Метод сечений в стереометрии

Из опыта работы школы N 759 Северо-Восточного учебного округа г. Москвы за 1990-1997 гг.

Курс стереометрии общеобразовательной школы по программе, рассчитанной на два урока в неделю, страдает в своей практической части недостаточной преемственностью курса планиметрии, слабой взаимосвязью с другими учебными предметами и не является в полной мере составной частью базы знаний, необходимых учащимся для продолжения образования в высших учебных заведениях.

Метод сечений, широко известный своей универсальностью, применяется в некоторых разделах физики, в теоретической механике, сопротивлении материалов, гидравлике, в некоторых разделах высшей математики и других естественных науках и технических дисциплинах высшего образования. Этот метод оказывает значительное влияние на развитие у учащихся пространственных представлений и пространственного мышления.

Данный материал характеризуется следующими особенностями:

1. Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.

2. В задачах используются в основном простейшие многогранники - с целью доступности решения таких задач как учащимися, так и учителями, а также ввиду возможности применения одних и тех же геометрических конструкций по нескольку раз для изучения различных тем.

3. Учителям, знакомящимся с данным материалом, предлагается самим оценить уровень его трудности в соответствии с уровнем подготовки своих учащихся. Материал как полностью, так и частично, может быть полезен классам и школам всех типов, в том числе и классам с углубленным изучением математики.

4. Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного применения. В некоторых задачах намеренно повторяются алгоритмы вычисления различных элементов с целью упрочнения умений и навыков учащихся и стандартизации подхода к решению предложенных и аналогичных задач.

Материал расположен в той последовательности, в какой он применялся для обучения учащихся. Классифицировать его по тематике задач с примерным соблюдением принципа «от простого к сложному» можно весьма условно следующим образом:

I. Нахождение площади сечений в многогранниках (до изучения теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).
II. Использование свойств подобных треугольников.
III. Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в многогранниках.
IV. Определение угла между плоскостями.
V. Нахождение площади сечений в многогранниках (с применением теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).
VI. Отношение объемов частей многогранника.
VII. Наибольшее и наименьшее значения площади переменного сечения в многогранниках.
VIII. Вращение многогранников.

Применение метода сечений в практической части большинства тем стереометрии подтверждает его универсальность.

Тема I.

Нахождение площади сечений в многогранниках

(до изучения теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника)

1. Найти площадь сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а плоскостью, проходящей через вершину D и точки E и F на ребрах A₁D₁ и C₁D₁ соответственно, если A₁E = k•D₁E и C₁F = k•D₁F.

no35_1.gif (4826 bytes)

DE = no35_2.gif (364 bytes) .

В сечении - равнобедренный треугольник DEF.

h = no35_17.gif (1241 bytes) .

Ответ:

Sсеч.= S_DDEF = no35_28.gif (1490 bytes) .

Возможные варианты:

k = 0 Ю Sсеч. = (равносторонний _DA₁C₁D);

k = 1 Ю Sсеч.= ; k = 2 Ю Sсеч. = ;

k = 3 Ю Sсеч. = ; k = 4 Ю Sсеч. = ;

k = 6 Ю Sсеч. = ; k = 1,5 Ю Sсеч. = ;

k = 0,5 Ю Sсеч. = ; k = 0,1 Ю Sсеч. = no35_21.gif (1073 bytes) .

2. Найти площадь сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а плоскостью, проходящей через вершины C₁ и D и точку E на ребре A₁D₁, если A₁E = k•D₁E.

no35_3.gif (5910 bytes)

В сечении - равнобедренный треугольник C₁DE.

. wpe12.jpg (2203 bytes)

Ответ:

Sсеч. =S_DC₁DE = wpe13.jpg (2729 bytes) .

Возможные варианты:

k = 1 Ю Sсеч. = ; k = 2 Ю Sсеч. = ;

k = 3 Ю Sсеч. = ; k = 4 Ю Sсеч. = ;

k = 0,75 Ю Sсеч. = ;

k = 0,4 Ю Sсеч.. = no35_27.gif (1036 bytes) .

3. Найти площадь сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а плоскостью, проходящей через вершину D и точки E и F на ребрах A₁D₁ и D₁C₁ соответственно, если D₁E = k•A₁E и C₁F = k•D₁F.

no35_4.gif (10076 bytes)

В сечении - произвольный треугольник DEF.

no35_30.gif (1309 bytes) .

Алгоритм нахождения площади треугольника по трем сторонам, выраженным неравными иррациональными числами:

1) для стороны DE по теореме косинусов

DE² = EF² + DF² – 2•EF•DF•cos a Ю

no35_32.gif (2476 bytes) ;

2) no35_33.gif (1748 bytes) ;

3) Sсеч. = S_DDEF = no35_34.gif (1375 bytes)

Возможные варианты (k № 0 и k № 1):

k = 2 Ю Sсеч. =; k = 3 Ю Sсеч. = ;

k = 5 Ю Sсеч. = ; k = 1,5 Ю Sсеч. = .

4. Найти площадь сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а плоскостью, проходящей через вершины A₁ и C₁ и точку F на ребре AD, если AF = k•DF.

no35_6.gif (12794 bytes)

Сначала устанавливаем вид фигуры.

FE || A₁C₁ (методом «от противного»); затем, переходя от подобия _DA₁D₁M и _DFDM к подобию _DC₁D₁M и _DEDM, устанавливаем, что DF = DE.

Можем не строить т. M, а доказать, что FE || A₁C₁, применив теорему о двух параллельных плоскостях, пересеченных третьей плоскостью; затем, применив теорему о двух прямых, параллельных третьей (AC || A₁C₁ и FE || A₁C₁ Ю FE || AC), можем рассмотреть подобие DACD и DFED.

В результате получим DF = DE Ю AF = CE Ю DAA₁F = DCC₁E (по двум катетам) Ю A₁F = C₁E.

В сечении - равнобокая трапеция.

wpe17.jpg (5929 bytes)

Sсеч. = S_A1C1EF = no35_31.gif (1731 bytes) .

Возможные варианты:

k = 1 Ю Sсеч. = ; k = 2 Ю Sсеч. = ;

k = Ю Sсеч. = ; k = Ю Sсеч. = ;

k =Ю Sсеч. = ; k = Ю Sсеч. = .

5. Найти площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды ABCDM с ребрами а (половинка октаэдра) плоскостью, проходящей через сторону основания AD и точку E на боковом ребре MC, если CE = k•ME.

no35_7.gif (6319 bytes)

Сначала обосновываем EF || AD («от противного») Ю _DMEF - равносторонний Ю EF = ; затем находим DE из _DCDE по теореме косинусов (и аналогично - AF).

В сечении - равнобокая трапеция.

Ответ: Sсеч. = S_AFED = .

Возможные варианты:

k = 1 Ю Sсеч.= ; k = 2 Ю Sсеч. = ;

k = 4 Ю Sсеч.= ; k = Ю Sсеч. = .

6. Найти площадь сечения правильного тетраэдра ABCM с ребром а плоскостью, проходящей через точки D, E и F на ребрах MA, MB и BC соответственно, если MD : AD = ME : BE = BF : CF = k.

no35_8.gif (8136 bytes)

В сечении - равнобокая трапеция.

Ответ: Sсеч. = S_DEFN = wpe2A.jpg (1925 bytes) .

Возможные варианты:

wpe2B.jpg (1415 bytes) Ю Sсеч.= ; Ю Sсеч. = ;

Ю Sсеч. = ; Ю Sсеч. = ;

Ю Sсеч. = ; k = 1 Ю Sсеч. = (квадрат).

7. Найти площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью, проходящей через сторону основания A₁B₁ и точку D на стороне BC другого основания, если CD = k•BD, сторона основания призмы равна а и высота H = na.

no35_9.gif (19362 bytes)

В сечении - равнобокая трапеция.

Ответ:

Sсеч. = wpe36.jpg (3379 bytes) .

Для подбора вариантов удобно назначить

n = Ю

Ю Sсеч. = wpe38.jpg (2345 bytes) .

8. Найти площадь сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а плоскостью, проходящей через вершину C₁ и середины ребер A₁D₁ и CD.

DF = (находим из подобия).

no35_10.gif (9308 bytes)

В сечении - неравнобокая трапеция.

Из _DMEF по теореме косинусов определяем cos a= ,
затем sin a = ;

Sсеч. = S_С1NFM = sin a= .

no35_11.gif (2453 bytes)

Приведем другой способ нахождения площади неравнобокой трапеции, стороны которой не являются рациональными числами:

wpe3E.jpg (1909 bytes) Ю wpe3F.jpg (2220 bytes) Ю wpe40.jpg (2111 bytes)

h = ; Sтрап. = Чh.

Аналогичная задача с изменением условия:

D₁M = 3ЧA₁M.

В этом случае D₁M = Ю DF = ; Sсеч. = .

9. Найти площадь сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а плоскостью, проходящей через вершины B₁ и D и середину ребра CC₁.

В сечении - ромб.

no35_12.gif (5064 bytes)

Ответ:

Sсеч. =S_B₁MDN = ЧB₁DЧMN = B₁DЧAC = .

10. Найти площадь сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а плоскостью, проходящей через вершины B₁ и D и точку M на ребре CC₁, если C₁M = 2•CM.

no35_13.gif (6860 bytes)

wpe48.jpg (3603 bytes) .

В сечении - параллелограмм.

Из _DB₁DM по теореме косинусов находим cos a= , затем sin a= ;

Sсеч. =S_B₁MDN = B₁DЧB₁MЧsin a = .

Аналогичная задача с изменением условия:

C₁M = 3ЧCM.

Тогда Sсеч.=.

11. Найти площадь сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а плоскостью, проходящей через вершину B₁ и середины ребер AD и CD.

no35_14.gif (9329 bytes)

wpe4D.jpg (3685 bytes) .

В сечении - пятиугольник.

Так как DDEF =DCTF, то CT = ; затем из подобия DBB₁T и DCMT определяем CM = Ю C₁M =;

MN = AC = ; пятиугольник состоит из равнобокой трапеции и равнобедренного треугольника;

Sсеч. = .

Примечание к задаче 11. Пятиугольник можно достроить до ромба.

12. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ со стороной основания а и высотой H=na найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершину C и середины ребер AA₁ и A₁B₁.

no35_15.gif (16067 bytes)

В сечении - произвольный четырехугольник.

no35_16.gif (4813 bytes)

Так как DA₁DM = DB₁FM, то B₁F = ; затем из подобия DBCF и DB₁NF определяем B₁N = Ю C₁N = . Отрезок MN находим из _DMNB₁ по теореме косинусов; диагональ CM можно найти из прямоугольного треугольника CC₁M (на рисунке не показан). Площадь четырехугольника CDMN определяем по сумме площадей треугольников CDM и CMN, введя вспомогательные углы a и b.

S_{D_CDM} = wpe56.jpg (1955 bytes) S_{D_CMN} = wpe57.jpg (2015 bytes) ;

Sсеч. = wpe58.jpg (2053 bytes) .

Возможные варианты:

n = = 1 Ю Sсеч. = ; n = Ю Sсеч. = ;

n = Ю Sсеч. = .