«Геометрия 7–9» – ретро и модерн в одном учебнике

Три года в ряде школ Южного округа учащиеся 7–9-х классах изучают геометрию по учебнику И.Ф. Шарыгина. Этот учебник привлекает учителей новизной идей, свежестью и оригинальностью задач, нестандартностью решения некоторых теоретических проблем.

Учебник реализует новые концепции изучения геометрии. Традиционно считается, что геометрия строго логическая наука, развивающая в первую очередь (и главным образом) логическое мышление. Автор учебника трактует назначение геометрии более широко. Он утверждает, что геометрическое мышление, которое формирует геометрия, имеет две составляющие – наглядно-образную и логическую, и что геометрия согласует обе эти составляющие. При этом, на начальном этапе изучения геометрии акцент делается на наглядно-образной составляющей и только по мере развития геометрического мышления возрастает значение его логической составляющей.

Курс новый, во многом новаторский, поэтому при изучении геометрии по учебникам И.Ф. Шарыгина необходима «добротная» пропедевтика. И в качестве ее выступает начальный курс в системе школьного геометрического образования – оригинальный курс «Наглядная геометрия», рассчитанный на учащихся 5–6-х классов. В этом курсе учащимся сообщается определенный объем геометрических знаний, он вооружает их геометрическим методом познания мира.

Известна книга И.Ф. Шарыгина и Л.Н. Ерганжиевой «Наглядная геометрия», а в издательстве «Просвещение» вышло пособие Е.С. Смирновой «Методическая разработка курса наглядной геометрии в 5-м классе». В этом пособии, представляющем досистематический курс, подобран и, главное, организован обширный, эмоционально окрашенный занимательный материал: игры, головоломки, задачи, опыты и эксперименты. При подборе задач и теоретического материала основной акцент сделан на упражнения, развивающие геометрическую интуицию и воображение. Приведено много упражнений, требующих при их решении нестандартного и творческого подхода. Плоские фигуры выступают как производные пространственных, поэтому куб и квадрат, треугольник и тетраэдр, многогранник и многоугольник рассматриваются в единых блоках. При изучении простейших фигур – точек, отрезков прямых – рассматриваются занимательные задачи на размещение и перестановки, задачи со спичками, предлагаются задания на доске Карасева, где штыри – точки, а шнур играет роль ломаной линии, проходящей через эти точки.

Много экспериментальных и исследовательских заданий в главе, посвященной кубу и квадрату. Здесь учащиеся знакомятся с «полимино», узнают, как самим изготовить различные фигурки полимино: «тримино», «тетрамино», «пентамино», «гексамино», а затем учатся конструировать фигурки из отдельных элементов пентамино. Многие из них впервые изготавливают фигуры оригами из отдельных листов бумаги, впервые занимаются моделированием. Самую простую модель – модель куба – ребята изготавливают и методом «оригами», и с помощью развертки, представляющей собой одну из фигурок «гексамино», и из трех отдельных полосок бумаги. Изготовленные модели учитель может с успехом использовать при решении задач на проекционном чертеже.

Много интересного и полезного материала содержат и другие главы первой части пособия, посвященной курсу «Наглядной геометрии» для 5-го класса. Вторая часть этого пособия предназначена для 6-го класса. Она содержит обширный материал мировоззренческого характера. Названия глав этой части пособия говорят сами за себя: «Геометрические образы чисел и учение Пифагора», «В мире линий и топология», «Симметрия и геометрическое строение мира», «Пропорциональность и гармония» и др.

Таково, в общих чертах, содержание курса «Наглядная геометрия», который, формируя у учащихся геометрическое видение мира, вместе с тем решает не менее важную задачу – задачу развития интереса к геометрии.

Задача развития интереса остается важнейшей и в учебнике «Геометрия 7–9» И.Ф. Шарыгина, в материале относящемся к курсу 7-го класса. Основными средствами, помогающими решить эту задачу, являются интересные, занимательные упражнения, красивые чертежи-картинки, разнообразная самостоятельная деятельность.

Характерные особенности этого курса геометрии:

– раннее введение осевой симметрии на плоскости;
– появление окружности и круга одновременно с треугольником, что позволяет сделать эти фигуры главными «персонажами» в последующих рассуждениях и уже в начале курса доказать ряд содержательных теорем, а именно:

Система задач в курсе удачно реализует идею уровневой дифференциации. Для этого введены обозначения: «в» – важная, «т» – трудная задача. В качестве объектов в задачах выступают не только плоские фигуры, но и пространственные тела, главным образом многогранники, что создает своего рода трехмерный интерьер, не допускающий деградации пространственного мышления учащихся.

Главной особенностью рассматриваемого курса является тот факт, что в учебнике не только выстраивается теория, но и изучаются методы решения геометрических задач, причем последнее является важнейшей целью обучения геометрии. На фоне содержательных задач показываются основные подходы, приемы, идеи, которые могут быть использованы при решении геометрических задач. К ним можно отнести перебор вариантов, выделение ключевого треугольника, введение вспомогательной окружности, использование симметрии, поворота и других движений, четности и т. д.

В качестве примера рассмотрим метод вспомогательной окружности – один из ведущих методов, предлагаемых в учебнике. Этот метод основан на применении теоремы о четырех точках на окружности (гл. V).

Теорема 5.9. Если для четырех точек плоскости A, B, M, K выполняется одно из двух следующих условий:

а) точки M и K расположены по одну сторону от прямой AB и при этом  AMB = AKB;
б) точки M и K расположены по разные стороны относительно прямой AB и при этом  AMB + AKB = 180°, то точки A, B, M, K лежат на одной окружности.

       M =K                           M +K = 180°

Точки A, B, M, K принадлежат одной окружности.

Метод вспомогательной окружности используется при решении большого числа разнообразных задач для учащихся 8-го класса.

Задача 2 (п. 5.4.).

Дано: ABCD – выпуклый четырехугольник. ABC = 102°, DBC = 44°, ACD = 58°.

Найти CAD.

Решение.

1) ABD = ABCDBC, ABD = 102° – 44° = 58°.
2) ABD = ACD, значит, точки A, B, C, D лежат на одной окружности (теорема 5.9).
3) CAD = DBC (по свойству вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу).

Ответ: CAD = 44°.

Задача 3 (п. 5.4).

Дано: точка M лежит внутри BOA, BOM = 40°, MOA = 25°, MBOB, MAOA.

Найти углы треугольника MBA.

Решение.

1) OBM + OAM = 180°. Значит, точки O, B, M, A лежат на одной окружности (теорема 5.9.).
2) ABM = AOM = 25°, BAM = BOM = 40°.

Ответ: углы треугольника MBA равны 40°, 25°, 115°.

Задача 19 (п. 5.4).

Дано: ABFC.

Доказать: MNFC.

Решение.

1) A, B, C, D, E, F – на окружности (0; R), AB, AD, BE, FC, FD, EC – хорды, END = DMN =(a+b+c)/2 , значит, точки E, M, N, D лежат на одной окружности.
2) NDE = NME, FDE = FCE, откуда следует, что FCE = NME и MNFC.

Задача 25 (п. 6.2).

Дано: ABCD – трапеция, ABD = ACD.

Доказать: AB = CD.

Решение. Точки A, B, C, D лежат на одной окружности (теорема 5.9). Диаметр, перпендикулярный хордам BC и AD, проходит через ось симметрии фигуры (I). Отрезок AB симметричен отрезку CD, значит, AB = CD.

При решении этой и многих других задач используется идея симметрии, как например, в следующих задачах.

Задача 19 (п. 6.1).

Дано: ABCD – параллелограмм, ABD = 40°. Окружность (O1) описана около треугольника ABC, окружность (O2) описана около треугольника CDA, O1BD, O2BD.

Найти DBC.

Решение.

Случай I. B < 90°. Точка A симметрична точке C, значит, ACBD, параллелограмм ABCD – ромб и, следовательно, DBC = 40°.
Случай II. B = 90°, тогда DBC = 50°.

Ответ: DBC в зависимости от вида четырехугольника равен либо 40°, либо 50°.

Задача 14 (п. 5.3). На краю листа бумаги изображена дуга окружности, центр которой находится за пределами этого листа. Предложите способ построения прямой, проходящей через точку A и касающейся окружности, частью которой является данная дуга.

Построение.

1) Строим точки M1, L1, K1, симметричные точкам M, L, K, относительно точки A:

.

2) Проводим окружность (O1) через точки M1, L1, K1.
3) Проводим из точки A две касательные к окружности (O1).
4) Построенные прямые есть касательные к окружности (O).

В «Рабочей тетради» для 7-го класса1 есть полезные упражнения на осевую и центральную симметрию.

Упражнение 56. Из спичек выложили следующие фигуры:

                  а)                                                                  б)

Добавьте по одной спичке в каждую фигуру так, чтобы у каждой фигуры появился центр симметрии. (Решение показано пунктиром.)

Упражнение 57. То же задание, что и в упражнении 56, только фигуры пространственные.

                    а)                                                  б)

Решения.

                    а)                                                    б)

Упражнение 59. Добавьте по одной спичке в каждую картинку так, чтобы новая фигура обладала осью симметрии.

            а)                                                      б)

Решение. Способ I.

            а)                                                          б)

Способ II.

            а)                                                           б)

Упражнение 81. Квадрат «перекатился» на сторону MN. Нарисуйте траекторию движения каждой из отмеченных точек A, B, C, D.

Упражнение 154. Рассмотрим «шарнирный» четырехугольник ABCD. У этого четырехугольника длины сторон постоянны, а углы могут меняться. Пусть точки A и D неподвижны, а вершины B и C перемещаются по плоскости. Изобразите линии, описываемые точками B и C.

Дано: AB = 4, BC = 3, CD = 5, AD = 7.

Решение. Точка B движется по дуге окружности (A; 4), причем

B1D = 3 + 5 = 8.

Точка C движется по дуге окружности (D; 5), причем

AC1 = 4 + 3 = 7.

Пристального внимания и серьезного осмысления требуют задачи на тему «Геометрия прямой линии» (вторая глава учебника). В задачах этой главы просматриваются многие ведущие идеи курса и основные подходы к решению задач. Многие из них требуют исследовательского подхода и решаются методом перебора. Примером таких задач могут служить следующие итоговые задачи по этой теме.

Упражнение 1. На прямой AB отметьте все такие точки M, для которых выполняется равенство 2AM = 3MB, и найдите BM, если AB = 15 см.

Решение.

Ответ: BM = 6 см или BM = 30 см.

Более сложный вариант такого типа задач рассматривается в следующем упражнении.

Упражнение 10(а) (п. 2.1). На прямой даны точки A, B, C, D. Найти AD, если: AB = 1,2, BC = 1,4, CD = 1,7.

Возможны четыре различных случая расположения заданных точек.

Задачи исследовательского плана предлагаются во всех главах учебника геометрии 7–9 классов. В качестве примера можно рассмотреть задачу 7 (п. 53) восьмого класса.

На плоскости даны два отрезка AB и CD. Найдите геометрическое место точек, из которых отрезок AB виден под углом 20°, отрезок CD под углом 30°. Может ли искомое геометрическое место точек содержать более четырех точек?

 

Ответ. Искомое геометрическое место точек может состоять из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 точек или содержать бесчисленное множество точек.

Ведущие идеи курса просматриваются и в теоретической части, и в системе задач. Они постепенно развиваются, расширяются и углубляются, что выводит курс на очень высокий, даже олимпиадный уровень. В качестве примера использования идей курса рассмотрим олимпиадные задачи.


       а)                                                                 б)                                             в)

Задача 1.

Дано: треугольник ABC, ADBC, CEBC, AM = MC.

Доказать: EM = MD.

Решение.

1) Точки A, E, D, C лежат на одной окружности (теорема 5.9) с центром в точке M и радиусом R, равным AM.
2) EM = MD = R.

Задача 2.

Дано:

Треугольники ABC, AKB, BCP и ACE – равносторонние.

Доказать: окружности, описанные вокруг треугольников AKB, BCP, ACE (окружности Торричелли) пересекаются в одной точке M.

Решение. Пусть M – точка пересечения окружности (O1) и окружности (O2). Имеем: AMB = BMC = 120°, значит, AMC =  120°.       AMC + AEC = 180°, значит, точки A, M, C, E располагаются на одной окружности (O3) (по теореме 5.9).

Е. Смирнова,
Москва

1 Протасов В.Ю., Шарыгин И.Ф. Геометрия. Рабочая тетрадь. 7 класс. – М., Дрофа, 1997.

TopList