Нестандартные задачи на вступительных экзаменах

На вступительных экзаменах в вузы с большим конкурсом абитуриенты часто сталкиваются с задачами, по формулировкам и по методикам решения заметно отличающимися от обычных школьных, хотя с формальной точки зрения математическое содержание таких нестандартных задач не выходит за пределы программы для поступающих.

К нестандартным задачам можно отнести многоходовые текстовые задачи, многофигурные геометрические задачи, нелинейные системы уравнений и неравенств и задачи минимизации функций нескольких переменных. Подобные задачи часто имеют комплексный характер. Например, наиболее простое решение алгебраической задачи получается в результате ее геометрической интерпретации, а геометрическая задача на экстремум требует развитой техники аналитических преобразований. Абитуриент, претендующий на самый высокий балл, должен на экзамене проявить определенное творчество, которое, в частности, заключено в умении переносить операции и приемы из одного раздела математики в другой.

Приведем примеры нестандартных задач из практики вступительных экзаменов последних лет (некоторые из них предлагались поступающим в Южно-Уральский государственный университет).

1. Пусть h(x) есть наибольшее значение функции f(t) = t – t² при t m x. Решить уравнение 2x² – 3x + 3 = 8h(x).

Решение. Выясним сначала, что представляет собой h(x). Квадратичная функция f(t) = t – t2 возрастает на промежутке , значит, и на промежутке , где Наибольшее значение функции на промежутке, на котором она возрастает, достигается на его правом конце. Поэтому при имеем 

Если же то промежуток содержит точку максимума квадратичной функции f(t), в силу чего

Таким образом, задача сводится к решению двух квадратичных уравнений, каждое из которых рассматривается на своем промежутке.

Ответ:

2. Найти все a, при которых уравнение lg (12x – x² – 32) = lg (ax – 7) имеет единственное решение.

Решение. Уравнение равносильно системе

Нужно выяснить, при каких a уравнение (1) имеет единственный корень, удовлетворяющий неравенству (2). Это может произойти только в двух следующих случаях.

а) Квадратное уравнение (1) имеет единственный корень, и этот корень попадает в промежуток (4; 8). Единственность корня обеспечивает равенство нулю дискриминанта

Заметим теперь, что лишь при a = 22.

б) Уравнение (1) имеет два различных корня, но из них лишь один попадает в заданный промежуток (4; 8). Для квадратичной функции f(x) = x² – (a – 12)x + 25 это требование равносильно тому, что на концах промежутка f(x) принимает значение разных знаков, т. е. выполняется неравенство

Ответ:

3. При каких a система неравенств

имеет хотя бы одно решение?

Решение. Прибегнем к геометрической интерпретации неравенств.

Изобразим сначала на координатной плоскости Oxy множество точек, координаты которых удовлетворяют первому неравенству системы.

Каждому из полученных линейных неравенств соответствует некоторая полуплоскость. Например, неравенство y l – x описывает множество точек, расположенных выше прямой y = – x, включая саму прямую. «Изображением» системы двух линейных неравенств служит пересечение соответствующих полуплоскостей. В итоге получаем фигуру, изображенную на рисунке горизонтальной штриховкой.

Обратимся ко второму неравенству x² + y² m a² + 2x – 1 _ (x – 1)² + y² m a².

Оно описывает круг с центром в точке A (1; 0) и радиусом | a | (вертикальная штриховка на рисунке).

Два изображенных множества будут иметь общие точки, если радиус круга «достаточно велик», а именно – не меньше расстояния от центра круга A до ближайшей к A прямой из двух прямых, ограничивающих фигуру, соответствующую первому неравенству системы. Это прямая

Пусть B – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую Обозначим a = F BOA. Из прямоугольного D OBA имеем AB = OAsin a.

(Вспомним, что в уравнении y = kx коэффициент k есть тангенс угла наклона a прямой к оси Ox.) Стало быть, Отсюда несложно найти

Итак, . Значит, решения у исходной системы будут при

Ответ:

4. При каких a уравнения 4 cos² x = a² – 6 и равносильны (т. е. имеют одинаковые множества решений)?

Решение. Преобразуем первое уравнение, пользуясь формулой понижения степени.

Второе уравнение задачи равносильно (2)

Найдем, при каких значениях параметра a уравнения (1) и (2) совпадают, приравняв их правые части. Из квадратного уравнения

  имеем a = 3 или

Однако, как это ни покажется удивительным на первый взгляд, задача еще не решена. Дело в том, что уравнения (1) и (2) равносильны либо в случае, когда они совпадают, либо в случае, когда каждое из них не имеет решений (заметим, что, в принципе, один случай не исключает другого).

При каких a у уравнений (1) и (2) нет решений?

Учитывая ранее найденные значения a, получаем ответ:

5. Найти наибольшее значение выражения и представить его в виде где a, b, c – рациональные числа.

Решение. Преобразуем сначала подкоренное выражение, используя основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного угла.

A = sin² x (1 + sin 2y) + sin² x sin² y + cos² x = 1 + sin² x (sin 2y + sin² y).

Очевидно, что наибольшее значение исходного выражения будет достигаться при таких значениях переменных, при которых sin² x = 1 и функция f(y) = sin 2y + sin² y принимает наибольшее значение. С помощью формул понижения степени и введения вспомогательного угла имеем

где j – вспомогательный аргумент. Отсюда видно, что наибольшее значение A есть Осталось для получения наибольшего значения исходного выражения извлечь корень.

Ответ:

6. Найти наибольшее значение выражения

Допустимыми значениями переменных являются все пары (x, y), кроме (0, 0). Будем считать, что x² + y² ­ 0.

Первое решение. Тригонометрические подстановки x = rcos j, y = rsin j дают для A выражение

где q – вспомогательный аргумент. Отсюда наибольшее значение A есть

Второе решение. Используем однородность выражения A относительно x и y, поделив числитель и знаменатель на x² (попутно отметим, что при x = 0 A = 3). Обозначив получим

Перепишем уравнение (1) в виде (3 – A)t² – 4t – A = 0                 (2)

и заметим, что множество значений функции A = A(t) (1) совпадает с множеством значений параметра A, при которых уравнение (2) разрешимо относительно t. В зависимости от того, равен коэффициент при t² нулю или нет, уравнение (2) будет линейным или квадратным. В первом случае (при этом A = 3) уравнение разрешимо, во втором (A ­ 3) уравнение имеет решения, если его дискриминант неотрицателен, т. е.

Вновь получаем, что наибольшее значение A равно 4.

7. Имеется три сплава. Первый сплав содержит 30% никеля и 70% меди, второй – 10% меди и 90% марганца, третий – 15% никеля, 25 % меди и 60 % марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 40% марганца. Каким может быть процентное содержание меди в новом сплаве?

Решение. Обозначим массы исходных сплавов, из которых получается новый сплав, через m₁, m₂, m₃, а массу нового сплава – m. Выполняются равенства  m₁ + m₂ + m₃ = m  и   0,9m₂ + 0,6m₂ = 0,4m.

Меди в новом сплаве 0,7m₁ + 0,1m₂ + 0,25m₃. Пусть x_i = m_i/m доля i-го сплава в новом сплаве, i = 1, 2, 3. Тогда для доли меди имеем выражение y = 0,7x₁ + 0,1x₂ + 0,25x₃.

Итак, задача формализуется: при условиях

найти множество значений  y = 0,7x₁ + 0,1x₂ + 0,25x₃.   Из системы выразим x₃, x₁ и y через x₂:

Решая теперь систему неравенств, находим значения для

Поскольку y есть линейная функция от x2, легко найти множество значений y. Осталось перейти к выражению доли в процентах.

Ответ: От 40% до

8. Путь из села в город идет сначала по грунтовой дороге, а затем по шоссе. Из села в город в 7 ч утра выехал автомобилист, и одновременно с ним из города выехал мотоциклист. Мотоциклист двигался по шоссе быстрее, чем по грунтовой дороге, в раза, а автомобилист – в раза (движение обоих по шоссе и по грунтовой дороге считать равномерным). Они встретились в 9 ч 15 мин, автомобилист приехал в город в 11 ч, а мотоциклист приехал в село в 12 ч 15 мин. Определите, сможет ли автомобилист приехать в город до 11 ч 15 мин, если он весь путь из села в город будет ехать с первоначальной скоростью?

Решение. Пусть скорости автомобиля и мотоцикла по грунтовой дороге равны v1 и v2, тогда их скорости по шоссе будут соответственно.

В задаче требуется оценить время движения автомобиля из села в город, если скорость его движения на всем пути равна v1. Обозначим время, приходящееся (при данном предположении) на грунтовую дорогу, через x, а на шоссе – через y. В действительности же движение по шоссе занимает у автомобиля . Поскольку всего автомобиль был в пути 4 ч, имеем уравнение

Пусть отношение скоростей «на грунте» есть . Тогда мотоциклист двигался по грунту kx ч. Отношение скоростей движения по шоссе равно 

и по шоссе мотоциклист двигался Зная общее время движения мотоциклиста получаем уравнение

Из системы линейных уравнений (1), (2) находим

Требуется выяснить, что больше x + y или Таким образом, необходимо сравнить между собой величины и Для этого нужно найти отношение скоростей k.

В условии задачи не сказано, где состоялась встреча автомобиля и мотоцикла – на шоссе или на грунте. Поэтому разберем обе возможности.

а) Встреча состоялась на грунте. В этом случае одно и то же расстояние от села до места встречи автомобиль преодолел за двигаясь со скоростью v₁, а мотоцикл – за 3 ч, двигаясь со скоростью v₂.

Значит, выполняется равенство откуда

При этом

б) Встреча состоялась на шоссе. Тогда одно и то же расстояние от места встречи до села автомобиль преодолел за двигаясь со скоростью а мотоцикл – за двигаясь со скоростью Имеем равенство

откуда При этом

Итак, в любом случае, автомобиль тратит на весь путь более если будет ехать с первоначальной скоростью.

Ответ: не сможет.

Задачи для самостоятельного решения

1. Пусть g(x) есть наименьшее значение функции f(x) = t² – t при t m x. Решите уравнение 2x² – 3 x – 6 = g(x).

2. При каких a система неравенств не имеет решений?

3. При каких a системы уравнений равносильны?

4. Найдите множество значений функции

5. Найдите наибольшее значение выражения

6. На промежутке найти наименьшее значение функции y = tg⁴ x + ctg⁴ x – tg² x – ctg² x + tg x + ctg x.

7. Имеется три сплава. Первый сплав содержит 60% алюминия, 15% меди и 25% магния, второй – 30% меди и 70% магния, третий – 45% алюминия и 55% магния. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 20% меди. Каким может быть процентное содержание алюминия в новом сплаве?

8. Пункты A, B и C расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной 200 км. Автомобиль и поезд одновременно начинают движение. Автомобиль движется из A в B со скоростью 80 км/ч, а поезд – из B в C со скоростью 50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим?

9. По двум дорогам, пересекающимся под углом 60°, движутся к перекрестку (и дальше) с постоянными скоростями 75 км/ч и 25 км/ч автомобиль и велосипедист. В начальный момент времени расстояния до перекрестка составляют 5 км. В какой момент времени расстояние между автомобилем и велосипедистом достигнет наименьшего значения?

10. При каких значениях параметра a корни уравнения cos² x + acos x + a = 0 из промежутка [0, 20p], расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию?

Ответы