Интегрированный урок «Банковские операции: начисление простых и сложных процентов»

Цели урока:

— усвоение формул простого и сложного процентного роста;

— формирование умений решать задачи практической направленности;

— развитие логического мышления, интереса к предметам математики и экономики;

— развитие информационной культуры учащихся.

Оборудование: компьютер, видеопроектор, экран, калькуляторы.

Ход урока

Актуализация знаний

Учитель математики.

— Что такое процент?

Процентом (от лат. pro cento) числа называется сотая часть этого числа.

— Как найти процент от числа?

Данное число умножается
на число процентов и
полученный результат делиться на 100.

— Что значит увеличить величину на 10%, на 50%?

— Что значит найти 10%, 20% от величины?

Формирование новых знаний учащихся

Учитель математики. На счет в банке положили 10 000 р. Банк начисляет по этому счету 4% годовых. Найдите сумму, которая будет на счету через один год хранения?

Первоначальный капитал, руб	Р	10 000
Процентная ставка	i	0,04
Прибыль, руб.	P·i	10 000·0,04
Конечный капитал	k = P(1 + i)	10 000·(1 + 0,04)

Формула k = P(1 + i) дает возможность решать три типа задач на денежные расчеты (нахождение Р, i, k).

— Сколько денег будет в конце второго года хранения, если теперь процент начисляется на новую сумму, находящуюся на счету?

 k = k(1 + i) = P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i)².

— Сколько денег будет в конце третьего года хранения?

k = k(1 + i) = P(1 + i)(1 + i)(1 + i) = P(1 + i)³.

— Сколько денег будет в конце n-го года хранения?

k = P(1 + i)ⁿ.

— Мы вывели с вами формулу сложных процентов.

Учитель экономики. (1 + i)ⁿ — множитель наращения сложных процентов, а процедура наращения называется капитализацией процентов.

— Что означают параметры Р, i, n в полученной формуле?

Р — начальный капитал;

i — процентная ставка прибыли за определенный промежуток времени; n — число промежутков времени.

Учитель математики.

— Что напоминает полученная формула?

Возрастающую геометрическую прогрессию.

— Чему равны в этой прогрессии первый член и знаменатель?

b = P, q = 1 + i.

Учитель экономики. Наряду с формулой сложного процентного роста, существует формула простого процентного роста:

k = P(1 + ni),

где параметры Р, i, n имеют тот же смысл, что и в формуле сложного процентного роста;

1 + in — множитель наращения простых процентов.

— В чем состоит отличие формулы простого процентного роста от формулы сложного процентного роста?

В формуле простого процентного роста процент берется каждый раз от одного и того же числа Р.

Формирование умений учащихся

Учитель математики. Рассмотрим применение формул на конкретных, часто встречающихся на практике задачах. Решим следующую задачу.

Задача 1. Клиент положил на счет в банке 1000 руб. За оказание определенной услуги сумма на счете ежемесячно снижается на 5%. Через сколько месяцев эта сумма сократится:

а) до 800 руб.;
б) до 700 руб.;
в) до 400 руб.;
г) до 100 руб.?

Учитель экономики. Это задача на простой процентный рост, но так как процентная ставка снижается, то перед слагаемым in должен стоять знак «минус». Формула примет вид

k = P(1 – in).

— Что означают параметры в формуле и чему они равны?

Р  — начальный капитал, он составляет 1000 рублей;

i  — процентная ставка, она равна 0,05;

k  — конечный капитал;

n  — число месяцев.

— Что нужно найти в задаче?

Число месяцев n.

Учитель математики. Выразим из этой формулы n:

Решение.

Учитель экономики. Следующая задача.

Задача 2. Какая сумма будет на счете через 5 лет, если на него внесено 5000 руб. под 20% годовых?

Решение. Это задача на сложный процентный рост, который задается формулой k = P(1 + i)ⁿ.

— Что означают параметры в формуле и каково их значение?

P  — начальный капитал, он равен 5000 руб.;

i — процентная ставка; составляет 0,2;

k — конечный капитал;

n — число лет хранения суммы равно 5.

Итак, k = 5000 ·(1 + 0,2)⁵ = 5000 · 2,48832 = 12 441,6 руб.

Задача 3. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 9% годовых. Вкладчик положил на счет 10 000 р. и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через год? через 2 года? через 5 лет?

Решение. Способ I (математический).

— Сколько рублей составляют 9% от 10 000 рублей?

10 000·0,09 = 900 руб.

— Сколько денег окажется на счете через один год?

10 000 + 900 = 10 900 руб.

— Сколько рублей составляют 9% от 10900 рублей?

10 900·0,09 = 981 руб.

— Сколько денег окажется на счете через два года?

10 900 + 981 = 11 881 руб.

Учитель экономики. Способ II (экономический). Это задача на сложный процентный рост. Воспользуемся формулой

k = P(1 + i)ⁿ,

где P — начальный капитал — 10 000 рублей;

i  — процентная ставка — 0,09;

k  — конечный капитал;

n — число лет — 1 год; 2 года.

При n = 1

k = 10 000(1 + 0,09) = 10 000·1,09 =10 900 руб.;

при n = 2

k = 10 000(1 + 0,09)² = 10 000·1,09² =11 881 руб.

Для случая n = 5 конечный капитал вычислите самостоятельно.

k = 10 000(1 + 0,09)⁵ = 15 386,24 руб.

Итог урока

Учитель экономики. Ответьте, пожалуйста, на вопросы.

Что узнали на уроке?

Что позволяют узнать формулы простого и сложного процентного роста?

Как называется величина 1 + in? (1 + i)ⁿ?

В чем состоит отличие формулы простого процентного роста от формулы сложного процентного роста?

Как называется процедура наращения процентов?

Какие способы используются при решении задач, связанных с банковскими операциями?

Какой способ наиболее рациональный?

Городилова Б., Крум С.