VI Олимпиада по геометрии им. И.Ф. Шарыгина. Заочный тур

Приводим условия задач заочного тура VI геометрической олимпиады им. И.Ф. Шарыгина.
В олимпиаде могут участвовать школьники 8–11-х классов. В списке задач, приведенном ниже, после порядкового номера каждой задачи указано, учащимся каких классов (на момент проведения олимпиады) она предназначена. Впрочем, можно решать также задачи и для более старших классов (решенные задачи для младших классов при подведении итогов не учитываются).
Решения задач на русском языке должны быть посланы не позднее 1 апреля 2010 года. Рекомендуется присылать решения по электронной почте в форматах pdf, doc или ipg на адрес geomolymp@mccme.ru. При этом, во избежание потери работы нужно соблюдать следующие правила.
1. Каждую работу следует посылать отдельным письмом.
2. Если работа содержится в нескольких файлах, желательно присылать их в виде архива.
3. В теме письма нужно написать: «Работа на олимпиаду им. Шарыгина», а в тексте привести следующие сведения об участнике:
— фамилию, имя, отчество;
— полный почтовый адрес с индексом, телефон, e-mail;
— класс, в котором сейчас учится школьник;
— номер и адрес школы;
— ФИО учителей математики и/или руководителей кружков.
Если у вас нет возможности прислать работу в электронном виде, пришлите ее простой бандеролью (или принесите сами) в обычной тетради, не сворачивая тетрадь в трубку, по адресу: 119002, Москва, Г-002, Большой Власьевский пер., д. 11, МЦНМО. На олимпиаду им. И.Ф. Шарыгина. На обложке тетради обязательно укажите все сведения, перечисленные выше в пункте 3.
Решение каждой задачи начинайте с новой страницы: сначала надо переписать условие, затем записать решение, причем старайтесь писать подробно, приводя основные рассуждения и выкладки, делая аккуратные чертежи. Если задача на вычисление, в конце ее решения должен быть отчетливо выделенный ответ. Пишите аккуратно, ведь вы же заинтересованы в том, чтобы вашу работу можно было понять и справедливо оценить!
Если вы пользуетесь в решении какой-то известной теоремой или фактом, приведенным в задаче из школьного учебника, можно просто на это сослаться (чтобы было понятно, какую именно теорему или факт вы имеете в виду). Если же вам необходим факт, не встречающийся в школьном курсе, его обязательно надо доказать (или сообщить, из какого источника он взят).
Ваши работы будут тщательно проверены, и вы получите (не позднее середины мая 2010 г.) ответ жюри. Победители заочного тура — учащиеся 8–10-х классов будут приглашены на финальный тур, который состоится летом 2010 года в г. Дубна под Москвой. Победители заочного тура — выпускники школ получат грамоты оргкомитета олимпиады.

Задачи

1. (8-й класс.) Существует ли треугольник, в котором одна сторона равна какой-то из его высот, другая — какой-то из биссектрис, а третья — какой-то из медиан?
2. (8-й класс.) В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) биссектрисы AA1 и BB1 пересекаются в точке I. Пусть O — центр описанной окружности треугольника CA1B1. Докажите, что OI⊥AB.
3. (8-й класс.) Точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC. Точка X такова, что ∠AXB= ∠A'C'B' + ∠ACB и ∠BXC = ∠B'A'C' + ∠BAC. Докажите, что четырехугольник XA'BC' — вписанный.
4. (8-й класс.) Диагонали вписанного четырех­угольника ABCD пересекаются в точке N. Окружности, описанные около треугольников ANB и CND, повторно пересекают стороны BC и AD в точках A1, B1, C1, D1. Докажите, что четырехугольник A1B1С1D1 вписан в окружность с центром N.
5. (8–9-е классы.) На высоте BD треугольника ABC взята точка E такая, что ∠AEC = 90°. Точки O1 и O2 — центры описанных окружностей тре­угольников AEB и CEB; F, L — середины отрезков AC и O1O2. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.
6. (8–9-е классы.) На стороне BC равностороннего треугольника ABC взяты точки M и N (M лежит между B и N) такие, что ∠MAN = 30°. Описанные окружности треугольников AMC и ANB пересекаются в точке K. Докажите, что прямая AK содержит центр описанной окружности треугольника AMN.
7. (8–9-е классы.) Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная медиане BM. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из A и C (или их продолжения), в точках K и N. Точки O1 и O2 — центры описанных окружностей тре-угольников ABK и CBN соответственно. Докажите, что O1M = O2M.
8. (8–10-е классы.) В треугольнике ABC проведена высота AH. Точки Ib и Ic — центры вписанных окружностей треугольников ABH и CBH; L — точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Найдите угол LIbIc.
9. (8–10-е классы.) Назовем точку внутри тре­угольника хорошей, если три чевианы, проходящие через нее, равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек нечетно. Чему оно может быть равно?
10. (8–11-е классы.) Дан треугольник ABC. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне AB такую точку D, что
11. (8–11-е классы.) Выпуклый n-угольник разрезан на 3 выпуклых многоугольника. У одного из них n сторон, у другого — больше, чем n, у третьего — меньше, чем n. Каковы возможные значения n?
12. (9-й класс.) В прямоугольном треугольнике ABC AC — больший катет, CH — высота, проведенная к гипотенузе. Окружность с центром H и радиусом CH пересекает катет AC в точке M. Точка B' симметрична точке B относительно H. В точке B' восстановлен перпендикуляр к гипотенузе, который пересекает окружность в точке K. Докажите:
а) что B'M BC;
б) AK — касательная к окружности.
13. (9-й класс.) В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC. На диагонали BD выбрана точка K такая, что ∠AKB + ∠BKC = ∠A + ∠C. Докажите, что AK∙CD = KC∙AD.
14. (9–10-е классы.) На стороне AD выпуклого четырехугольника ABCD нашлась такая точка M, что CM и BM параллельны AB и CD соответственно. Докажите, что SABCD ≥ 3SBCM.
15. (9–11-е классы.) В остроугольном треугольнике ABC AA1, BB1 и CC1 — высоты. Прямые AA1 и B1C1 пересекаются в точке K. Окружности, описанные вокруг треугольников A1KC1 и A1KB1 вторично пересекают прямые AB и AC в точках N и L соответственно. Докажите:
а) что сумма радиусов этих окружностей равна стороне BC;
б) 
16. (9–11-е классы.) В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C.
Прямая, проходящая через A, пересекает окружность в точках D и E. Хорда BX параллельна прямой DE. Докажите, что отрезок XC проходит через середину отрезка DE.
17. (9–11-е классы.) Постройте треугольник по высоте и биссектрисе, проведенным из одной вершины, и медиане, проведенной из другой вершины.
18. (9–11-е классы.) На хорде AC окружности ω выбрали точку B. На отрезках AB и BC как на диаметрах построили окружности ω1 и ω2 с центрами O1 и O2, которые пересекают ω второй раз в точках D и E соответственно. Лучи O1D и O2E пересекаются в точке F. Лучи AD и CE пересекаются в точке G. Докажите, что прямая FG проходит через середину AC.
10. (9–11-е классы.) Четырехугольник ABCD вписан к окружность с центром O. Точки P и Q диаметрально противоположны C и D соответственно. Касательные к окружности в этих точках пересекают прямую AB в точках E и F (A лежит между E и B, B — между A и F). Прямая EO пересекает AC и BC в точках X и Y, а прямая FO пересекает AD и BD
в точках U и V. Докажите, что XV = YU.
20. (10-й класс.) Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается его сторон AB, BC, CA в точках C1, A1, B1 соответственно. Пусть A2, B2 — середины отрезков B1C1, A1C1 соответственно, O — центр описанной окружности треугольника, P — одна из точек пересечения прямой CO с вписанной окружностью. Прямые PA2 и PB2 вторично пересекают вписанную окружность в точках A' и B'. Докажите, что прямые AA' и BB' пересекаются на высоте треугольника, опущенной на AB.
21. (10–11-е классы.) Дан выпуклый четырех­угольник ABCD. Известно, что ∠ABD + ∠ACD >
> ∠BAC + ∠BDC. Докажите, что
SABD + SACD > SBAC + SBDC.
22. (10–11-е классы.) Окружность с центром F и парабола с фокусом F пересекаются в двух точках. Докажите, что на окружности найдутся такие четыре точки A, B, C, D, что прямые AB, BC, CD и DA касаются параболы.
23. (10–11-е классы.) Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что AB∙CF =
= 2BC∙FA, CD∙EB = 2DE∙BC, EF∙AD = 2FA∙DE. Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.
24. (10–11-е классы.) Дана прямая l в пространстве и точка A, не лежащая на ней. Для каждой прямой l', проходящей через A, построим общий перпендикуляр XY (Y лежит на l') к прямым l и l'. Найдите ГМТ точек Y.
25. (11-й класс.) Среди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами правильного октаэдра. Найдите отношение ребер икосаэдров.