Министерство образования Российской Федерации

Варианты экзаменационных работ 2000 г.

Указание. Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.

№ 1–00 А–11–ФМК

Вариант 1

1. Решите уравнение    log22 (x – 3)2 + 2log2 (6 – 2x) – 10 = 0.

2. Вычислите:    arccos (sin 5) + arcsin (cos 5).

3. Сумма сопротивлений трех проводников равна 14 Ом. Сопротивление первого проводника в 4 раза больше сопротивления второго проводника. Определите, при каком значении сопротивления третьего проводника общее сопротивление цепи, составленной параллельным соединением этих трех проводников, наибольшее. (Сопротивление R цепи параллельно соединенных проводников с сопротивлениями R1, R2, R3 определяется из формулы )

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = x3 + 2x2 – 2x + 11 и g(x) = x2 + 8x + 3.

5. Найдите наименьшее значение b, при котором уравнение 2sin x + 3cos x = b имеет решения, и для этого значения b решите неравенство 3sin x + 2cos x > b.

6. Решите неравенство 

 Вариант 2

1. Решите уравнение    16 – 9log3 (3x – 6) + 0,5log32 (2 – x)2 = 0.

2. Вычислите:   arctg (ctg 4) – arcctg (– tg 4).

3. Сумма емкостей трех конденсаторов равна 19 Ф. Емкость второго конденсатора в 2,25 раза меньше емкости третьего конденсатора. Определите, при каком значении емкости первого конденсатора емкость батареи, составленной последовательным соединением этих конденсаторов, наибольшая. (Емкость C батареи последовательно соединенных конденсаторов с емкостями C1, C2, C3 определяется из формулы )

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = x3 + x2 – 4x + 7 и g(x) = x2 + 7x – 5.

5. Найдите наибольшее значение параметра a, при котором уравнение sin x + 4cos x = a имеет решения, и для этого значения a решите неравенство 4sin x + cos x < a.

6. Решите неравенство  

№ 2–00 А–11–МК

Вариант 1

1. Решите неравенство  

2. Изобразите на комплексной плоскости множество комплексных чисел z, для которых

3. Найдите наименьшую площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции g(x) = ex + e2–x и двумя параллельными оси Oy прямыми, расстояние между которыми равно 2.

4. Найдите острый угол, образованный касательными, проведенными из точки к графику функции

5. Решите уравнение 9sin t = sin 9t.

6. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение x = aloga (x + 2a – 2| xa | + 3| x – 2a | – 2| x – 2a |) – a   имеет ровно один корень.

 Вариант 2

1. Решите неравенство 

2. Изобразите на комплексной плоскости множество комплексных чисел z, для которых

3. Найдите наименьшую площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции g(x) = ex + e3+x и двумя параллельными оси Oy прямыми, расстояние между которыми равно 3.

4. Найдите острый угол, образованный касательными, проведенными из точки к графику функции

5. Решите уравнение 15sin u = sin 15u.

6. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых уравнение x = aloga (2x – 3| | x – 3a | – 2a |) – a   имеет ровно один корень.

 3–00 А–11–МК

Вариант 1

1. Найдите промежутки возрастания, точки максимума и максимумы функции

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций – и прямой
x
+ y = 3.

3. Решите систему уравнений

4. Решите неравенство

5. На прямой y = 3x – 5 найдите все такие точки, что проведенные через них касательные к графику функции y = 2x2 взаимно перпендикулярны.

6. Найдите все такие действительные значения параметра a, при которых существует ровно одно комплексное число z, действительная и мнимая части которого выражены целыми числами, удовлетворяющими одновременно двум условиям:

Вариант 2

1. Найдите промежутки убывания, точки минимума и минимумы функции

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций – и прямой 2x – 3y + 7 = 0.

3. Решите систему уравнений

4. Решите неравенство

5. На прямой y = 2x + 7 найдите все такие точки, что проведенные через них касательные к графику функции y = – x2 взаимно перпендикулярны.

6. Найдите все такие действительные значения параметра a, при которых существует ровно одно комплексное число z, действительная и мнимая части которого выражены целыми числами, удовлетворяющими одновременно двум условиям:

 № 4–00 А–11–МК

Вариант 1

1. Решите неравенство

2. Найдите все комплексные числа z, удовлетворяющие уравнению

3. Решите уравнение | 3sin x + 5cos x | = 3sin x – 7cos x.

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций и касательной к графику функции g(x) в его точке с абсциссой 16.

5. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле у первого стрелка 0,7, у второго и третьего – по 0,8. Каждый стрелок делает ровно по одному выстрелу. Какова вероятность того, что цель будет поражена ровно один раз?

6. Для каждого значения параметра a решите неравенство

Вариант 2

1. Решите неравенство

2. Найдите все комплексные числа z, удовлетворяющие уравнению

3. Решите уравнение | 2sin x – 8cos x | = 3sin x + 8cos x.

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций и касательной к графику функции g(x) в его точке с абсциссой 6.

5. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле у первого и второго стрелков по 0,6, а у третьего – 0,5. Каждый стрелок делает ровно по одному выстрелу. Какова вероятность того, что цель будет поражена ровно 2 раза?

6. Для каждого значения параметра b решите неравенство

№ 5–00 А–11–3-часовая программа

Вариант 1

1. Решите уравнение 32x+5 + 32x+3 = 90.

2. Найдите производную функции в точке x0 = 2.

3. Решите уравнение

4. Решите неравенство  

5. Решите уравнение  

6. При каких значениях a все корни уравнения   x2 + (1 – 2a)x + a2a – 6 = 0 находятся в промежутке [1900; 1999] ?

Вариант 2

1. Решите уравнение 23x+4 – 23x+1 = 56.

2. Найдите производную функции   в точке x0 = 1.

3. Решите уравнение

4. Решите неравенство 

5. Решите уравнение  

6. При каких значениях a все корни уравнения  x2 – (2a + 3)x + a2 + 3a – 4 = 0 находятся в промежутке [1901; 2000]?

№ 7–00 А–11

Вариант 1

1. Решите уравнение

2. Решите уравнение sin2 x – cos2 x = (cos x – sin x)2.

3. Определите, при каком значении x производная функции равна 0,15.

4. Решите неравенство log3 (x + 7) < log3 (5 – x) + log3 (3 – x).

5. Докажите, что функция  является первообразной функции 

на промежутке

6. При каких значениях a уравнение x3 – 3x2 – 24x + a = 0 имеет ровно два различных корня?

Вариант 2

1. Решите уравнение

2. Решите уравнение cos2 x – sin2 x = (sin x + cos x)2.

3. Определите, при каком значении x производная функции равна 0,3125.

4. Решите неравенство  log2 24 > log2 (16 – x) + log2 (2x – 6).

5. Докажите, что функция  является первообразной функции на промежутке (0; + Ч).

6. При каких значениях a уравнение x3 + 6x2 – 15x + a = 0 имеет ровно два различных корня?

№ 8–00 А–11

Вариант 1

1. Решите уравнение

2. Найдите множество первообразных функции  на промежутке (– Ч; 0).

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 3x5 + 5x3 – 300x + 2000 на промежутке [0; 3].

4. Решите уравнение

5. Решите систему уравнений 

6. Решите неравенство 

Вариант 2

1. Решите уравнение

2. Найдите множество первообразных функции  на промежутке (– Ч; 0).

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 3x5 – 5x3 – 180x – 1999 на промежутке [– 3; 0].

4. Решите уравнение

5. Решите систему уравнений

6. Решите неравенство

№ 9–00 А–11

Вариант 1

1. Решите неравенство 

2. Найдите значение выражения

3. Решите уравнение

4. Найдите первообразную функции график которой проходит через точку A(– 1; 5).

5. Решите уравнение

6. Решите уравнение

Вариант 2

1. Решите неравенство 

2. Найдите значение выражения 

3. Решите уравнение

4. Найдите первообразную функции   график которой проходит через точку A(– 1; – 2).

5. Решите уравнение

6. Решите уравнение

№ 10–00 А–11

Вариант 1

1. Найдите первообразную функции  f(x) = 4x3 – 9x2 + 4x – 5,  график которой проходит через точку A(2; – 8).

2. Решите неравенство log0,5 (x2 – 5x + 6) > – 1.

3. Решите уравнение

4. Найдите промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции  f(x) = 12x5 – 15x4 – 40x3 + 13.

5. Решите неравенство sin2 x – 4cos x + 4 m 0.

6. При каких значениях m уравнение 19992x – 4ж1999x – 3m + m2 = 0 имеет единственный корень?

Вариант 2

1. Найдите первообразную функции f(x) = 4x3 + 6x2 – 8x + 7, график которой проходит через точку A(– 2; – 22).

2. Решите неравенство  

3. Решите уравнение

4. Найдите промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции f(x) = – 12x5 – 15x4 + 40x3 + 7.

5. Решите неравенство 3sin x – 3 – cos2 x l 0.

6. При каких значениях m уравнение 20002x – 6ж2000x + m2 – 8m = 0 имеет единственный корень?

№ 11–00 А–11–Д

Вариант 1

1. Найдите ту первообразную функции f(x) = 2x – 6, график которой проходит через точку A(2; – 3), и постройте график этой первообразной.

2. Решите уравнение log4 (x4x2 + 3x – 7) = log4 (x4 + x2 – 5x + 1).

3. Представьте число 61 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма куба первого слагаемого и второго, умноженного на 12, была наименьшей.

4. Решите уравнение  

5. Решите неравенство

6. Найдите все такие пары чисел (x; y), что

Вариант 2

1. Найдите ту первообразную функции f(x) = 2x + 6, график которой проходит через точку A(– 1; 3), и постройте график этой первообразной.

2. Решите уравнение log4 (x4 + x2 – 7x + 4) = log4 (x4x2 – 9x + 8).

3. Представьте число 47 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма куба первого слагаемого и второго, умноженного на 27, была наименьшей.

4. Решите уравнение

5. Решите неравенство

6. Найдите все такие пары чисел (x; y), что

№ 12–00 А–12–ВШ

Вариант 1

1. Решите уравнение 2sin 6x – 5cos 3x = 0.

2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = – 3x2 + 18x – 25, параллельной оси Ox.

3. Найдите область определения функции 

4. Решите неравенство

5. Решите систему уравнений 

6. Решите уравнение

Вариант 2

1. Решите уравнение 3sin 4x + 7cos 2x = 0.

2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 + 16x + 11, параллельной оси Ox.

3. Найдите область определения функции 

4. Решите неравенство  

5. Решите систему уравнений 

6. Решите уравнение  log3 sin x + log3 cos x = log3 (1 – cos 60o).

№ 13–00 А–12–ВШ–1

Вариант 1

1. Найдите значение выражения 

2. Решите уравнение log3 (x – 2) + log3 (x + 4) = 3.

3. Решите неравенство  

4. Решите уравнение cos2 x – sin2 x = 3(cos x – sin x).

5. Найдите ту первообразную функции f(x) = – 2x + 6, график которой имеет с прямой y = 1 единственную общую точку.

6. В каких точках графика функции касательная к графику составляет с осью Ox угол 135°?

Вариант 2

1. Найдите значение выражения

2. Решите уравнение log2 (x + 2) + log2 (x + 1) = 5.

3. Решите неравенство 

4. Решите уравнение

5. Найдите ту первообразную функции f(x) = 2x + 4, график которой имеет с прямой y = – 2 единственную общую точку.

6. В каких точках графика функции касательная к графику составляет с осью Ox угол 45°?

№ 14–00 А–12–ВШ–2

Вариант 1

1. Решите уравнение log3 (x2 + 3x – 1) = 2.

2. Дана функция f(x) = x2 + 3x – 2sin x. Найдите f R(0).

3. Решите неравенство 54x+6 – 54x+5 l 100.

4. Найдите первообразную функции f(x) = x2 – 2x + 4, график которой проходит через точку M(– 3; 2).

5. Решите уравнение  

6. Найдите область определения функции 

Вариант 2

1. Решите уравнение log2 (x2 + x – 4) = 3.

2. Дана функция f(x) = x2 – 2x + 2cos x. Найдите f R(0).

3. Решите неравенство 35x–4 – 35x–5 l 54.

4. Найдите первообразную функции f(x) = x2 + 4x – 2, график которой проходит через точку M(3; – 1).

5. Решите уравнение

6. Найдите область определения функции 

№ 8–00 А–9–МК

Вариант 1

1. Решите неравенство

2. Пусть остаток от деления натурального числа m на 7 равен 3. Найдите остаток от деления на 7 числа 3m2 + 7m + 1.

3. В арифметической прогрессии (an) имеем a1 = 100, a22 – ее первый отрицательный член. Какие целые значения может принимать разность прогрессии?

4. Вычислите: sin 50°(1 – 2cos 80°).

5. Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй – 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученных вторым брокером, в 2,4 раза превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?

6. Заданы функции и   g(x) = 2 – 2xx2.

Решите уравнение f(2 – | t |) = g(t).

Вариант 2

1. Решите неравенство

2. Пусть остаток от деления натурального числа n на 9 равен 5. Найдите остаток от деления на 9 числа 4n2 + 7n + 2.

3. В арифметической прогрессии (an) имеем a1 = – 85, a19 – ее первый положительный член. Какие целые значения может принимать разность прогрессии?

4. Вычислите: sin 10°(0,5 – 2sin 70°).

5. Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3375 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 2916 р. Первый брокер продал 60% своих акций, а второй – 70% своих. При этом сумма от продажи акций, полученных первым брокером, в 1 2/7 раза превысила сумму, полученную вторым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?

6. Заданы функции и g(x) = 2x2 +2x + 1.

Решите уравнение f(| t | – 1) = g(t).

№ 9–00 А–9–МК

Вариант 1

1. Найдите a2 и a, если

2. Пусть числа a1, a2, a3, ..., an составляют арифметическую прогрессию с разностью d = a2a1. Упростите выражение

3. Найдите все такие целые числа x и y, для которых выполняется условие x2y2 = 4.

4. Из города в село выходит автобус со скоростью v км/ч. Через 30 мин следом за ним выезжает автомобиль со скоростью 40 км/ч, догоняет автобус, не доезжая до села, и возвращается обратно в город. Выясните, какой должна быть скорость автобуса, чтобы он прибыл в село раньше, чем автомобиль вернется в город. Расстояние от города до села 30 км.

5. При каком значении параметра b сумма достигает своего наименьшего положительного значения, если x1 и x2 – корни уравнения x2 – (2b + 1)x + 2b2 = 0?

6. Изобразите на координатной плоскости множество точек (x; y), для которых | 2x + 3y | + | 2x + y – 2 | = 6.

Вариант 2

1. Найдите a2 и a, если

2. Пусть числа a1, a2, a3, ..., an составляют арифметическую прогрессию с разностью d = a2a1. Упростите выражение

3. Найдите все такие целые числа x и y, для которых выполняется условие x2 + y2 = 10.

4. От пристани вниз по реке, скорость течения которой равна 3 км/ч, отходит плот. Через час следом за ним выходит катер, скорость которого в стоячей воде v км/ч, догоняет плот и возвращается обратно к пристани. Выясните, какой должна быть скорость катера, чтобы к моменту его возвращения плот прошел не менее 10 км (от места, где его догнал катер).

5. При каком значении параметра b сумма достигает своего наибольшего отрицательного значения, если x1 и x2 – корни уравнения x2 – (7b – 5)x – 8b2 = 0?

6. Изобразите на координатной плоскости множество точек (x; y), для которых | 3x – 2y | + | x + 2y – 2 | = 6.

№ 10–00 А–9–ФМК

Вариант 1

1. От турбазы до озера 8 км. Сначала дорога идет в гору, затем лесом, потом под гору. До озера туристы шли 1 ч 27 мин, а обратно 1 ч 51 мин. Скорость их в гору 4 км/ч, лесом 5 км/ч, а под гору 6 км/ч. Сколько километров шли туристы лесом в одном направлении?

2. Найдите наименьший по длине отрезок, содержащий ровно два числа, удовлетворяющие неравенству

3. При каких натуральных значениях n дробь является правильной и несократимой?

4. Постройте график функции y = f(x), где f(x) = | x2x – 6 | + 2x – 6, и, используя его, найдите множество значений функции f(x) и все целые значения, принимаемые функцией 4 раза.

5. Докажите неравенство

6. Найдите все значения параметра a, при которых квадратный трехчлен (a – 2)x2 – 2ax + 2a – 3 имеет два различных корня одного знака.

Вариант 2

1. Из города в деревню вышел пешеход. Через 45 мин после его выхода в том же направлении выехал велосипедист. Спустя полчаса он был на расстоянии 2,5 км впереди пешехода. Еще через полчаса расстояние от деревни до велосипедиста, ранее проехавшего деревню, было на полкилометра больше расстояния от пешехода до деревни. Какова скорость пешехода и велосипедиста, если расстояние от города до деревни 15 км?

2. Найдите наименьший по длине отрезок, содержащий ровно два числа, удовлетворяющие неравенству

3. При каких натуральных значениях n дробь   является правильной и несократимой?

4. Постройте график функции y = f(x), где f(x) = | 2| x | – x2 | – 3,

и, используя его, найдите промежутки убывания функции f(x) и все значения, принимаемые функцией нечетное число раз.

5. Докажите неравенство

6. Найдите все значения параметра a, при которых корни квадратного трехчлена (a2 + 3a – 4)x2 – (3a + 1)x + 1 имеют разные знаки и расположены по разные стороны от числа 1.

TopList