Главная страница «Первого сентября» • Главная страница журнала «Математика» • Содержание №4/2009

Советы по нахождению области определения функции

Как показывает ЕГЭ по математике, процесс нахождения области определения функции достаточно часто вызывает затруднения у выпускников и ведет к появлению ошибок. Дадим некоторые методические советы, направленные на последовательную работу по предупреждению возникающих трудностей.

Прежде всего рекомендуем выяснить, чем вызваны ограничения при нахождении области определения элементарных функций, и записать их:

существует U ≠ 0;

существует U 0;

log_V U существует

arcsinU существует –1 U 1;

arccosU существует –1 U 1;

tg U существует n Z;

ctg U существует U ≠ πn, n Z.

Теперь следует убедиться в том, что выполнение различного рода преобразований заданной функции порой неправомерно. Покажем это.

Пример 1. Пусть

D(f) находится из неравенства (1 – x) (x – 2) ≥ 0,

решением которого является промежуток [1; 2].

Нахождение D(g) сводится к решению системы

которая решений не имеет.

Типичной ошибкой является то, что функцию g(x) заменяют на функцию f(x), забывая о дополнительных условиях при выполнении этой процедуры. Отсюда — неверный ответ.

Отметим, что процесс нахождения области определения функции в общем случае состоит из двух этапов: составления системы ограничений и решения этой системы. Первый этап выполняется согласно представленной выше записи. На втором этапе при переходе от одного равенства к другому последовательно находят пересечения различных множеств, постепенно приближаясь к ответу.

Проиллюстрируем сказанное примером.

Пример 2. Найдем область определения функции

Соответствующая система будет иметь вид:

Пересечение первого ограничения x > 0 и второго x≠1 дает множество (0; 1) c (1; +∞).

Решение следующего неравенства есть промежуток –3≤x≤3. Сопоставляя его с предыдущим, получаем: x (0; 1) c (1; 3].

И наконец, учитывая ограничение

приходим к новому результату:

Последнее неравенство log_xπ ≥0 возможно только при x > 1.

Окончательный ответ:

Заметим, что ошибки при решении систем встречаются не только при переходе от одного ограничения к другому, но и при отыскании решений каждого из неравенств системы. Покажем наиболее типичные из них на примере.

Пример 3. Пусть требуется найти D(y),

Система ограничений имеет вид:

При решении первого неравенства возникают затруднения при приведении показательных функций к одному основанию , а неравенства — к виду: . При переходе к показателям не всегда учитывают, что основание меньше 1 и ошибочно получают x≤–1. Правильное решение x≥1.

При решении второго неравенства часто считают, что xR, на самом деле следует наложить ограничение x≠0, и тогда xR\{0}.

Из ограничения x² ≠ 1 иногда получают, что x ≠ 1, и забывают, что x ≠ –1, то есть x ≠ ±1.

Ограничение arcctg 3x≠0 ставит учащихся в тупик, а между тем множеством значений функции y=arcctg3x является промежуток (0; π), то есть по сути arcctg3x≠0 не ограничение.

Оформление записей при решении системы ограничений рекомендуем вести так, чтобы наглядно видеть постепенное сужение промежутков и избежать ошибочных решений.

В качестве образца дадим один из возможных вариантов решения рассмотренной выше системы.