Текстовые задачи: восхождение от абстрактного к конкретному
В книге [1] находим такую задачу:
Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 5 часов после того, как один приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. За сколько часов был выполнен весь заказ?
Задача может быть решена арифметически. Если принять весь заказ за единицу, то за час каждый рабочий выполняет
часть всего заказа. Первый за 5 часов выполнил
всего заказа. Осталось выполнить
заказа. Но теперь за каждый час двумя рабочими выполняется
всего заказа. За какое время они, работая вдвоем, завершат работу над заказом? Делим
на
и получаем 5 — за пять часов. Следовательно, ответ в этой задаче — 10 часов.
Порой встречаются выпускники, которые не любят действия с обыкновенными дробями. Возможно, им, а также тем, у кого превалирует наглядно-образное мышление, помогут такие рассуждения.
Вообразим, что заказ состоит в изготовлении пятнадцати тортов. В этом случае рабочего естественно назвать кондитером. Стало быть, каждый кондитер за час изготавливает ровно один торт. Так мы интерпретируем первую часть задачи. Согласно второй части условия заключаем, что за 5 часов работы в одиночку первый кондитер изготовил 5 тортов. Остается еще 10. Но теперь два кондитера, работая вместе, изготавливали по 2 торта в час, и изготовление 10 тортов потребовало от них 5 часов рабочего времени. Итак, над выполнением заказа сначала первый кондитер трудился 5 часов, и затем еще 5 часов кондитеры работали вдвоем. Получается в итоге, что весь заказ был выполнен за 10 часов.
Вспомним метод исследования объекта, состоящий в переходе от абстрактного и одностороннего знания о нем ко все более конкретному его воспроизведению в теоретическом мышлении. Не используем ли мы его здесь?!
Прочитал ученик условие. Встретил слово заказ. Что это может быть за заказ, который выполняется 15 часов? Заказ на ремонт квартиры? Поручение вскопать дачный участок? Или задание кондитеру испечь пирожные к новогоднему вечеру?
Предположим, что речь идет о кондитере, которому поручено испечь А штук пирожных. У двух кондитеров одинаковая квалификация. Эти слова означают, что как работники они одинаковые, то есть работают одинаково, с одинаковой производительностью труда. Пусть каждый из них выпекает х пирожных в час. Первое предложение из условия задачи приводит к уравнению
15∙x = A.
Пусть два кондитера работали вместе t часов. За это время они испекли 2xжt пирожных.
Приходим ко второму уравнению
5∙x + 2x∙t = A.
Приравниваем два выражения для А и после сокращения на x находим t = 5.
А если пятнадцать тортов расположить на временной оси (рис. 1), то по этой картинке задачу сможет решить, наверное, ученик начальной школы.
Замечательный куйбышевский учитель литературы Василий Павлович Финкельштейн рассказывал своим ученикам о том, как Алексей Николаевич Толстой работал над романом «Петр Первый». Писатель усаживался за стол, сосредотачивался, стараясь представить своих героев. И вдруг в комнату через открытую дверь входил... сам царь Петр, затем из-за оконной занавеси появлялся... Алексашка Меньшиков... И теперь писателю оставалось только, наблюдая за своими героями, описать их внешность, одежду, манеру разговора... Вот такая сила воображения сопровождала творчество А.Н. Толстого.
Учить школьников продуктивному воображению мы можем и при решении текстовых задач. Вообразим, что в нашей задаче заказ (или лучше сказать, задание) заключается в том, что водителю поливальной машины поручено в жаркий летний день полить водой улицы небольшого города. Сделать это он может за 15 часов. После пяти часов работы к нему присоединился водитель второй, такой же поливальной машины. Все улицы города изобразим отрезком прямой. И задача превращается в задачу о движении двух машин навстречу друг другу с одной и той же скоростью (рис. 2).
Каждая из пятнадцати одинаковых стрелок на этом рисунке соответствует пути, проходимому каждой машиной за один час.
Чем больше вариантов рассуждений мы будем предлагать нашим ученикам по поводу текстовых задач, тем более, пожалуй, мы сможем учесть их индивидуальные особенности, тем более наше преподавание будет личностно-ориентированным.
Так к какому же типу относится эта задача? Задача на составление уравнений? Арифметическая задача? Или задача на простые рассуждения? Пожалуй, эта задача на понимание. На понимание учеником содержащейся в условии информации и на действия с этой информацией. Конечно, кто-то из выпускников заметит, что на ЕГЭ за курс средней школы фактически предлагается задача из первого класса... Но снова скажем: что может быть важнее понимания?! Об этом, как о самом сокровенном, сказал Поэт:
Я хочу быть понят моей страной,
а не буду понят — что ж,
По родной земле пройду стороной,
как проходит косой дождь.
Быть понятыми своими учениками. Не это ли самое главное в работе учителя?
Литература
Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д., Захаров П.И. и др. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2010: Математика / Под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: АСТ: Астрель, 2010.