Главная страница «Первого сентября» • Главная страница журнала «Математика» • Содержание №16/2009

Тренировочные работы

Инструкция по выполнению работы

Работа содержит 18 заданий (В1–В12, С1–С6). В заданиях В1–В12 нужно дать краткий ответ. В заданиях С1–С6 нужно написать решение.

Верное выполнение каждого из заданий В1–В12 оценивается в один балл, задание С1 оценивается 2 баллами, задания С2–С4 — в три балла, задания С5, С6 — в 4 балла.

Желаем успеха!

Вариант 1

(без логарифмов)

Ответом в заданиях В1–В12 является целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Укажите ответ в отведенном для него поле. Единицы измерения в ответе не пишите.

В1  Урок в начальной школе длится 35 минут. Все перемены, кроме третьей, длятся 10 минут, а третья перемена — 20 минут. Уроки начинаются в 8.30. Когда заканчивается пятый урок? В ответе запишите часы и минуты, разделив их точкой.

Ответ :_______________________________

В2  На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — давление в атмосферах. Когда давление достигает определенного значения, открывается клапан, выпускающий часть пара и давление падает. Затем клапан закрывается, и давление снова растет. Определите по графику, сколько минут прошло между моментами, когда клапан открылся первый и второй раз.

Ответ: _______________________________

В3  Найдите корень уравнения

Ответ: _______________________________

В4  В треугольнике ABC угол C равен 90 °,
AB = 5, AC = 4. Найдите sin A.

Ответ:_______________________________

В5  Мебельная фабрика планирует приобрести 770 м2 мебельного щита у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?

Поставщик
Стоимость мебельного щита (р. за м2)

Стоимость доставки

Дополнительные условия

A

490

20 000 р.

Б

500

12 000 р.

При заказе на сумму больше 400 000 р. доставка бесплатно

В

515

17 000 р

При заказе на сумму больше 350 000 р. доставка бесплатно

Ответ:_______________________________

В6  Бумага разграфлена на квадратные клетки размером 1 x 1 см. Найдите площадь ромба, изображенного на рисунке. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:_______________________________

В7  Найдите значения выражения

Ответ:_______________________________

В8  На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной fR(x) в точке x0.

Ответ:_______________________________

В9  Камень брошен вниз с высоты 84 м. Высота h, на которой находится камень во время падения, зависит от времени t: h(t) = 84 – 16t – 5t2. Сколько секунд камень будет падать?

Ответ:_______________________________

В10  Объем прямоугольного параллелепипеда равен 54. Чему будет равен объем параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в три раза?

Ответ:_______________________________

В11  Найдите точку минимума функции y = 4x3 + 21x2 + 18x + 7.

Ответ:_______________________________

В12  Велосипедист от дома до места работы едет со средней скоростью 10 км/ч, а обратно — со средней скоростью 15 км/ч, поскольку дорога идет немного под уклон. Найдите среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути от дома до места работы и обратно. Ответ дайте в километрах в час.

Ответ:_______________________________

При выполнении заданий С1–С6 необходимо записать решение.

С1  Решите систему уравнений

С2  Диагональ A1C куба ABCDA1B1C1D1 служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через вершины B и D. Найдите величину этого угла.

С3  Решите неравенство

С4  Противолежащая основанию вершина равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 и основанием 8 служит центром данной окружности радиуса 2. Найти радиус окружности, касающейся данной и проходящей через концы основания треугольника.

С5  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет ровно шесть различных решений.

С6  Найдите наименьшее натуральное n, для которого число 2010! = 1·2·...·2010 не делится на nn.

Вариант 2

(без производной)

Ответом в заданиях В1–В12 является целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Укажите ответ в отведенном для него поле. Единицы измерения в ответе не пишите.

В1  Билет на электричку стоит 40 р. Ожидается повышение цены на 10%. Сколько билетов можно будет купить на 300 р.?

Ответ:_______________________________

В2  На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут прошло от запуска турбины до момента, когда давление во второй раз достигло наибольшего значения.

Ответ :_______________________________

В3  Найдите корень уравнения 32x – 3 = 81.

Ответ:_______________________________

В4  Найдите 14(sin2 x – 1), если

Ответ:_______________________________

В5  На рисунке показана схема дорог и расстояние между городами A, B, C, D и E вдоль этих дорог (в километрах). Электричка, грузовик и автобус одновременно выезжают из города A в город E разными путями. Электричка идет по железной дороге через B, грузовик должен проехать через C, а автобус едет только через D, не заезжая в C. Средняя скорость электрички 44 км/ч, грузовика 40 км/ч, а автобуса — 55 км/ч. Сколько минут было в пути транспортное средство, которое прибыло в E раньше других.

Ответ:_______________________________

В6  Бумага разграфлена на квадратные клетки размером 1 x 1 см. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:_______________________________

В7  Найдите значение выражения log12 36 – log12 3.

Ответ:_______________________________

В8  На рисунке изображен график движения поезда по маршруту. По горизонтальной оси откладывается время, по вертикальной — пройденное поездом расстояние от начала маршрута. Вычислите среднюю скорость движения поезда по маршруту. Ответ дайте в километрах в час.

Ответ:_______________________________

В9  Камень брошен вниз с высоты 65 м. Высота h, на которой находится камень во время падения, зависит от времени t: h(t) = 65 – 12t – 5t2. Сколько секунд камень будет падать?

Ответ:_______________________________

В10  Объем прямоугольного параллелепипеда равен 2. Чему будет равен объем параллелепипеда, если каждое его ребро увеличить в три раза?

Ответ:_______________________________

В11  Решите уравнение log11 (x2 – 5x + 6) = log11 (x – 2).

Если корней несколько, в ответ запишите их сумму.

Ответ:_______________________________

В12  Писатель хочет набрать на компьютере рукопись объемом 480 страниц. Если он будет набирать на 8 страниц и день больше, чем запланировал, то закончит работу на два дня раньше. Сколько страниц в день планирует набирать писатель?

Ответ:_______________________________

При выполнении заданий С1–С6 необходимо записать решение.

С1  Решите систему уравнений

С2  К диагонали A1C куба ABCDA1B1C1D1 провели перпендикуляры из вершин A и B. Найдите угол между этими перпендикулярами.

С3  Решите неравенство

С4  Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 5 и 12. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла.

С5  Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

| x + 1 | + 2| x + a | > 3 – 2x

выполняется для любого x.

С6  Найдите наибольшее натуральное n, для которого каждое из чисел kk при k = 1, 2, ..., n является делителем числа 2010! = 1·2·...·2010.

Ответы к заданиям с кратким ответом

Вариант 1

№ задания

Ответ

№ задания

Ответ

В1

12.15

В7

0,5

В2

6

В8

–0,5

В3

–1,25

В9

2,8

В4

0,6

В10

2

В5

396 550

В11

–0,5

В6

12

В12

12

Вариант 2

№ задания

Ответ

№ задания

Ответ

В1

6

В7

1

В2

10

В8

60

В3

3,5

В9

2,6

В4

–8

В10

54

В5

24

В11

4

В6

10

В12

40

Критерии проверки заданий С1–С6

С1.  Обоснованно получен верный ответ — 2 балла.

В верном рассуждении допущена вычислительная ошибка, которая, возможно, привела к неверному ответу — 1 балл.

В остальных случаях — 0 баллов.

С2.  Обоснованно получен верный ответ — 3 балла.

Ответ верен, но в решении содержатся незначительные ошибки или пробелы — 2 балла.

Ответ верен, но решение содержит значительные ошибки или отсутствует вовсе — 1 балл.

В остальных случаях – 0 баллов.

С3.  Обоснованно получен верный ответ — 2 балла.

В верном рассуждении допущена вычислительная ошибка, которая, возможно, привела к неверному ответу — 1 балл.

В остальных случаях — 0 баллов.

С4.  Обоснованно получен верный ответ — 3 балла.

Верно рассмотрен только один случай расположения или рассмотрены оба случая, но с арифметическими ошибками — 2 балла.

Рассмотрен только один случай расположения, но с арифметическими ошибками — 1 балл.

В остальных случаях — 0 баллов.

С5.  Обоснованно получен верный ответ — 4 балла.

Ответ верен, но в решении содержатся незначительные ошибки или пробелы — 3 балла.

Ответ неточен (содержит лишние значения или не содержит часть верных), но рассуждения правильны — 2 балла.

Ответ неверен, но в решении имеются элементы правильного рассуждения — 1 балл.

В остальных случаях — 0 баллов.

С6.  Обоснованно получен верный ответ — 4 балла.

Ответ верен, но в решении содержатся незначительные ошибки или пробелы — 3 балла.

Ответ верен, но в решении верно произведено только одно из двух необходимых действий (либо отброшены все маленькие значения , либо произведен отбор из больших) — 2 балла.

Ответ, возможно, неверен, но в решении имеются элементы правильного рассуждения — 1 балл.

В остальных случаях — 0 баллов.

Решения и ответы к заданиям С1–С6 *

Вариант 1

С1. Решение аналогично решению задания С1 варианта 3.

Ответ:

С2. Решение аналогично решению задачи С2 в варианте 3.

Ответ: 120°.

С3.  Решение аналогично решению задачи С3 варианта 3.

Ответ:

С4.  Решение аналогично решению задачи С4 варианта 3.

Ответ:

С5.  Ответ: –3π < a < –2π, 2π < a < 3π.

Решение аналогично решению следующей задачи.

Найти все значения a, при каждом из которых уравнение имеет ровно восемь различных решений.

Решение. Перейдем к равносильной системе

При a ≠ 0 график функции   — верхняя полуокружность с центром в точке (0; 0) радиуса | a |.

При | a | < πk прямая y = πk не пересекает полуокружность.

При | a | = πk прямая y = πk касается полуокружности в точке (0; πk).

При | a | > πk прямая y = πk пересекает окружность ровно в двух точках, симметричных относительно оси ординат.

Значит, восемь решений может быть, только если 3π < | a | < 4π.

Ответ: –4π < a < –3π, 3π < a < 4π.

С6.  Решение аналогично решению задачи С6 варианта 2.

Ответ: 47.

Вариант 2

 С1 . Из первого уравнения системы: cos y = –5 или

Уравнение cos y = –5 не имеет решений. Подставив во второе уравнение, получаем: cos x = –1.

Ответ:

С3.  Сделав замену переменной получаем

Решим первое неравенство: t ≤ 1, 3 < t ≤ 4. Значит,

0 ≤ x ≤ 1, 9 < x ≤16.

Ответ: 0 ≤ x ≤ 1, 9 < x ≤ 16.

С2.  Проведем плоскость a, перпендикулярную диагонали A1C. Проекция куба на плоскость α  — правильный шестиугольник (см. рисунок после задачи).

Перпендикуляры к A1C параллельны плоскости a, поэтому угол между их проекциями равен искомому углу:

Ответ: 60°.

С4. Решение аналогично решению задачи С4 варианта 4.

Ответ: 2 или 15.

С5. Ответ: Решение аналогично решению следующей задачи.

Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

2x + 2| x – a | + | x – 1 | > 3

выполняется для любого x.

Решение. Рассмотрим функцию

f (x) = 2x + 2| x – a | + | x – 1 |.

Если x < a и x < 1, то f(x) = –x + 2a + 1 убывает.

Если x > a и x > 1, то f(x) = 5x – 2a – 1 возрастает. На отрезке с концами в точках a и 1 функция f(x) монотонна. Значит, наименьшее значение функции f(x) равно f(a) или f(1). Поэтому решение задачи получаем из системы

1. Если a ≥ 1, то

2. Если a < 1, то В этом случае решений нет.

Ответ:

С6.  Если n2 ≤ 2010, то 2010! делится на nn, так как числа 1·n, 2·n, 3·n, ..., (n – 1)·n, nжn содержатся среди чисел 1, 2, 3, ..., 2010. Так как 1936 = 442 < 2010 < 452= 2025, достаточно проверить делимость 2009! на nn при n ≥ 45.

1. n = 45. 2010! делится на 4545 = 545·390, так как среди чисел 1, 2, 3, ..., 2010 найдется 45 чисел, кратных 5, и 90 чисел, кратных 3 (5·45 = 225 <2010 и 3·90 = 270 < 2010).

2. n = 46. 2010! делится на 4646 = 246·2346, так как среди чисел 1, 2, 3, ..., 2010 найдется 46 чисел, кратных 2, и 46 чисел, кратных 23.

3. n = 47. 2010! не делится на 4747, так как число 47 простое, и среди чисел 1, 2, 3, ..., 2010 есть лишь 42 числа, кратных 47 (42·47 = 1974 < 2010 < 43·47 = 2021).

Ответ: 46

Вариант 3

С1.  Решите систему уравнений

Решение. Вычитая почленно из первого уравнения второе, получаем: y = 2. Значит, tg x = 1.

Ответ:

С2.  Диагональ A1C куба ABCDA1B1C1D1 служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через середины ребер AB и DD1. Найдите величину этого угла.

Решение. Аналогично решению задачи С2 в варианте 4.

Ответ: 120°.

С3.  Решите неравенство

Решение. Если x > 0, то неравенство принимает вид Значит, любое число из промежутка (0; 2] является решением.

Если x < 0, то неравенство принимает вид Значит,

Ответ:

С4.  Противолежащая основанию вершина равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 и основанием 6 служит центром данной окружности радиуса 2. Найдите радиус окружности, касающейся данной и проходящей через концы основания треугольника.

Решение. Если в треугольнике a, b и c — длины сторон, R — радиус описанной окружности, а S — площадь, то

Возникает два случая.

1-й случай. Окружности касаются внешним образом. По условию AD = 2.

Тогда радиус окружности, описанной вокруг треугольника BCD, равен

2-й случай. Одна окружность внутри другой. AE = 2. Тогда Радиус окружности, описанной около треугольника BCE, равен

Ответ:

С5. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение | 2x – a | + 1 = | x + 3 | имеет ровно один корень.

Решение. Рассмотрим графики функций

f (x) = | x + 3 | – 1 и g(x) = | 2x – a |.

Графики этих функций имеют единственную общую точку только в двух случаях (см. рис. ниже и на следующей странице).

Значит,

Ответ: –4 и –8.

С6.  Найдите наименьшее натуральное n, для которого число nn не является делителем числа

2009! = 1·2·3·...·2009.

Решение аналогично решению задачи С6 варианта 4.

Ответ: 47.

Вариант 4

С1.  Решите систему уравнений

Решение. Из первого уравнения: sin x = 3 или Уравнение sin x = 3 не имеет решений. Подставим во второе уравнение и найдем, что y = 2.

Ответ:

С2.  К диагонали A1C куба ABCDA1B1C1D1 провели перпендикуляры из середин ребер AB и AD. Найдите угол между этими перпендикулярами.

Решение. Обозначим через E и F середины ребер AB и AD соответственно. Проведем плоскость α, перпендикулярную диагонали A1C. Проекция куба на плоскость α — правильный шестиугольник

Перпендикуляры к A1C параллельны плоскости a, поэтому угол между их проекциями равен искомому углу. Поскольку при проектировании сохраняются отношения длин проектируемых отрезков, проекции точек E и F есть точки и  — середины отрезков соответственно. Значит, искомый угол равен

Ответ: 60°.

С3. Решите неравенство

Решение. Сделав замену переменной получаем

Решим первое неравенство: t ≤ 1, 2 < t ≤4. Значит,

0 ≤ x ≤ 1, 4 < x ≤ 16.

Ответ: 0 ≤ x ≤ 1, 4 < x ≤ 16.

С4.  Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 3 и 4. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла.

Решение. В треугольнике ABC: BC = a, AC = b, AB = c, r — радиус вписанной окружности, а rc — радиус вневписанной окружности, касающейся продолжений сторон a и b. S — площадь треугольника ABC.

Тогда

Отсюда при a = 3, b = 4 находим: c = 5 и

Ответ: 1 или 6.

С5. Найти все значения a, при каждом из которых уравнение имеет ровно восемь различных решений.

Решение. Перейдем к равносильной системе

При a = 0 система имеет ровно одно решение.

При a ≠ 0 график функции  — верхняя полуокружность с центром в точке (0; 0) радиуса | a |.

При | a | < 2πk прямая y = 2πk не пересекает полуокружность. При | a | = 2πk прямая y = 2πk касается полуокружности в точке (0; 2πk).

При | a | > 2πk прямая y = 2πk пересекает окружность ровно в двух точках, симметричных относительно оси ординат.

Значит, восемь решений может быть, только если 6π< | a | < 8π.

Ответ: –8π< a < –6π, 6p < a < 8π.

С6.  Найдите наибольшее натуральное n, для которого число 2009! = 1·2·3·...·2009 делится на каждое из чисел kk при k = 1, 2, ..., n.

Решение. Если n2 ≤ 2009, то 2009! делится на nn,
так как числа 1·n, 2·n, 3·n, ..., (n – 1)·n, nжn содержатся среди чисел 1, 2, 3, ..., 2009. Так как 1936 = 442 < 2009 < 452= 2025, достаточно проверить делимость 2009! на nn при n ≥ 45.

1. n = 45. 2009! делится на 4545 = 545·390, так как среди чисел 1, 2, 3, ..., 2009 найдется 45 чисел, кратных 5, и 90 чисел, кратных 3 (5·45 = 225 < 2009 и 3·90 = 270 < 2009).

2. n = 46. 2009! делится на 4646 = 246·2346, так как среди чисел 1, 2, 3, ..., 2009 найдется 46 чисел, кратных 2, и 46 чисел, кратных 23.

3. n = 47. 2009! не делится на 4747, так как число 47 простое, и среди чисел среди чисел 1, 2, 3, ..., 2009 есть лишь 42 числа, кратных 47 (42·47 = 1974 < 2009 < 43·47 = 2021).

Ответ: 46.

* Данный раздел — избыточный. Кроме решений заданий вариантов 1 и 2, даны решения (с условием) еще двух вариантов.