Сколько корней имеет уравнение? Ищем ответ с помощью компьютера
В статье приводятся результаты решения уравнения, одной частью которого является логарифмическая функция, а другой — показательная, причем с одинаковыми основаниями:
loga x = ax, a > 0, a ≠ 1. (1)
Решение проводилось с помощью компьютера, что позволило проанализировать количество корней в зависимости от значения оснований вышеуказанных функций, что было бы невозможно при построении графиков вручную. О возможности существования трех корней в уравнении такого вида упоминается в учебниках, но ни в одном школьном учебнике математики не приводятся графики, показывающие наличие трех корней. Поэтому у учащихся чаще всего создается впечатление, что уравнение данного вида всегда имеет не более одного корня, и когда обнаруживается, что в некоторых ситуациях могут быть и другие корни, это вызывает недоумение: «откуда они берутся?». Используемые в приведенном уравнении функции основательно изучаются в школе, и на их свойства часто опираются при решении различного рода задач. Вопросу решения уравнений графическими методами в школьном курсе математики отводится далеко не последнее место, причем практически в течение всего времени изучения курса алгебры и начал анализа. К графической иллюстрации решения уравнений, систем уравнений, задач с параметрами (и во многих других случаях) активно обращаются авторы всех школьных учебников и многочисленных методических пособий. И это, конечно, оправданно, как говориться лучше один раз увидеть... Однако, несмотря на такое внимание к данному вопросу, полного понимания о границах применения данного метода у учащихся все-таки нет. О чем красноречиво свидетельствуют результаты экзаменационных работ, как в традиционной форме, так и в форме ЕГЭ, где достаточно часто решение задач опирается на умение правильно применять методы исследования функций. Поэтому мы и решили еще раз обратиться к этой теме, тем более что будут рассмотрены функции, тщательно изучаемые в школе. И тем более интересен тот факт, что даже в тех случаях, когда мы имеем дело с графиками хорошо знакомых функций, очень легко ошибиться, если не провести исследование методами высшей математики, а строить графики по точкам. Кроме того, в статье указывается значение основания логарифмической и показательной функции
aкрит, при котором происходит смена количества корней.
Итак, рассмотрим уравнение log2 x = 2x, графическое решение которого приведено на рисунке 1.
Показательная функция лежит выше прямой
y = x, а логарифмическая – ниже. Следовательно, уравнение решений не имеет. Для всех оснований показательной и логарифмической функций
a > 1 картина принципиально не изменится. Другое дело при a < 1.
Возьмем уравнение
Его решение изображено на рисунке 2.
Так как показательная и логарифмическая функции с одинаковыми основаниями являются взаимообратными, то их графики симметричны относительно прямой y = x, а значит, одно решение лежит на биссектрисе первого координатного угла. И вроде бы никаких других корней быть не должно, хотя утверждать это, конечно, мы не имеем право. Тем не менее в рассматриваемом случае решение все-таки одно.
Рассмотрим другое уравнение:
Оно очень похоже на предыдущее, у него есть решение, лежащее на биссектрисе угла первой четверти, но при этом присутствует достаточно большой кусок, на котором графики фактически сливаются, как говорится — картина «смазана», и визуально никакого заключения сделать нельзя (рис. 3).
Возникает искушение провести аналогию с первым случаем и сделать вывод о единственном корне уравнения. Однако имеются еще два решения:
Их легко проверить подстановкой.
Возьмем еще одно аналогичное уравнение:
Его графическое решение приведено на рисунке 4, на котором хорошо видно наличие трех корней.
Вручную просчитать точки и построить графики второго и третьего уравнений просто нереально, именно по этой причине учащиеся не могут увидеть приведенную выше картину, построив графики самостоятельно. В нашей статье все приведенные выше графические решения были получены с помощью компьютера.
После всего сказанного возникает вопрос: при каком же критическом значении aкрит в уравнении (1) меняется количество корней? Ответ на него можно получить, произведя численное исследование при помощи компьютера. При этом получается, что для оснований больших aкрит ≈ 0,065 имеется только один корень, а для меньших — три корня. Аналитическое решение дает aкрит = e–e. Сами решения мы здесь не приводим, так как это выходит за рамки школьного курса.
В заключение стоит отметить, что аналитическое нахождение корней уравнения (1) для любых a не представляется возможным, а численные методы дают лишь приближенные значения. В этой статье мы показали, что графическое построение с помощью компьютера позволило прояснить общую картину происходящего: выявить, что исследуемое уравнение может иметь различное число корней в зависимости от основания.