Лекция 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Формула Муавра и корни из единицы

Правило умножения двух комплексных чисел позволяет получить замечательное соотношение, открытое английским математиком А. де-Муавром (1667–1754).

Найдем квадрат комплексного числа z = r(cos j + i sin j), т.е. результат произведения этого числа на само себя:

z² = z•z = r(cos j + i sin j)•r(cos j + i sin j).

По правилу умножения двух комплексных чисел имеем: z² = r²(cos j + i sin j)² = r²(cos 2j + i sin 2j).

Повторяя n раз операцию возведения в степень числа z, мы получим формулу n-ой степени числа z:

zⁿ = rⁿ(cos nj + i sin nj),

где n – натуральное число.

Методом математической индукции можно доказать эту формулу. Она представляет собой обобщение формулы, открытой Муавром. Муавр открыл ее для случая, когда модуль комплексного числа z равен 1. Формула Муавра имеет вид:

(cos j + i sin j)ⁿ = cos nj + i sin nj,

где n О N.

С помощью формулы Муавра можно вывести многие полезные соотношения, в частности, между тригонометрическими выражениями.

Формула Муавра позволяет найти значения корней любой (n-й) степени в поле комплексных чисел. Под корнем n-й степени из числа z понимают такое число a, n-я степень которого равна z: aⁿ = z. Ограничимся рассмотрением вопроса об извлечении корня n-ой степени из 1 в поле комплексных чисел. Другими словами, будем рассматривать вопрос о решении уравнения zⁿ = 1, где n О N в поле комплексных чисел. Например, корень квадратный из числа 1 имеет два значения: 1 и – 1. Действительно, 1² = 1 и (– 1)² = 1. Корень четвертой степени из числа 1 в поле комплексных чисел имеет четыре значения: два действительных, 1 и – 1, и два мнимых, i и – i. Этот факт можно установить проверкой: 1⁴ = 1 и (– 1)⁴ = 1; i⁴ = 1 и (– i)⁴ = 1.

Эти два примера наводят на предположение о том, что корень кубический из 1 в поле комплексных чисел должен иметь 3 значения; корень пятой степени из 1 должен иметь пять значений и т.д. Корень n-й степени из числа 1 в поле комплексных чисел должен иметь n значений.

Это предположение оказывается верным. Воспользовавшись формулой Муавра, можно доказать, что уравнение zⁿ = 1 в поле комплексных чисел имеет ровно n решений, т. е. корень n-й степени из числа z в поле комплексных чисел имеет ровно n значений. Эти значения корня изображаются вершинами правильного n-угольника, вписанного в единичную окружность, причем точка (0; 1) является одной из вершин этого многоугольника.

Итак, первый корень уравнения zⁿ = 1 изображается вершиной вписанного n-угольника, т. е.

Второй корень изображается следующей вершиной вписанного n-угольника т. е.

Аналогично могут быть найдены другие корни:

и т.д.

Наконец, последний n-й корень будет как раз изображаться точкой (0; 1):

На рисунке 11 изображены корни уравнения z³ = 1, т.е. значения кубического корня из 1 в поле комплексных чисел. Эти значения получены следующим образом:

На рисунке 12 изображены корни уравнения z⁴ =1, т.е. значения корня четвертой степени из 1 в поле комплексных чисел. Эти значения получены следующим образом:

         Рис. 12

На рисунке 13 изображены корни уравнения z6 =1, т. е. значения корня шестой степени из 1 в поле комплексных чисел. Эти значения получены следующим образом:

На рисунке 14 изображены корни уравнения z¹² = 1, т.е. значения корня двенадцатой степени из 1 в поле комплексных чисел (вычисления этих значений не приводим).

Основная теорема алгебры

Изученные сведения о комплексных числах позволяют рассмотреть вопрос о решении алгебраических уравнений в поле комплексных чисел. Напомним, что алгебраическим уравнением называют уравнение вида:

a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + a_n–2x^n–2 + ... + a₁x + a₀ = 0.

Левая часть его представляет собой некоторый многочлен f(x), где x – неизвестное, an, a_n–1, a_n–2, ... a₁, a₀ – коэффициенты (действительные или комплексные числа), n – натуральное число. Если a_n № 0, то мы имеем дело с уравнением n-ой степени, т.е. степень уравнения совпадает с высшей степенью неизвестного.

Корнем (или решением) уравнения f(x) = 0 называется такое число t, при подстановке которого вместо неизвестного в данное уравнение мы получаем верное числовое равенство: f(x) = 0.

Нам известно, что каждое уравнение первой степени ax + b = 0 (a № 0) имеет решение Нам также известно, что каждое квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет два решения:

где D = b² – 4ac – дискриминант квадратного уравнения. Правда, если D = 0, то эти решения совпадают.

Выше было установлено, что уравнение вида xⁿ – 1 = 0 также имеет решения, более того, таких решений ровно столько, какова степень этого уравнения.

В связи с этим можно поставить вопросы: всякое ли алгебраическое уравнение имеет решение в поле комплексных чисел? Ответ на этот вопрос имеет длительную и богатую историю (смотри ниже историческую справку).

В 1799 г. тогда еще молодому немецкому математику Гауссу удалось доказать важную теорему о том, что решения алгебраических уравнений 5-й и более высоких степеней существуют. В теореме Гаусса утверждается, что всякое алгебраическое уравнение с действительными и даже комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень.

Приведенная выше теорема Гаусса позволила завершить изучение принципиально важного вопроса о разрешимости алгебраических уравнений и доказать основную теорему алгебры, смысл которой состоит в том, что всякий многочлен n-й степени (см. левую часть уравнения) может быть разложен на n линейных множителей, откуда непосредственно следует, что всякое алгебраическое уравнение n-й степени имеет, вообще говоря, n корней.

Доказательство этой теоремы (способов такого доказательства существует несколько) выходит за рамки данного курса. Отметим лишь, что почти все они базируются на геометрической интерпретации комплексных величин на плоскости.

Поясним смысл этой теоремы на отдельных примерах. Рассмотрим уравнение x⁴ – 4 = 0. Левая часть этого уравнения – многочлен f(x)=x⁴ – 1. Основная теорема алгебры утверждает, что этот многочлен может быть разложен на 4 линейных множителя, именно

f(x) = (x + 1)(x – 1)(x + i)(x – i).

Подставим полученное разложение в данное уравнение: (x + 1)(x – 1)(x + i)(x – i) = 0. Теперь, приравнивая к нулю каждый из сомножителей, получим четыре корня данного уравнения:

x + 1 = 0, x₁ = – 1;
x – 1 = 0, x₂ = 1;
x + i = 0, x₃ = – i;
x – i = 0, x₄ = i.

Таким образом, данное уравнение имеет четыре корня, ровно столько, какова его степень.

Рассмотрим еще один пример. Рассмотрим квадратное уравнение x² – 4x + 4 = 0. Левая часть этого уравнения – многочлен
f(x) = x² – 4x + 4, согласно основной теоремы алгебры разлагается на два линейных множителя f(x) = (x – 2)(x – 2). Эти множители одинаковы, поэтому данное уравнение имеет равные корни x₁ = x₂ = 2 или только один корень x = 2, рассматриваемый дважды; математики говорят: корень «кратности 2». И в этом случае число корней алгебраического уравнения совпадает, вообще говоря, с его степенью.

Заметим еще, что введение комплексных чисел позволило в алгебре установить основную теорему в общей форме, не допускающей никаких исключений. Если бы мы ограничивались лишь действительными числами, мы бы могли утверждать только то, что алгебраическое уравнение n-й степени имеет либо n корней, либо меньше, либо не имеет их вовсе.

Историческая справка

Комплексные числа, как впрочем и отрицательные, возникли из внутренней потребности самой математики, конкретнее – из практики и теории решения алгебраических уравнений. С комплексными числами впервые математики встретились при решении квадратных уравнений. Вплоть до ХVI века математики всего мира, не находя приемлемого толкования для комплексных корней, возникавших при решении квадратных уравнений, объявляли их ложными и не принимали во внимание.

История решения квадратных уравнений берет свое начало еще из Древнего Вавилона. Вавилоняне умели решать отдельные виды квадратных уравнений 2000 лет до н.э., правда, они находили только положительные корни и не владели общими методами решений. Индус Брахмагупта (VII в.) изложил общее правило решения квадратного уравнения. Аль-Хорезми (IX в.) дал классификацию линейных и квадратных уравнений и привел способы их решений, правда, и он (как, впрочем, и все математики вплоть до XVII века) не принимал во внимание нулевые и отрицательные решения. Вывод формул решения квадратных уравнений в общем виде привел Виет (XVI в.). Однако и он признавал только положительные решения. Только в ХVI веке итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли учитывают, помимо положительных, отрицательные решения квадратных уравнений. Лишь в XVII веке, благодаря работам Жирара, Декарта, Ньютона и других математиков, решение квадратных уравнений приобретает современный вид.

Разрешимость уравнений 3-й и 4-й степеней была установлена названными выше итальянскими математиками Тарталья, Кардано и др., причем было установлено, что корни уравнений 3-й и 4-й степеней могут быть найдены с помощью формул, подобных формулам корней квадратных уравнений, но более сложных. Настойчивые поиски в течение почти двух столетий подобных формул для уравнений 5-й и более высоких степеней не увенчались успехом. Только в 20-х годах ХIX века молодой норвежский математик Нильс Абель доказал, что иррациональные корни алгебраических уравнений степени выше 4-й не могут быть выражены в виде формул, содержащих только пять операций – четырех арифметических и извлечения корней.

Кардано, занимавшийся решением уравнений 3-й и 4-й степеней (о чем речь шла выше), был одним из первых математиков, формально оперировавших комплексными числами, хотя их смысл во многом оставался для него неясным. Смысл комплексных чисел разъяснил другой итальянский математик Р.Бомбелли. В своей книге «Алгебра» (1572 г.) он впервые изложил правила действий над комплексными числами в современной форме. Большое внимание комплексным числам уделял А.Жирар, автор замечательного произведения «Новое изобретение в алгебре» (1629 г.). Именно А.Жирар впервые сформулировал основную теорему алгебры, впоследствии доказанную Гауссом. Вместе с тем, вплоть до XVIII века, комплексные числа считали «воображаемыми» и бесполезными. Интересно отметить, что даже такой выдающийся математик как Декарт, отождествлявший действительные числа с отрезками числовой прямой, считал, что для комплексных чисел не может быть никакого реального истолкования, и они навечно останутся воображаемыми, мнимыми. Аналогичных взглядов придерживались великие Ньютон и Лейбниц.

Лишь в XVIII веке многие задачи математического анализа, геометрии, механики требовали широкого применения операций над комплексными числами, что создало условия для разработки их геометрического истолкования.

Выдающаяся роль в развитии теории комплексных чисел, разработке методов их применения в различных областях математики принадлежит ряду известных математиков. В прикладных работах Даламбера и Эйлера в середине XVIII века авторы представляют произвольные мнимые величины в виде a + bi, что позволяет изображать такие величины точками координатной плоскости. Именно эта интерпретация была использована Гауссом в работе, посвященной исследованию решений алгебраического уравнения. Позднее, в начале ХIХ века в работах К.Весселя и Ж.Аргана содержится полное геометрическое построение комплексных чисел. В частности, Весселем комплексные числа рассматривались как векторы. Благодаря Коши в математике активно стали использоваться такие понятия, как модуль комплексного числа, сопряженные комплексные числа.

И только в начале XIX века, когда уже была выяснена роль комплексных чисел в различных областях математики, была разработана очень простая и естественная их геометрическая интерпретация, позволившая уяснить геометрический смысл операций над комплексными числами. Этому математика обязана Гауссу, опубликовавшему в 1831 г. свою работу по теории чисел. Тем самым был положен конец сомнениям в законном и полезном применении комплексного числа.

Вопросы для коллективного обсуждения

1. Какие причины вызвали необходимость расширения множества действительных чисел до множества комплексных чисел?

2. В чем состоит общий принцип расширения числовых множеств?

3. Определите комплексное число. Приведите классификацию комплексных чисел.

4. Приведите определения операций сложения и умножения комплексных чисел. Основываясь на этих определениях, покажите справедливость для комплексных чисел коммутативного, ассоциативного и дистрибутивного законов.

5. Какие комплексные числа называют сопряженными? Чему равно произведение комплексных чисел?

6. Покажите на примере как выполняется деление комплексных чисел.

7. Докажите, что:

а) iⁿ = 1, если n делится на 4;
б) iⁿ = i, если при делении n на 4 в остатке получаем 1;
в) iⁿ = – 1, если при делении n на 4 в остатке получаем 2;
г) iⁿ = – i, если при делении n на 4 в остатке получаем 3.

8. Докажите, что квадратное уравнение с действительными коэффициентами может иметь комплексный корень, причем если такой существует, то и сопряженное комплексное число также корень этого уравнения.

9. Расскажите о геометрической интерпретации комплексных чисел точками координатной плоскости.

10. Расскажите о геометрической интерпретации комплексных чисел с помощью векторов.

11. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа.

12. Расскажите о тригонометрической форме комплексного числа. Как записать в тригонометрической форме комплексное число, заданное в алгебраической форме. Запишите в тригонометрической форме комплексные числа:

а) i; б) – i; в) 1 + i; г) – 1 – i.

13. Покажите, что умножение комплексных чисел связано с поворотом (вращением).

14. Приведите формулу Муавра и проиллюстрируйте ее применение к нахождению корней из единицы. Найдите корни 3-й степени из единицы и проиллюстрируйте их геометрически.

15. Покажите, что квадратный корень из любого комплексного числа существует и имеет два значения.

16. Приведите определение алгебраического уравнения n-й степени и его решения. Сформулируйте основную теорему алгебры.

Упражнения для самостоятельного решения

1. Восполните операции:

а) (3 – 2i) + (4 + 5i); б) (4 – i) – (2 + 3i);

в) .

2. Докажите, что xy = yx, для любых комплексных x и y.

3. Докажите, что сумма и произведение двух комплексных сопряженных чисел есть числа действительные.

4. Докажите, что числа – 1 + 3i и – 1 – 3i являются корнями квадратного уравнения x² + 2x + 10.

5. Представьте в тригонометрической форме числа:

а) 1 – i; б) – 1 – i; в) – 1 + i; г) 1 + i.

6. Найдите корни 6-й степени из единицы и проиллюстрируйте их геометрически.

7. Найдите результат возведения комплексного числа в степень: (1 + i)¹¹.

8. Докажите, что комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда модуль его равен нулю.

9. Докажите, что | xy | = | x |•| y |, где x и y – произвольные комплексные числа.

10. В каких случаях имеет место равенство | x + y | = = | x | + | y |, где x и y – комплексные числа?

Темы для рефератов

1. История происхождения и развития понятия комплексного числа.
Литература. Г.И.Глейзер. История математики в средней школе. – М.: Просвещение, 1970.

2. Задание геометрических преобразований комплексными числами. Литература (см. п. 3).

3. Комплексные числа и конформные отображения.
Литература. А.И.Маркушевич. Комплексные числа и конформные отображения. – М.: Физматгиз.1960.

4. Развитие понятия числа. Литература. Г. Фройденталь. «Математика как педагогическая задача», ч. 2. – М.: Просвещение, 1982.

5. Кватернионы. Литература: Энциклопедия элементарной математики. Т.1. – М: 1951
Ф. Клейн. Элементарная математика с точки зрения высшей, т. 1. – М.: Наука, 1987.