«Турнир Архимеда – 2001»

Заочный конкурс

Оргкомитет Турнира Архимеда совместно с редакцией приложения «Математика» объявляет конкурс решения задач для учащихся 6–7-х классов.

Уважаемые коллеги! Предложите эти задачи своим ученикам. Победителей конкурса ждут призы редакции приложения и Оргкомитета Турнира Архимеда. Решения просим выслать до 20 марта 2001 г. (по почтовому штемпелю) по адресу: 121165, Москва, ул. Киевская, 24, редакция приложения «Математика», с пометкой на конверте «Турнир». В письмо следует вложить конверт с маркой (и адресом школьника) – в нем будут высланы результаты проверки. В письме должен быть указан номер школы и класс. Желаем успеха!

Задачи

1. Легче, тяжелее или... Известно, что из 40 монет две фальшивые (одна из фальшивых монет весит несколько больше настоящей, другая – несколько меньше, все настоящие монеты весят одинаково). Можно ли за 4 взвешивания на чашечных весах без гирь выяснить, что больше: вес двух фальшивых монет или двух настоящих, или же эти веса равны?

2. Как выгоднее? В каком случае вкладчик получит больше денег: если банк начисляет доход в 12% раз в год или если он начисляет 1% раз в месяц?

3. Кони на доске. Какое наибольшее число шахматных коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

4. Каких чисел больше? У каждого из чисел от 1 до 199 920 002 001 вычислите сумму цифр. У получившегося числа снова вычислите сумму цифр. И так далее до тех пор, пока не получатся однозначные числа. Какие чисел получилось больше: 1 или 9?

5. Каркас из проволоки. Можно ли из 199 кусков проволоки, длины которых равны соответственно 1, 2, 3, ..., 199 см, сделать: а) каркас куба; б) каркас прямоугольного параллелепипеда?

6. Тринадцатая цифра. Перемножили все натуральные числа от 1 до 50. Найдите тринадцатую цифру полученного произведения (справа!).

7. Автобусный маршрут. По шоссе между пунктами A и B курсирует с постоянной скоростью автобус. Известно следующее:

1) пункты C, D и E расположены на шоссе между A и B;
2) автобус останавливается только в A и B (на 3 мин);
3) в 9.08 автобус проехал мимо C по направлению в B;
4) в 11.28 автобус выехал из A;
5) в 13.16 автобус приехал в B;
6) в 14.04 автобус проехал мимо C по направлению к B;
7) наблюдатель в D не видел ни одного автобуса в течение 54 мин;
8) наблюдатель в E видел 2 автобуса в течение 20 мин.

Как расположены на шоссе пункты A, B, C, D и E?

8. Точки и окружности. На плоскости расположено 200 точек. Существует ли окружность, внутри которой расположено ровно:

а) 3;
б) 100 точек?