А. Смоляков,
г. Нефтекумск

Тригонометрические задачи со сложным аргументом

В заметке рассматриваются тригонометрические задачи (уравнения, неравенства, исследование функций), в которых сложный аргумент – сложная функция (и даже иногда тригонометрическая) от x. Эти задачи отсутствуют в школьных учебниках по алгебре и началам анализа. Они редко встречаются и в пособиях для поступающих в высшие учебные заведения. Однако их можно встретить на вступительных экзаменах и, более того, иногда на выпускных экзаменах. Заметим, что предлагаемый набор упражнений можно использовать как на уроках, так и на факультативных занятиях.

Пример 1. Решить уравнение sin (sin (cos x – sin x)) = 0.

Решение. Имеем, что sin (cos x – sin x) = pn, n Э Z. Но так как – 1 m sin t m 1, то – 1 m pn m 1, откуда n = 0.

Далее решаем уравнение sin (cos x – sin x) = 0. Оно равносильно уравнению cos x – sin x = pk, k Э Z

или уравнению

Замечаем, что значения k должны удовлетворять двойному неравенству откуда k = 0.

Итак, остается решить уравнение откуда

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Преобразуя левую часть уравнения, получим откуда Но поэтому должны быть верны неравенства

Итак,

Заметим, что ответ может быть представлен и в такой форме:

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение sin (2pcos x) = 0.

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению 2pcos x = pn, откуда Поскольку то Но так как

Решаем три уравнения:

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Решая простейшее уравнение где получаем откуда Так как то Неравенство имеет целое решение n = 0, а неравенство не имеет решений в целых числах.

Итак, – таков ответ.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Легко видеть, что но тогда sin x = 1 – 4k², а так как – 1 m sin x m 1, то

Ясно, что k = 0 и sin x = 1.

Ответ:

Пример 6. Решить уравнение sin² (1 – cos x) = cos² (1 + cos x).

Решение. Применяя формулы понижения степени, приходим к уравнению cos (2 + 2cos x) + cos (2 – 2cos x) = 0, откуда, преобразуя сумму косинусов двух углов в произведение, получим

Для нахождения возможных значений n рассматриваем двойное неравенство откуда n = 0 или n = – 1,

и

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение

Ответ:

Пример 8. Решить уравнение

Ответ:

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Легко сообразить, что

откуда ncos² x – cos x + n = 0 – квадратное уравнение относительно cos x (при n ­ 0). Его дискриминант равен 1 – 4n².

Решением неравенства 1 – 4n² l 0 является n = 0, но тогда

Ответ:

Пример 10. Решить уравнение

Решение. Из уравнения следует, что

Замечаем, что

при
при k = 1
при 

Легко далее сообразить, что если то

Ответ:

Пример 11. Решить уравнение

Решение. Положим x = cos y, где 0 m y m p. Тогда

Но x = cos y, поэтому откуда x = 0.

Ответ: 0.

Пример 12. Решить уравнение

Решение. Очевидно, что откуда

Далее имеем 2 – x² = 4n², x² = 2 – 4n².

Но так как

Окончательно получаем уравнение

Ответ:

Пример 13. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения 0 m cos x < 1.

Действительно,

Легко сообразить, что при

Аналогично поступаем и для функции где приходим к неравенству которое приводит к неравенству при n = 0.

Из данного уравнения следует, что

Замечаем, что пока n Э N₀. Для определения допустимых значений n решаем неравенства:

Из первого неравенства следует, что n m 0, но n Э N₀, значит, n = 0. Но тогда Второе неравенство приводится к виду но оно выполнимо только при n = 0.

Итак, окончательно получаем, что cos x = 0.

Ответ:

Пример 14. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно системе

так как Решая систему, получаем

Откуда 2pk = 4p2m², k = 2pm2, но k и m – целые числа, а поэтому последнее равенство возможно при k = m = 0.

Ответ: 0.

Пример 15. Решить уравнение

Указание. Исходное уравнение равносильно системе уравнений

Ответ:

Пример 16. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно x и найдем дискриминант D = p2sin² x – p² = – p²cos² x l 0.

Последнее неравенство верно только при cos x = 0, т. е. Но тогда и

Легко видеть, что последнее равенство верно только при k = 0 и при k = – 1.

Ответ:

Пример 17. Решить уравнение на отрезке [0; p].

Решение. Находим область определения уравнения:

После приведения к общему знаменателю в левой части получаем уравнение

Очевидно, что

Найдем те значения x, при которых

Для этого решаем неравенство

Неравенство выполнено при всех n Э N₀, а для второго неравенства получаем откуда
n m 3, т. е. n = 0, 1, 2, 3. При n = 0 получаем x = 0. Если n = 1, то – не входит в область определения уравнения. При n = 2 имеем а при n = 3 корень уравнения x = p.

Ответ:

Пример 18. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению

откуда sin  = 0; sin  = 0.

Для нахождения x имеем два уравнения:

Заметим, что k Э N, так как при x > 0, а n Э N, так как при x > 0.

Решаем первое уравнение.

но это уравнение явно корней не имеет при k Э N.

Решаем второе уравнение. Оно равносильно уравнению  , которое в свою очередь равносильно системе

Из первого уравнения системы находим

Покажем, что Действительно,

а последнее неравенство верно при n Э N.

Итак,

Ответ:

Пример 19. Решить уравнение на отрезке [0; 2p].

Решение. Очевидно, что данное уравнение равносильно системе

Решим первое уравнение системы, заметив, что достаточно найти его корни на отрезке [0; p], где sin x l 0.

Так как то

Так как ,  и

Так как x Э [0; p], то

Итак,

ответ:

Пример 20. Исследовать функцию f(x) = sin (sin x) и построить ее график.

Решение.

1. D(f) = R.

2. Нули функции: sin (sin x) = 0, sin x = pn. Очевидно, что n = 0 и sin x = 0, x = pk, k Э Z.

3. Находим участки знакопостоянства.sin (sin x) > 0. Функция y = sin t положительна в I и во II четвертях, причем 0 m sin x m 1, а поэтому sin (sin x) > 0, если 2pm < x < p + 2pm, m Э Z.

Аналогично устанавливаем, что sin (sin x) < 0, если 2pk – p < x < 2pk, k Э Z, т. е. участки знакопостоянства совпадают с участками знакопостоянства функции y = sin t.

4. Функция нечетная.

5. Функция периодическая с периодом 2p.

6. Находим производную функции, критические точки и исследуем ее поведение на промежутке [0; 2p]. f R(x) = cos x•cos (sin x) = 0,

откуда но последнее уравнение корней не имеет.

На промежутках , функция возрастает, а на промежутке она убывает;

– точка максимума, – точка минимума,

Проведенные исследования показывают, что свойства функций y = sin (sin x) и y = sin x отличаются только своим наибольшим и наименьшим значениями. Учитывая ее периодичность, строим график:

Автор статьи приводит решения нескольких неравенств, применяя метод интервалов, считая его наиболее простым в подобных ситуациях.

Пример 21. Решить неравенство cos (sin x) < 0.

Решение. Пусть f(x) = cos (sin x). Находим нули f(x), решая уравнение

Замечаем, что последнее уравнение не имеет корней при целых k, а поэтому функция сохраняет постоянный знак на всей координатной прямой.

Так как f(0) = cos (sin 0) = cos 0 = 1 > 0, то cos (sin x) > 0 при x Э R.

Следовательно, данное неравенство решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Пример 22. Решить неравенство sin (cos x) > 0.

Решение. Находим нули функции f(x) = sin (cos x).

Имеем, что cos x = pn, n Э Z. Так как – 1 m pn m 1, то

Поскольку период функции f(x) равен 2p, то применяем метод интервалов на отрезке длины 2p.

f(0) = sin (cos 0) = sin 1 > 0,
f(p) = – sin 1 < 0,
f(– p) = – sin 1 < 0.

Ответ:

Пример 23. Решить неравенство

Решение. Если то f(x) = 0 при

Ответ:

Примеры 21–23 взяты из книги: Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. – М., Наука, 1983.

Пример 24. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = cos² x² на отрезке

Решение. и

Находим критические точки.

x = 0 или где n = 1, 2, ... .

Выберем те значения n, при которых

1.   откуда Следовательно, n = 0, n = 1, значит, x = 0 и

2. и вновь n = 0 и n = 1. Получаем еще одну точку

Производим вычисления на концах отрезка и в найденных критических точках.

f(0) = 1.

Итак,