М. Кац, г. Тверь

Физический материал на уроках математики

V. Элементы анализа и физики

Производная как скорость изменения функции

Ученики подчас отождествляют скорость изменения функции с механической скоростью. Поэтому при введении понятия производной целесообразно разнообразить функции и аргументы.

1. При равномерном прямолинейном движении при неравномерном – v = S' (t).

2. При постоянном токе при переменном токе I = q' (t).

3. При равномерном движении по окружности , при неравномерном – w = j' (t).

4. Рассмотрим известную формулу

(физика, 8 класс), где Q – количество теплоты, m – масса, DT – разность температур, c – удельная теплоемкость. Для m = 1 кг Q = cDT. Для изменяющейся температуры c = Q' (T).

5. В школьном курсе физики и в повседневной жизни рассматривается объемная плотность, равная массе единицы объема: (r – плотность, m – масса, V – объем).

Под линейной плотностью подразумевается масса единицы длины: (l – длина).

Рассмотрим стержень с неоднородной плотностью (неоднородный стержень). Пусть начало координат (рис. 64) совпадает с концом стержня, а весь стержень лежит вдоль оси Ol. Средняя плотность между точками l₁ и l₂ равна отношению

Производная и первообразная

Во многих задачах физики приходится в одних случаях по заданной функции находить производную, а в других – по заданной производной восстанавливать функцию, т. е. находить первообразную. Кажется целесообразным «отрабатывать цепочку» в двух направлениях.

Задача 1. Материальная точка движется по закону x = 4 + 2t + t² (м).

а) Найдите скорость и ускорение. Убедитесь, что при замене начальной координаты (4 м) на другие ее значения, например, на 0, 1, 5 (м) величина скорости не изменится, а при замене начальной скорости (2 м/с) на 0, 1, 5 (м/с) величина ускорения не изменится.

б) По найденному ускорению определить скорость и координату.

Решение.

а) x = 4 + 2t + t², v = 2 + 2t.
    x = 2t + t², v = 2 + 2t.
    x = 1 + 2t + t², v = 2 + 2t.
    x = 5 + 2t + t², v = 2 + 2t.
    v = 2 + 2t, a = 2.
    v = 2t, a = 2.
    v = 1 + 2t, a = 2.
    v = 5 + 2t, a = 2.

б) a = 2, v = 2t + C (постоянная интегрирования есть начальная скорость). Для значений начальной скорости 0, 1, 5 (м/с) имеем
v = 2t, v = 1 + 2t, v = 5 + 2t.

Пусть v = 5 + 2t. Тогда , где C – начальная координата.

Для x₀ = 0   x = 2t + t²;

для x₀ = 1   x = 1 + 2t + t²;
для x₀ = 5 x = 5 + 2t + t².

Задача 2. а) x = 2 + 3t – t² + 5t³ (м).

v = x '(t) = 3 – 2t + 15t² (м/с),

a = v' (t) = – 2 + 30t (м/с²); a' (t) = 30 (м/с³).

a' (t) – скорость изменения ускорения.

Уравнение координаты вида  x = k + k₁t + k₂t² + k₃t³ соответствует движению с изменяющимся ускорением, но при этом скорость изменения ускорения есть величина постоянная, т. е. a' (t) = const.

б) a' (t) = 30, a = 30t + C, где C – начальное ускорение.

Пусть C = – 2 м/с². Тогда a = – 2 + 30t, v = C₁ – 2t + 15t².

Пусть C₁ = 3 м/с. Тогда v = 3 – 2t + 15t², x = C₂ + 3t – t² + 5t³.

Пусть C₂ = 2 м. Тогда x = 2 + 3t – t² + 5t³.

Задачи, помогающие раскрыть суть постоянной интегрирования

Задача 1. Тело движется со скоростью v = 4cos t. За время оно прошло 20 м. Найдите уравнение координаты.

Решение. x = 4sin t + C. По условию C = 18.

x = 4sin t + 18 (м).

Задача 2. Найдите кинетическую энергию тела, имеющего в момент t = 4 с ускорение a = 3t – 2 (м/с²), если масса тела равна 5 кг, а скорость при t = 0 равна 2 м/с.

Решение.

По условию

Ответ: 810 Дж.

Три задачи с одной математической моделью

Задача 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой y = 6x – x² и осью абсцисс.

Решение. При x = 0 y = 0; при y = 0 x₁ = 0, x₂ = 6.

Ответ: 36 ед.².

Задача 2. Тело движется прямолинейно со скоростью v = 6t – t² (м/с). Найдите длину пути, пройденного телом от начала движения до остановки.

Решение. При подстановке v₀ = 0 или 6t – t² = 0, t₁ = 0, t₂ = 6.

Ответ: 36 м.

Задача 3. По цепи идет переменный ток I = 6t – t² (А). Найдите величину заряда, прошедшего по цепи за первые 6 с.

Решение.

Ответ: 36 Кл (Кл – кулон).

Площади, произведение двух величин, сумма произведений, интегральные суммы, интеграл

Задача 1. Какой величины заряд проходит через проводник за 5 с, если:

а) сила тока равна 6 А;
б) сила тока равномерно возрастает от нуля до 4 А;
в) сила тока изменяется по закону I = t + 2;
г) сила тока изменяется по закону I = t² – 2t + 3?

Решение.

q = It = 6ж5 = 30 (Кл),

1) Найдем приближенное значение величины заряда как сумму площадей пяти прямоугольников.

I(0) = 3, I(1) = 2, I(2) = 3, I(3) = 6, I(4) = 11, I(5) = 18,

q d S = 2,5ж1 + 2,5ж1 + 4,5ж1 + 8,5ж1 + 14,5ж1 = 32,5 (Кл).

2) Найдем искомый заряд с помощью интеграла

Задача 2. Определите координату точки через 6 с после начала движения, если:

а) скорость равна 5 м/с;
б) скорость равномерно возрастает от нуля до 6 м/с (равноускоренное движение с начальной скоростью, равной нулю, и ускорением 1 м/с²);
в) скорость изменяется по закону v = 2t + 3 (равноускоренное движение с начальной скоростью 3 м/с и ускорением 2 м/с²;
г) скорость изменяется по закону v = t² – 4t + 5 (движение с изменяющимся ускорением, но при этом скорость изменения ускорения есть величина постоянная).

Задача 3. Определите работу по перемещению груза на расстояние 4 м, если сила, приложенная к грузу,

а) равна 4 Н (A = Fx);
б) равномерно возрастает от нуля до 5 Н;
в) изменяется по закону F = x + 3;
г) изменяется по закону

(Предполагается, что направление действия силы совпадает с направлением перемещения груза.)

Задача 4. Определите массу стержня длиной 3 м, если:

а) линейная плотность стержня равна 5 кг/м;
б) линейная плотность стержня равномерно убывает от 8 кг/м до 2 кг/м.

Задачи 2–4 предлагается решить самостоятельно.

Задачи, связанные с коэффициентом пропорциональности

Задачи этого типа вызывают определенные трудности у учеников. Их решение следует начинать с определения коэффициента пропорциональности.

Задача 1. Скорость движения, пропорциональная квадрату времени, в конце четвертой секунды равна 1 м/с. Чему равен путь, пройденный за первые 10 с?

Решение. 1 = kж4²,

Ответ:

Задача 2. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 с. Определите скорость колеса через 48 с после начала движения.

Решение. По условию j = kt², где j – угол поворота, t – время. 1 = kж8², Угловая скорость

Задача 3. Неоднородный стержень AB имеет длину 12 см. Масса его части AB растет пропорционально квадрату расстояния точки M от конца A и равна 10 г при AM = 2 см. Найдите массу всего стержня и линейную плотность в точках A и B.

Решение. Пусть длина отрезка AM = x (см), тогда m = kx², где k – коэффициент пропорциональности. Имеем 10 = kж2², k = 2,5.

Масса стержня равна m = 2,5ж12² = 360.

Линейная плотность равна r_l = m' (x) = 2kx = 5x.

В точке A m' (x) = m' (0) = 0.

В точке B m' (x) = m' (12) = 5ж12 = 60.

Ответ: 360 г, 60 г/см.

Задача 4. На материальную точку действует сила, которая меняется обратно пропорционально квадрату расстояния до некоторого объекта. Известно, что она составила 1 Н, когда расстояние до объекта было 2 м. Вычислите работу этой силы по перемещению материальной точки из пункта, находящегося на расстоянии 10 м от объекта, до пункта, находящегося на расстоянии 3 м.

Решение. По условию

Ответ:

Задача 5. Дождевая капля, начальная масса которой m0, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так, что убыль массы пропорциональна времени. Через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?

Решение. Кинетическая энергия

Через искомые t с масса станет равной m₀ – kt, а

Ответ:

Задачи на наименьшие и наибольшие значения

Проблема нахождения наименьших и наибольших значений играет первостепенную роль в физике, технике, экономике. Речь идет об определении предельно возможных значений физических и других величин, экономии времени, энергии, материалов, о предупреждении аварийных ситуаций и др.

Предложенные задачи носят выборочный характер, они лишь в небольшой степени отражают масштабность затронутой проблемы.

Задача 1. Электрические заряды q₁ = 5 нКл и q₂ = 11 нКл расположены на расстоянии r друг от друга. Как перераспределить заряды, чтобы сила взаимодействия между ними была наибольшей?

Решение. По закону Кулона сила взаимодействия между зарядами

Для получения наибольшей силы надо от q₂ отнять 3 нКл и передать q₁.

Задача 2. Электрическая цепь состоит из двух параллельно соединенных проводников. При каком соотношении между сопротивлениями этих проводников сопротивление наибольшее, если при последовательном соединении сопротивление цепи равно 6 Ом?

Решение. При последовательном соединении R = R₁ + R₂,

при параллельном –

Так как R₁ + R₂ = 6 = const, то R₁R₂ достигает наибольшего значения при R₁ = R₂ = 3 (Ом) и, следовательно,

достигает этого значения.

Примечание. При решении задач 1 и 2 была применена теорема:

произведение двух положительных множителей, сумма которых постоянна, имеет наибольшее значение при равенстве множителей.

Приведем другой способ решения задачи 2.

и мы имеем максимум.

Задача 3. Река шириной 120 м течет со скоростью 1,5 м/с. Лодочник, который может грести со скоростью 2,5 м/с, хочет достичь противоположного берега в кратчайшее время. Найдите это время и направление движения лодочника относительно берега.

Решение. Для достижения поставленной цели необходимо, чтобы результирующая скорость была направлена перпендикулярно берегам реки (наименьшему расстоянию соответствует минимальная затрата времени) (рис. 69).

Ответ: 60 с, 53° приближенно.

Задача 4. Между точками A и B движется по прямой тело таким образом, что выходя из точки A с начальной скоростью v₀ = 0, оно должно иметь в точке B скорость v = 0. При этом тело может двигаться с постоянным по модулю ускорением и равномерно. Каким должен быть характер движения, чтобы время его было минимальным?

Решение. Пройденный путь может быть изображен в виде площади трапеции или треугольника (рис. 70).

Ответ. Первую половину времени тело должно двигаться равноускоренно, а второю половину равнозамедленно.

Утверждение. Если  где a > 0, a₁ > 0, a₂ > 0, .., a_n > 0, то a < a₁, a < a₂, .., a < a_n.

Доказательство.

Данное утверждение имеет большое практическое значение в физике, электротехнике и др.

Задача 5. Электрическая цепь имеет некоторое сопротивление (значение этого сопротивления может быть известным или неизвестным). Требуется изменить сопротивление цепи так, чтобы оно стало меньше 5 Ом.

Для решения этой задачи достаточно параллельное подключение проводника с сопротивлением R m 5 Ом (рис. 71).

Задача 6. К конденсатору емкостью Cx надо присоединить другой так, чтобы в результате получилась емкость меньше 3 мкф (микрофарад).

Решение. При последовательном соединении конденсаторов

К конденсатору емкость C_x надо присоединить последовательно другой конденсатор емкостью C m 3 (мкф) (рис. 72).

Теорема. Если a > 0 и b > 0, то

Доказательство.

(другие неравенства доказываются подобным образом).

Задача 7. Докажите, что если две силы приложены к одной точке под углом 90°, то где F – равнодействующая F₁ и F₂.

Сформулируем задачу по-другому. Докажите, что в прямоугольном треугольнике наибольшее значение суммы длин катетов равно длине гипотенузы, умноженной на   (рис. 73, 74).

Доказательство.

Задача 8. Определите минимальное расстояние между предметом и его действительным изображением в собирающей линзе с фокусным расстоянием F.

Решение. – формула тонкой линзы, где d – расстояние от предмета до линзы, f – расстояние от линзы до изображения предмета, F – фокусное расстояние.

Наименьшему расстоянию d + f соответствует d = f (рис. 75).

Из находим

Второй способ решения. Пусть d + f = a, f = a – d,

a l 4F;

a_min = 4F или (d + f)_min = 4F.

Третий способ решения.

При d = 2F имеем наименьшее расстояние, равное 4F.

Четвертый способ.

При d = 2F f = 2F, а d + f = 4F.

Принцип Ферма

Пьер Ферма (1601–1665 гг.) в результате решения многих задач провозгласил так называемый принцип наименьшего действия. Согласно этому принципу природа заставляет все явления совершаться с минимальной затратой энергии, времени и др. (Принцип Ферма не является универсальным.) Например, свет выбирает из всех возможных траекторий, соединяющих две точки, ту, которая требует наименьшего времени.

Применительно к закону преломления света – время прохождения границы двух сред минимально при

где V₁ и V₂ – скорости распространения света в разных средах, например, в воздухе и воде, a – угол падения, b – угол преломления.

«Перенесем» принцип Ферма из оптики в механику.

Задача 9. Лодка M находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки A берега. Пассажир лодки желает достигнуть точки B, находящейся на берегу на расстоянии 5 км от A. Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может пройти в час 5 км. К какому пункту берега должна прибыть лодка, чтобы пассажир достиг B в кратчайшее время?

Решение. Время будет минимальным при (рис. 76)

Ответ: AO = 4 км, OB = 1 км.

Другой способ решения.

Пусть AO = x. Тогда OB = 5 – x и

Ответ: 4 км, 1 км.

Задача 10. Пешеход должен пройти из пункта A, находящегося на одном тротуаре, в пункт B, находящийся на другом тротуаре. Зная, что скорость движения по тротуару в m раз (m > 1) больше, чем по мостовой, определить под каким углом j пешеход должен пересечь улицу для того, чтобы совершить путь в кратчайшее время.

Решение.

Если допустить, например, m = 2, то j = 60°.

Задачи (11–13), решение которых основано на выделении полного квадрата

Задача 11. Материальная точка движется по закону x = t² – 4t + 5 (координата в метрах, время в секундах). Через сколько секунд координата будет наименьшей, и чему она будет равна?

Решение. x = (t – 2)² – 4 + 5 = (t – 2)² + 1.

Ответ: t = 2 с, x = 1 м.

Задача 12. Материальные точки m₁ и m₂ движутся по осям x и y. В момент t = 0 точка m₁ находится на расстоянии 10 м, а m₂ на расстоянии 5 м от начала координат. Каково наименьшее расстояние между ними, если m1 движется со скоростью 2 м/с, а m₂ – со скоростью 4 м/с?

Решение. Пусть AB – искомое расстояние. Тогда (рис. 77)

Ответ:

Задача 13.

Объем продуктов сгорания, выходящих через трубу за единицу времени, определяется формулойгде T – абсолютная температура газов в трубе, T₀ – абсолютная температура наружного воздуха, k – коэффициент пропорциональности. При каком соотношении T и T₀ объем продуктов сгорания, выходящих через трубу, будет наибольшим (тяга будет наилучшей)?

Решение. Имеем

Ответ: максимальный объем будет при T = 2T₀.

VI. Разные задачи

1. Отклонение температуры t от нормальной t₀ не превышает 4°. Запишите это с помощью математических символов.

| t – t₀ | m 4.

2. Дана запись колебаний температуры за 0,2 с (рис. 78). Определите период колебаний.

3. Определите период переменного тока в осветительных сетях, если частота тока 50 колебаний за секунду (50 герц).

4. Дан график движения поезда на одной из линий метро. Определите период функции v(t), расстояние между двумя соседними станциями и среднюю скорость за один период.

T = 80 с; l = 50ж24 = 1200 м;

5. По данному графику определите среднюю скорость движения за 10 с.

Решение (рис. 80).

S = 0.5ж2ж1 + 3ж1 +0.5ж (1 + 5)ж2 + 3ж5 = 25 (м).

v_ср=25/10 = 2,5 (м/с).

6. Коэффициент полезного действия идеального теплового двигателя

где T₁ – абсолютная температура нагревателя, T₂ – абсолютная температура холодильника.
При каких условия кпд был бы равен: а) единице; б) нулю?

а) При T₂ = 0 или при T₁ ® Ч и T₂ = const.
б) При T₁ = T₂.

Из формулы видно, что большей разности T₁ – T₂ соответствует большее значение кпд. Данные математического исследования учитываются при конструировании и эксплуатации тепловых двигателей.

7. Механическая работа определяется формулой A = FScos a (рис. 81). При каких значениях угла a работа будет максимальной, будет равна половине максимально возможной, будет равна нулю?

a = 0, a = 60°, a = 90°.

8. Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту с начальной скоростью v0, определяется формулой

а максимальная высота поднятия

а) При каком значении угла a дальность полета будет наибольшей?

sin 2a = 1, a = 45°.

б) Докажите, что при a = 30° и a = 60°, a = 70° и a = 20°, a = 40° и a = 50° дальность полета будет одинаковой. Сделайте обобщение.

в) Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы высота его подъема составила

sin² a = sin 2a, sin a (sin a – 2cos a) = 0, tg a = 2, a d 64°.

Ответ: приближенно 64°.

(Обратите внимание на решение тригонометрических уравнений в общем виде и применительно к реальным явлениям, а также к геометрическим задачам.)

9. Солнечные лучи падают на горизонтально расположенное зеркало m под углом 40° (рис. 82). Отражаясь от него, они падают на второе зеркало n и вновь отражаются от него. Под каким углом к горизонтальной плоскости нужно расположить второе зеркало, чтобы отраженные от него лучи падали перпендикулярно к горизонтальной плоскости?

Решение. F ABC = 40°, F ABD = F DBC = 20°.

F OBC = 70°, F BOC = 20°.

Ответ: 20°.

10. Высота передающей антенны телецентра 520 м, а высота приемной антенны телевизора 10 м. На каком предельном расстоянии от передатчика можно вести прием?

Решение. Телепередачи ведутся на ультракоротких волнах, которые распространяются в пределах прямой видимости (эти волны не могут огибать кривизну земной поверхности) (рис. 83).

OA₁ = OB = OC₁ + R = 6400 км,
AA₁ = 520 м = 0,52 км,
CC₁ = 10 м = 0,01 км.

Искомое расстояние AC = AB + BC.

Ответ: приближенно 91,2 км.

11 (задача для самостоятельного решения). Какой наименьшей высоты должна быть приемная антенна, чтобы обеспечить прием на расстоянии 150 км от телецентра, если высота передающей антенны 520 м?

12. Под каким углом a должен плыть пловец, чтобы из точки A попасть в точку C, если скорость пловца v = 3 м/с, скорость течения v₀ = 1 м/с, F BAC = 45° (см. рис. 84)?

Решение. v_x = vsin a + v₀,   v_y = vcos a.

13. Под каким углом к горизонту должен вылететь снаряд, чтобы дальность полета была 9 км, если начальная скорость снаряда v₀=600 м/с?

Решение. Составим систему уравнений

В момент падения снаряда x = 9000, а y = 0.

(Задачи 12 и 13 можно использовать при прохождении темы «Тригонометрические уравнения».)

14. Корабль идет по прямой с постоянной скоростью vк = 20 км/ч. С какой скоростью подходит спереди перпендикулярно к его курсу моторная лодка (см. рис. 85), если с корабля лодка видна под постоянным углом 60°?

Ответ: приближенно 34,6 км.

15. Через сколько времени от начала движения точка, совершающая колебательные движения по закону x = 7sin 0,5pt,

а) проходит от положения равновесия до максимального смещения;
б) сместится на половину амплитуды?

Ответы:

Заключение

Использование физического материала содействует развитию навыков в применении математического аппарата, дает возможность применять различные методы (векторный, координатный и др.) для решения прикладных задач, помогает формировать у учеников представление о роли математики в изучении окружающего мира, видеть разницу между реальным и идеальным, между физическим явлением и его математической моделью, вызывает дополнительный интерес и мотивацию к учению.

Отобранный для уроков математики физический материал должен быть простым и, желательно, уже изученным на уроках физики.