6.B10, 1.6.C09, 1.6.D01, 1.6.D08, 1.6.D10);
упражнения на вычисление значения логарифмического выражения по данному значению другого выражения или логарифма (1.6.C02, 1.6.C09, 1.6.D02);
упражнения на сравнение значений двух выражений, содержащих логарифмы (1.6.C11);
упражнения с комплексным многошаговым заданием (1.6.D11, 1.6.D12).

Приведем краткие решения упражнений на непосредственное использование определения и свойств логарифмов.

1.6.B05. а) Найдите значение выражения