Правило умножения
Фрагмент урока
Первое знакомство с вероятностью
Сценка из жизни
Андрей и Витя идут в школу на первый урок — математику. Между ними происходит следующий диалог.
Андрей. Вероятно, меня сегодня вызовут к доске.
Витя. Меня тоже, вероятно, сегодня вызовут.
Андрей. Тебя недавно спрашивали, а меня давно, так что более вероятно, что вызовут меня, а не тебя.
Витя. Согласен. Меня тоже могут вызвать отвечать, но это менее вероятно.
Обратите внимание, какие термины использовали ребята: вероятно, более вероятно, менее вероятно. Все мы довольно часто так говорим, когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом обычно опираемся на интуицию, жизненный опыт, здравый смысл и т.п.
Задание 1. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное, маловероятное или достаточно вероятное.
1. Среди ночи выглянуло солнце.
2. День рождения моего друга — число меньше, чем 32.
3. На уроке математики ученики делали физические упражнения.
4. На уроке математики ученики решали текстовые задачи.
5. Сборная России по футболу станет в 2014 году чемпионом мира.
6. Сборная России по футболу станет в 2010 году чемпионом Европы.
7. Из чисел, удовлетворяющих двойному неравенству 1 < x < 2, наугад взяли число, и оно оказалось натуральным.
8. Из чисел, удовлетворяющих двойному неравенству 1 ≤ x ≤ 2, наугад взяли число, и оно оказалось натуральным.
Часто такие приблизительные оценки оказываются недостаточными: бывает важно знать, на сколько или во сколько раз совершение одного случайного события вероятнее другого. Иными словами, хотелось бы уметь численно характеризовать возможность наступления того или иного события. Раздел математики, посвященный исследованию количественных оценок случайных событий, называют теорией вероятностей.
Первыми нашли ключ к составлению количественной оценки вероятности события французские ученые XVIII века Пьер Ферма и Блез Паскаль. Они использовали метод, который позже был назван комбинаторным анализом или, проще, комбинаторикой. Приведем пример, который иллюстрирует вышесказанные слова.
Директор написал 10 различных писем и поручил своему помощнику надписать 10 конвертов с нужными адресами. Тот так и сделал, но дальнейшее перепоручил секретарше. Она выполнила это ответственное задание формально, то есть разложила письма по конвертам, не обращая внимания на адреса. Какова вероятность того, что ни одно письмо не попало в нужный конверт? Ответ оказывается на удивление большим: вероятность такой масштабной ошибки превышает 36%.
Правило умножения для комбинаторных задач
Далее рассмотрим задачи, которые решаются на основе часто используемого в комбинаторике правила умножения.
Задача 1. Из Петербурга в Москву можно добраться на поезде, самолете, автобусе или теплоходе, а из Москвы во Владимир — на автобусе или электричке. Сколькими способами можно осуществить путешествие Петербург – Москва – Владимир?
Решение. Сначала следует выбрать один из четырех возможных способов путешествия из Петербурга в Москву, а затем — один из двух способов путешествия из Москвы во Владимир. Значит, всего получается 4∙2 = 8 способов путешествия. (Это рассуждение лучше проводить с опорой на рисунок.)
Соображения, приводимые при решении этой задачи, желательно обобщить в виде простого утверждения, которое носит название комбинаторного правила умножения.
Если некоторое действие можно осуществить m различными способами, после чего другое действие можно осуществить n различными способами, то два эти действия можно осуществить mжn различными способами.
Задача 2. В розыгрыше чемпионата по футболу участвуют 12 команд. Сколькими способами могут быть распределены:
а) золотая медаль:
б) золотая и серебряная медали:
в) золотая, серебряная и бронзовая медали?
Решение:
а) 12 (золотую медаль, в принципе, может получить любая команда);
б) 12∙11 = 132 (выбор золотого медалиста ограничивает круг претендентов на серебряную медаль — их остается только 11; в самом деле, если команда получила золотую медаль, то она уже не является претендентом на серебряную медаль);
в) 12∙11∙10 = 1320 (это обобщенное правило умножения, здесь рассматриваются не два, а три действия, выполняемые последовательно).
Задача 3. Сколько существует вариантов кода для входной двери, состоящего из трех цифр?
В условии задачи не оговорено, как набирается код: последовательно или одновременно нажимаются все три кнопки. Эта недоговоренность, характерная для ряда комбинаторных задач, дает возможность учащимся в ходе решения на собственном опыте ощутить те подводные камни, которые часто подстерегают нас в комбинаторных задачах.
Решение. Если рассмотреть случай последовательного набора, то цифры могут повторяться. Цифр всего 10, поэтому мы имеем 10∙10∙10 = 1000 вариантов кода.
В случае одновременного набора трех цифр — получается 10∙9∙8 = 720 вариантов кода. (Первым пальцем может быть нажата любая из 10 цифр, вторым — одна из оставшихся девяти, третьим — одна из оставшихся восьми.)
Задание на дом
1. Сколько существует четырехзначных чисел, которые делятся на 5?
2. Известно, что у всех жителей селения разные инициалы. Какое максимальное число жителей в селении? (Имя и отчество могут начинаться с любой буквы алфавита, кроме «й», «ъ», «ь», «ы».)
Ответы: 1. 9∙10∙10∙2 = 1800. 2. Максимально 29∙29 = 941 житель.