Как сделать геометрию понятной и интересной?

Третий признак равенства треугольников. Задачи на построение.

Усвоение третьего признака равенства треугольников.
Продолжаем публикацию серии статей профессора М. Воловича (см.«Математика»,№4/2001).

Задумывались ли вы, почему в учебнике Атанасяна при доказательстве третьего признака равенства треугольников рассматриваются три случая, а в учебнике Погорелова только один? И как объяснить ученикам, что надо рассматривать не один случай, а несколько? Проще всего, разумеется, сказать: запомните, что при доказательстве этой теоремы надо рассматривать такие-то случаи. И хотя именно так поступают очень и очень многие, надеюсь, никто не сомневается: такая «методика», мягко говоря, не очень способствует тому главному, ради чего всех учат математике – умению четко, доказательно мыслить.

«Запомните» остается для многих учителей основным методическим приемом прежде всего потому, что неясно, можно ли и нужно ли стремиться, организуя усвоение, если не исключить, то свести к минимуму запоминание. И если можно, то как это сделать. Тем более, что далеко не все научились различать «запомните» как способ и как результат усвоения.

Нужно ли стремиться к тому, чтобы исключить из арсенала методических приемов запомните в смысле заучите – дело сугубо личное. А вот как можно организовать обучение, чтобы, с одной стороны, практически исключить заучивание, а с другой стороны, добиться в результате обучения полноценного запоминания, рассказывается в предлагаемой серии статей.

Вернемся к вопросу о том, как исключить заучивание при знакомстве с различными случаями доказательства третьего признака равенства треугольников по учебнику Атанасяна.

При доказательстве первых двух признаков равенства треугольников было совершенно все равно, какие треугольники рассматриваются. Потому что все рассуждения, которые делались с опорой на какие угодно два треугольника, удовлетворяющие условию теоремы, можно было повторить для любых двух других треугольников, удовлетворяющих условию теоремы.

При доказательстве третьего признака по учебнику Атанасяна оказалось, что ситуация иная: можно найти такие пары треугольников, для которых рассуждения, доказывающие равенство одной пары, нельзя повторить, если рассматривать другую пару треугольников.

Возможность повторить все рассуждения для любого другого чертежа, удовлетворяющего условию, и есть единственный критерий того, завершено или не завершено доказательство, нужно или не нужно рассматривать несколько случаев.

Рассмотренное в учебнике Атанасяна доказательство третьего признака включает рассуждения о том, что противолежащие совмещенным сторонам углы, равенство которых доказывается, либо равны, либо являются суммой равных углов, либо представляют собой разность равных углов. Поэтому необходимо рассматривать три случая.

Объяснять это ученикам, только что приступившим к изучению геометрии, совершенно бесполезно. Однако можно организовать работу так, чтобы каждый ученик «открыл» для себя невозможность ограничиться рассмотрением одного чертежа, активно участвовал в поиске таких чертежей, для которых нельзя повторить уже выполненные рассуждения.

В первой статье данного цикла рассматривался вопрос о необходимости проверки готовности учеников к восприятию нового материала с помощью заданий, каждое из которых, во-первых, позволяет проверить, усвоено ли то из ранее изученного, что необходимо при изучении нового; во-вторых, требует для выполнения и для проверки совсем немного времени.

Задания для проверки готовности к знакомству с третьим признаком равенства треугольников по учебнику Атанасяна.

1. Сделайте рисунок, похожий на рис. 1 (выполнен на доске). В треугольниках АВС и АМВ равны стороны АС и АМ, ВС и ВМ. Докажите, что DАВС = DАМВ.
2. Сделайте рисунок, похожий на рис. 2 (выполнен на доске). В треугольниках МKЕ и МЕС равны стороны МK и МС, KЕ и ЕС. Докажите, что DМKЕ = DМСЕ.

Выполнение первого задания может быть организовано, например, так. Обсуждается вопрос, как можно доказать равенство треугольников. Итогом может быть вывод: если удастся доказать, что один из углов одного треугольника равен углу другого треугольника, и равные углы лежат между соответственно равными сторонами, то такие треугольники равны.

Чтобы ускорить и облегчить работу, можно подсказать направление поиска доказательства: дополнить рисунок таким образом, чтобы получились равнобедренные треугольники.

Затем одному из наиболее слабых учеников предлагается сообщить, какое дополнительное построение им выполнено. В ходе обсуждения важно обратить внимание на то, что данное дополнительное построение позволяет получить равнобедренные треугольники, у которых равны углы при основании. В результате обсуждения рисунок на доске принимает следующий вид (рис. 3):

Далее следует проверить и обсудить каждый из следующих шагов:

– вывод о равенстве углов при основании треугольников АМС и ВМС;
– вывод о равенстве углов АМВ и АСВ.

Аналогично проверяется и обсуждается правильность решения второй задачи. Особое внимание важно уделить тому, что эти решения отличаются лишь последним шагом: в первой задаче искомый угол равен сумме углов при основании рассматриваемых равнобедренных треугольников, а во второй задаче – разности этих углов.

Затем, как было показано в первой статье цикла, надо переходить к поиску доказательства.

Первый шаг поиска – краткое фиксирование того, что дано и того, что требуется доказать (рис. 4).

Дано: BC = MK, AB = MP, ________ = ________
Доказать: D ABC ____ D MKP.

(Пропуски ученики должны заполнить самостоятельно. Это позволяет лучше осознать, о чем говорится в условии и заключении теоремы.)

Как и при поиске доказательства первых двух признаков, необходимо осмыслить информацию, которую предоставляет условие теоремы. В данном случае информация заключается в возможности совместить каждую из пар равных сторон.

При доказательстве первых двух признаков треугольники накладывались. Очень полезно и в этом случае попытаться наложить треугольники, выяснить, что ничего не известно об углах и поэтому неизвестно, можно ли совместить остальные соответственно равные стороны. И только после этого сделать вывод о том, что можно попробовать найти доказательство, прикладывая треугольники.

Полезно обсудить, как следует прикладывать треугольники, совмещая, например, их стороны СВ и МK. Ученикам предлагается записать, какие вершины при этом должны совместиться. Обсуждая различные мнения, важно обратить внимание на то, что совместив С и K, В и М, можно получить равнобедренные треугольники, рассмотрение которых позволит доказать равенство углов данных треугольников. Результатом обсуждения может стать, например, рис. 5 (выполненный на доске):

Дальнейший поиск доказательства можно в случае необходимости облегчить, обратив внимание учеников на «подготовительную» задачу.

Тот небольшой опыт, который накопился у каждого ученика к моменту доказательства третьего признака, говорит о том, что доказательство завершено. Главная задача учителя показать, что это не так. Например, предложить всем еще раз записать весь ход доказательства, совместив стороны АВ и МР (рис. 6):

В ходе проверки, которую следует осуществлять по шагам, самое главное установить следующее: 1) треугольники опять приложены один к другому так, чтобы совместились те вершины, в которых сходятся соответственно равные стороны; 2) опять отрезок, соединяющий несовместившиеся вершины, является основанием двух равнобедренных треугольников, у которых равны углы при основании; 3) опять можно доказать, что равны углы треугольников при несовместившихся вершинах. Но в первом случае находилась разность углов, а теперь – сумма углов. Поэтому рассуждения, которые выполнялись при рассмотрении первого случая, нельзя повторить в рассматриваемом случае. Это означает, что доказывая третий признак равенства треугольников, надо рассмотреть оба рассмотренных случая.

Теперь остается сделать понятным, что и после рассмотрения второго случая доказательство не завершено. Для этого полезно четко сформулировать проблему: нельзя ли найти такие треугольники с соответственно равными сторонами, при доказательстве равенства которых нельзя повторить рассуждения ни первого, ни второго рассмотренных случаев.

Для того чтобы понять, могут или не могут найтись такие треугольники, надо разобраться, что именно повлияло на появление различных случаев.

В первом случае общая сторона двух равнобедренных треугольников не пересекала совместившиеся стороны. Во втором случае общая сторона двух равнобедренных треугольников делила совместившиеся стороны на два отрезка.

Следовательно, надо попытаться установить, нет ли треугольников с тремя соответственно равными сторонами, которые можно приложить так, чтобы не имел место ни первый, ни второй случай.

Думаю, что проблема отыскания таких треугольников может оказаться для учеников слишком сложной. Поэтому можно нарисовать два прямоугольных треугольника и предложить установить, первый или второй случай имеет место, если приложить их так, чтобы совместились:
1) равные стороны, которые лежат против прямых углов; 2) равные стороны, которые прилежат к прямым углам. Во втором случае получается рис. 7:

Здесь совместившиеся вершины С и Р лежат на отрезке, который соединяет не совместившиеся вершины В и М. Следовательно, получается равнобедренный треугольник с основанием ВМ, и поэтому РВ = РМ.

Рассуждения, с помощью которых доказывается равенство треугольников в рассмотренном случае, не такие, как в первом и во втором случае. Следовательно, это третий случай, который надо рассматривать, доказывая третий признак.

Каких-либо еще случаев быть не может: если совместившиеся вершины С и Р окажутся левее ВМ, то имеет место первый из рассмотренных случаев, если правее – второй.

Краткая запись хода доказательства может быть, например, такой.

Дано: в треугольниках АВС и РМK АВ = МР, АС = РK, ВС = МK.

Доказать: DАВС = DРМK.

Первый шаг в каждом из случаев один и тот же. Поэтому записываем его для всех случаев одновременно.

1. Совмещаем равные стороны ВС и МK так, чтобы совместились точки В и М, в которых сходятся соответственно равные стороны ВС и МK, АВ и МР. При этом треугольники АВС и РМK не накладываем, а прикладываем.
2. Соединяем отрезком несовместившиеся вершины А и Р. При этом возможны три случая.

Случай 1. Совместившиеся вершины лежат в одной полуплоскости относительно прямой ВС, и АР не пересекает ВС (см. рис. 5).

DАВР равнобедренный с основанием АР, поэтому РВАР = РВРА;

DАСР равнобедренный с основанием АР, поэтому РСАР = РСРА;

РВАС = РВАР – РСАР; РМРK = РВРА – РСРА;

РВАС = РМРK.

Случай 2. Не совместившиеся вершины K и С лежат в разных полуплоскостях относительно АВ, и KС пересекает АВ (см. рис. 6).

DАKС равнобедренный с основанием KС, поэтому РАKС = РАСK;

DВKС равнобедренный с основанием KС, поэтому РВKС = РВСK;

РАСВ = РАСK + РВСK; РРKМ = РАKС + РВKС;

РАСВ = РРKМ.

Случай 3. Одна из совместившихся вершины лежит на отрезке АР (рис. 8).

DАВР равнобедренный с основанием АР и потому РВАР = РВРА или, что то же самое, РВАС = РМРK;

DАВС = DРМK (по первому признаку равенства треугольников). Теорема доказана.

Перейдем к организации усвоения третьего признака равенства треугольников по учебнику Погорелова.

Здесь использован метод доказательства «от противного», который труден для большинства учащихся. Знакомство с этим методом предусмотрено несколько раньше, в связи с доказательством теоремы о возможности провести через точку прямой перпендикуляр к этой прямой и только один. Поэтому вначале рассмотрим особенности организации усвоения этого метода.

Суть метода помогает понять следующая загадка, которую полезно предложить отгадать ученикам.

Представьте себе, что приговоренному к казни предлагается выбрать одну из двух одинаковых на вид бумажек. На одной написано «смерть», на другой – «жизнь». Чтобы у осужденного не осталось шансов спастись, его враги сделали так, что на обоих бумажках было написано «смерть». Друзья узнали об этом и сообщили осужденному. Он попросил никому об этом не рассказывать, вытащил одну из бумажек и остался жить. Как ему это удалось?

Ответ. Осужденный проглотил выбранную им бумажку. Чтобы установить, какой жребий ему достался, судья заглянули в оставшуюся бумажку. На ней было написано: «смерть». Это доказывало, что осужденному повезло, он вытащил и проглотил бумажку, на которой было написано «жизнь».

Как и в случае, о котором рассказывает загадка, при доказательстве часто бывают возможны только два случая: 1) можно ј2) нельзя ј Если удастся убедиться, что нежелательный вариант невозможен, приводит к противоречию, то сразу можно сделать вывод, что справедлива вторая возможность.

Доказательство методом «от противного» осуществляется так.

1) Устанавливают, какие варианты в принципе возможны при решении задачи или доказательстве теоремы.

Вариантов ответа может быть два (например, перпендикулярны или не перпендикулярны рассматриваемые прямые); вариантов ответа может быть три и больше (например, какой получается угол – острый, прямой или тупой).

2) Доказывают, что не может выполняться ни один из тех вариантов, которые необходимо отбросить.

Например, надо доказать, что если АВ ^ а, то прямые АС и а не перпендикулярны (рис. 9):

Есть только две возможности: АС перпендикулярна АМ; АС не перпендикулярна АМ.

Докажем, что нежелательный случай АС ^ АМ приводит к противоречию, и поэтому невозможен.

По условию АВ ^ а. Это означает, что РВАМ = 90^о.

Если АС ^ АМ, то РВАС = 90^о. Это невозможно, так как от луча АМ в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный данному углу 90^о.

3) На основании того, что все нежелательные выводы отброшены и только один (желательный) остался нерассмотренным, делаем вывод, что именно он – верный.

Естественно, планируя проверку готовности к доказательству третьего признака равенства треугольников, надо проверить готовность учеников к умению пользоваться методом доказательства «от противного».

Доказательство третьего признака, как и первых двух, опирается на аксиому равенства треугольников. Кроме того, используется аксиома откладывания равных отрезков на луче от начала луча. Некоторое время ученики не работали с этими аксиомами. Важно проверить, все ли помнят их, и ликвидировать пробелы в знаниях, если они обнаружатся.

Доказательство использует свойство медианы равнобедренного треугольника, которое в учебнике Погорелова изучается накануне. Важно проверить, усвоено ли это свойство.

Задания для проверки готовности к знакомству с третьим признаком равенства треугольников по учебнику Погорелова:

1. Основное свойство равенства треугольников говорит, что существует треугольник А₁В₁С₁, равный треугольнику АВС, в заданном расположении относительно полупрямой МР. Запишите, что известно о вершинах А₁ и В₁ треугольника А₁В₁С₁ , если вершина С₁ лежит в той же полуплоскости относительно МР, что и точка K, АВ = МР (рис. 10).

Ответ. Вершина А₁ совпадает с М, вершина В₁ лежит на луче МР. Поскольку А₁В₁ = АВ = МР, вершина В₁ совпадает с Р (рис. 11).

2. Точки А и K лежат в одной полуплоскости относительно прямой ВС. Докажите, используя метод «от противного», что треугольники ВKС и ВАС не могут быть оба равнобедренными с общим основанием ВС (рис. 12).

Приведем в качестве примера записи, которые могут быть выполнены в ходе поиска рения задачи 2.

1) Существует две возможности:

а) DKВС и DАВС – равнобедренные с общим основанием ВС;
б) хотя бы один из треугольников KВС или АВС – не равнобедренный.

Рассмотрим, что произойдет, если выполняется нежелательная возможность, т.е. оба треугольника равнобедренные.

2) Так как DKВС равнобедренный с основанием ВС, РKВС =РKСВ; медиана, проведенная к стороне ВС, является биссектрисой и высотой треугольника KВС.

Так как DАВС равнобедренный с основанием ВС, РАВС = РАСВ; медиана, проведенная к стороне ВС, является биссектрисой и высотой треугольника АВС (рис. 13):

3) Оказалось, что МK ^ ВС и МА ^ ВС. Это невозможно: через точку на прямой можно провести только один перпендикуляр к этой прямой.

4) Нежелательный случай привел к противоречию и поэтому невозможен. Следовательно, треугольники ВKС и ВАС не могут быть оба равнобедренными с общим основанием ВС, что и требовалось доказать.

 Обратите внимание, что среди выводов, которые можно сделать на основании того, что треугольники – равнобедренные не только те, которые используются при доказательстве, есть вывод: равенство углов при их основаниях в рассматриваемом доказательстве не используется. Ведь речь идет о поиске доказательства. И далеко не всегда ясно, какие из возможных выводов понадобятся.

Поиск доказательства третьего признака равенства треугольников.

Первый шаг – краткая запись того, что дано и что требуется доказать (рис. 14).

Дано: AB = MP, BC = PK, ________ = ________
Доказать:
D ______ = D ______.

После того, как проверена правильность заполнения пропусков и на рисунке отмечена третья пара равных сторон, переходим к «разворачиванию» условия и заключения.

Получить какую-либо информацию на основании того, что дано в условии, здесь не удастся. Установить то, что требуется доказать, можно либо с помощью аксиомы существования треугольника, равного данному, либо с помощью одного из доказанных признаков. Поэтому следует сообщить ученикам, что приведенное в учебнике доказательство, которое предстоит найти, использует аксиому.

Цель, которую надо стремиться достичь, в учебнике не сформулирована. Ее может сформулировать учитель: надо доказать, что один из данных треугольников – тот самый, о котором говорит аксиома. После этого можно обсудить вопрос, какой луч удобно для достижения этой цели считать тем самым лучом, о котором говорится в аксиоме. Ясно, что может быть использован любой луч, на котором лежит одна из сторон треугольника, с началом в одной из вершин, которые соединяет эта сторона.

Если остановить выбор на луче РK, то о треугольнике, который равен второму из рассматриваемых треугольников, известно, что:

– одной из его вершин является точка Р;
– вторая его вершина лежит на луче РK;
– третья его вершина, учитывая сформулированную цель, должна лежать в той же полуплоскости, что вершина М.

Треугольник, равный ВАС, о существовании которого утверждает аксиома, учитывая изложенное, может быть обозначен РА₁С₁ (рис. 15):

Теперь можно использовать информацию, которая может быть извлечена из условия теоремы. Предложите ученикам записать, какие выводы можно получить на основании того, что DРА₁С₁ = DВАС и по условию ВС = РK, АС = KМ, ВА = РМ.

(Ответ: РK = РС₁, МK = А₁С₁, РМ = РА₁. )

Далее ученикам посильно самостоятельно установить, что из добытой информации можно использовать, чтобы установить совмещение вершин треугольников РА₁С₁ и РМK. (Ответ: K совместится с С₁ , так как на луче РK от вершины Р можно отложить только один отрезок, равный данному, рис. 16).

Учитывая важность метода доказательства «от противного» и его трудность, полезно предложить этим методом доказать, что совместятся вершины М и А₁. Выполнение задания и его проверку желательно организовывать по шагам.

1) Есть две возможности: рассматриваемые вершины либо совпадают, либо не совпадают.

2) Рассматриваем нежелательную возможность: вершины не совпадают. Требуется установить, что в этом случае получается результат, противоречащий имеющимся сведениям. Поиск противоречия в случае необходимости может быть облегчен, если возвратиться к рассмотренной выше подготовительной задаче.

3) Делаем вывод, что, отбросив нежелательную возможность, мы тем самым докали, что справедлива желательная: совместятся вершины М и А₁. Поиск доказательства завершен.

Далее следует кратко записать ход доказательства. В данном случае это достаточно просто (поэтому приводить его не будем).

Усвоение темы «Задачи на построение».

Как известно, задачи на построение предполагают использование строго ограниченного набора чертежных инструментов. В школе это циркуль и линейка без делений. Поэтому прежде всего надо разъяснить, с какой целью решаются такие задачи.

Ответить на этот вопрос не так просто. Часто ссылаются на то, что построения получаются точнее. Однако это далеко не всегда соответствует действительности. Например, построение прямой, которая проходит через данную точку и перпендикулярна данной прямой, не менее точно и гораздо быстрее выполнить с помощью угольника и линейки.

Думаю, что правильнее всего объяснить, что решение задач на построение с помощью указанного набора инструментов – традиционная математическая игра, способствующая развитию мышления и очень интересная. Недаром люди «играют в построение фигур» уже много-много веков. Как и всякая игра, она имеет свои правила. Например, не учитывают, не принимают во внимание неизбежные погрешности построений: построения считают идеально точными. Это, в частности, означает, что если известно, каким образом могут быть выполнены построения, то считается, что их можно выполнить. Скажем, если известно, каким образом можно разделить отрезок пополам, то считается, что любой отрезок можно разделить на 4, 8, 16, 32 и т.д. части. И еще одна особенность построений с помощью циркуля и линейки: считают, что с помощью линейки можно провести не отрезок, а прямую; с помощью циркуля можно построить все точки плоскости, удаленные от данной точки на любое расстояние, какое угодно большое и какое угодно маленькое.

Как отмечается в учебнике Погорелова, задача на построение «считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами». Кроме того, здесь подчеркивается, что решение задачи на построение «состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопроса о том, как это сделать, и соответствующем доказательстве». К сожалению, и в этом учебнике, и в учебнике Атанасяна материал изложен таким образом, что просто невозможно разобраться «как это сделать», как можно догадаться, что проводить окружности и прямые следует именно в той последовательности, какую сообщают авторы.

Выход состоит в том, чтобы не забывать давнюю традицию решения задач на построение: включать в «правила игры» выполнение следующих этапов решения:

1) анализ условия задачи, в ходе которого намечается план построения;
2) перечисление всех шагов построения;
3) доказательство того, что построенная фигура – искомая, т.е. обладает всеми свойствами, о которых говорится в условии задачи;
4) выполнение исследования, т.е. выяснение того, сколько решений имеет задача; различными решениями принято считать лишь неравные фигуры, удовлетворяющие условию задачи.

Согласившимся с этим планом необходимо согласиться и с тем, что следует различать, скажем, задачу на построение треугольника по трем сторонам и задачу, в которой надо построить треугольник, если даны отрезки, равные трем его сторонам. Задача на построение – это своеобразная теорема, которая отвечает на вопрос, каким образом выполнять построения в любом из возможных случаев, и сколько решений при этом может оказаться. Задача, в которой требуется построить фигуру, предполагает, что реализуется все то, что найдено в задаче на построение.

Учитывая сказанное, при решении задачи на построение необходимо ограничиться перечислением всех шагов построения, и ни в коем случае не выполнять сами построения. Если, например, взять три отрезка, равные длинам сторон треугольника, и построить этот треугольник, то о каком исследовании может идти речь?

Построение треугольника с данными сторонами a, b, c.

1. Анализ задачи. Предполагают, что задача решена, построение выполнено. В рассматриваемом примере предполагают, что треугольник, сторонами которого служат данные отрезки а, b, с, построен (рис. 17):

Рассматривая этот рисунок, устанавливают, какие построения надо выполнить, чтобы задача действительно была решена.

Легко построить один из данных отрезков, например b, и тем самым отметить две вершины треугольника А и С. О третьей вершине В известно, во-первых, что она находится на расстоянии а от точки С, т.е. где-то на окружности с центром С и радиусом а. Во-вторых, та же точка В находится на расстоянии С от точки А, т.е. на окружности с центром А и радиусом с. Одновременно на расстоянии а от точки С и на расстоянии с от точки А находятся точки пересечения рассмотренных окружностей. Остается провести окружности и найти точки их пресечения.

2. Построение. 1) Строим отрезок АС, равный b. 2) Проводим окружность с центром в точке С, радиус которой а. 3) Проводим окружность с центром в точке А, радиус которой с. 4) Одну из точек пересечения окружностей обозначаем В и соединяем отрезками точки В и А, В и С.

3. Доказательство. Построенный треугольник – искомый, так как его стороны равны а, b и с.

4. Исследование. Отрезок АС можно построить всегда и единственным образом. Всегда можно провести окружности с центрами в точках А и С. Эти окружности могут иметь две общие точки (рис. 18); одну общую точку (рис. 19); не иметь общих точек (рис. 20).

Пересекутся или не пересекутся окружности – зависит от соотношения длин отрезков. Ведь эти отрезки должны быть сторонами треугольника. А каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Если это условие выполняется, то окружности имеют лежащую вне отрезка АС общую точку, и задача имеет решение. Если же это условие не выполняется (один из отрезков больше суммы двух других отрезков или равен ей), задача не имеет решения.

Если решение есть, то оно единственное. Ведь третий признак равенства треугольников утверждает, что равны любые два треугольника со сторонами а, b, с. Именно поэтому надо соединить с вершинами А и С только одну из точек пересечения окружностей.

В рассматриваемых учебниках с самого начала даются три отрезка и предлагается построить треугольник, сторонами которого являются данные отрезки. Как было отмечено, эту задачу следует решать после того, как рассматриваемая задача на построение решена.

Рассмотрим анализ и запись построения при решении еще нескольких задач.

Задача на построение угла, равного данному

1. Анализ. Предполагаем, что задача решена, искомый угол построен (рис. 21).

Решить задачу можно, если построить какую-либо фигуру, включающую данный угол. Выбор невелик: рассмотрено лишь построение треугольника по трем сторонам. Если бы удалось построить треугольник, у которого один из углов – данный угол В, то можно построить равный ему треугольник и тем самым построить угол, равный углу В.

Дополнить чертеж таким образом, чтобы данный угол АВС стал углом какого-нибудь треугольника, совсем просто: достаточно отложить на сторонах угла какие угодно отрезки ВХ и ВY (рис. 22):

Поскольку стороны ВХ и ВY треугольника BXY могут быть какими угодно, удобно брать их равными.

Мы уже умеем строить треугольник, равный треугольнику BXY , одной из вершин которого является точка О, а вторая лежит на луче ОK.

2. Построение. 1) Откладываем от вершины данного угла на его сторонах произвольные равные отрезки, т.е. проводим окружность с центром в вершине угла точке В, пересекающую стороны угла в точках Х и Y.

2) Строим треугольник, равный треугольнику ВХY таким образом, чтобы одна из сторон угла, равного углу В, лежала на данном луче ОK. Для этого с центром О и тем же радиусом ВХ, что и при выполнении операции 1, проводим окружность. При пересечении окружности с лучом ОK отложился отрезок ОN, равный ВХ. Третья вершина F треугольника ОNF, равного треугольнику XBY, лежит на пересечении уже проведенной окружности с той окружностью, центр которой находится в точке N, а радиус равен расстоянию XY.

Задача на построение биссектрисы угла.

1. Анализ. Предполагаем, что задача решена: АС – биссектриса угла МАK (рис. 23):

Началом биссектрисы угла является вершина данного угла. Если удастся построить еще одну точку биссектрисы, задача будет решена.

Из определения биссектрисы угла следует, что РMAC = РKАС . Заметим, что равные углы могут стать углами равных треугольников, у которых AC – общая сторона. Для этого достаточно отложить на сторонах данного угла равные отрезки АР и АН (рис. 24):

Можно построить точки Р и Н, а затем, поскольку СН = СР, построить точку С.

2. Построение. 1) Отложим на сторонах угла произвольные равные между собой отрезки АР и АН. Для этого проведем окружность с центром в вершине угла А и обозначим через Р и Н точки пересечения окружности со сторонами угла.

2) Одним и тем же произвольным радиусом проведем дуги окружностей с центрами в точках Р и Н, пересекающиеся внутри угла (радиус должен быть больше АР).

3) Через точку пересечения дуг С проведем луч АС.

Деление отрезка пополам.

1. Анализ. Предполагаем, что задача решена: О – середина АС (рис. 25):

Заметим, что если АС – сторона треугольника АВС, то ВО – медиана этого треугольника. Заметим также, что вершины всех равнобедренных треугольников с основанием АС лежат на одной прямой: медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является в то же время его высотой; через точку О можно провести единственный перпендикуляр к АС. Следовательно, если удастся построить вершины В и K двух равнобедренных треугольников с общим основанием АС, то прямая ВK пройдет через середину АС.

Построить точку В и K легко: она находится на пересечении окружностей одного радиуса с центрами в точках А и С. Каждая пара таких окружностей пересекается в двух точках. Можно считать, что это и есть точки В и K.

2. Построение.

1) Проведем окружность с центром в точке А, радиус которой больше половины длины отрезка АС.
2) Проведем окружность того же радиуса с центром в точке С.
3) Точки пересечения окружностей обозначим В и K.
4) Точку пересечения АС и ВK обозначим О.

Построение прямой, перпендикулярной а, которая проходит через точку О на прямой а

1. Анализ. Предполагаем, что задача решена: ОС ^ а (рис. 26):

Заметим, что легко построить равнобедренный треугольник, у которого СО – медиана. Для этого достаточно отложить на прямой а равные отрезки ОВ и ОK, а затем соединить какую угодно точку перпендикуляра, кроме точки О, с концами отрезка ВK.

2. Построение.

1) Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Точки пересечения окружности с прямой а обозначим В и K.
2) Проведем окружность с центром в точке В, радиус которой больше половины длины отрезка ВK.
3) Проведем окружность того же радиуса с центром в точке K.
4) Одну их точек пересечения окружностей обозначим С.
5) Проведем прямую ОС.

Построение прямой, перпендикулярной а, которая проходит через точку О вне прямой а.

1. Анализ. Предполагаем, что задача решена: ОС ^ а (рис. 27):

Легко построить равнобедренный треугольник АОВ, в котором ОМ является высотой, и поэтому медианой и биссектрисой. Для этого достаточно провести окружность с центром в точке О и обозначить точки пересечения с прямой а буквами А и В (рис. 28).

Остается найти еще одну точку перпендикуляра, который проходит через середину М отрезка АВ. Для этого достаточно построить еще один равнобедренный треугольник с основанием АВ.

2. Построение.

1) Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Точки пересечения окружности с прямой а обозначим А и В.
2) Проведем окружность с центром в точке А, радиус которой больше половины длины отрезка АВ. (Радиус этой окружности может быть таким же, как радиус первой окружности с с центром в точке О.)
3) Проведем окружность того же радиуса с центром в точке В.
4) Одну их точек пересечения окружностей обозначим С.
5) Проведем прямую ОС.