Решение задач с параметрами

Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.

Аналитическое решение уравнений с двумя параметрами мало чем отличается от аналогичной деятельности по решению уравнений с одним параметром, оно требует тех же логических рассуждений. Как показала практика, у учащихся трудности возникают на этапе систематизации полученных результатов, в том числе и при записи ответов. С целью ее преодоления мы использовали прием получения результата с одновременным изображением его на координатной плоскости. Рассмотрим суть данного приема на конкретных задачах.

Задача 1. При каждом значении a и b решите уравнение

Решение. Каждой паре чисел (a; b) соответствует вполне определенное частное уравнение. Упорядоченную пару чисел (a; b) мы будем интерпретировать как точку на координатной плоскости с осями a и b. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и всеми частными уравнениями, определяемыми парой (a; b). Следовательно, получили аналог развертки по параметру – плоскость параметров, позволяющую наглядно представить множество значений параметров и соответствующие им решения уравнения.

При b = д a правая часть уравнения (1) не имеет смысла, следовательно, уравнение не имеет решений. Отметим на плоскости параметров те ее точки, координаты (a; b) которых не являются допустимыми значениями параметров данного уравнения. То есть всем точкам прямых b = д a соответствуют частные уравнения, не имеющие решений (рис. 1). Примечание: в скобках будем указывать решения, соответствующие данным точкам плоскости.

При условии x ­ 0 и b ­ д a исходное уравнение (1) равносильно уравнению

2b(a² – b²) = 2bx.   (2)

1. Если b = 0, a – любое число, отличное от нуля, то всем точкам прямой b = 0 (a ­ 0) соответствуют частные уравнения вида 0жx = 0, решениями которых являются все действительные числа, отличные от нуля (рис. 2).

2. Если b ­ 0 и a ­ д b, то x = a² – b². Таким образом, если точка с координатами (a; b) не лежит на прямых b = д a и b = 0, то частные решения уравнения (1) вычисляются по формуле x = a² – b².

При записи ответа результаты исследования считываются с плоскости параметров.

Ответ. 1. | a | = | b |, решений нет. 

2. b = 0, a ­ 0, x Э R \ {0};

3. | a | ­ | b | и b ­ 0, x = a² – b².

Задача 2. При каждом значении m и n решите уравнение

Решение. Найдем области допустимых значений переменной и области допустимых значений параметров: x ­ 1, n ­ 0, m ­ 2. Отметим последние на плоскости параметров (рис. 3).

При найденных ограничениях на переменную и параметры уравнение (3) равносильно уравнению

(m – 2 – 3n)x = 3n – 2.           (4)

1. Если m = 2 + 3n (n ­ 0), т. е. всем точкам прямой m = 2 + 3n, за исключением точки (0; 2), соответствуют частные уравнения вида (рис. 4)

0жx = 3n – 2.            (5)

Тогда

а) при 3n – 2, т. е. имеем уравнение 0жx = 0, решениями которого являются все действительные числа x (x ­ 1) из области определения уравнения (рис. 5).

б) при 3n – 2 ­ 0, m ­ 4 уравнение (5) решений не имеет.

2. Если m ­ 2 + 3n, то решения уравнения (4) находятся по формуле

Отметим полученные результаты на плоскости параметров: всем точкам плоскости, не лежащим на прямых m = 2, n = 0, m = 3n + 2, соответствуют решения уравнения, вычисляемые по формуле (6) (рис. 6).

Но среди найденных решений уравнения при некотором наборе значений (n; m) могут находиться x, не входящие в область определения уравнения. Исключим их:, откуда m = 6n. Следовательно, если точка плоскости лежит на прямой , то уравнение (3) решений не имеет (рис. 7).

Ответ. 1.  и m = 4, x Э R \ {1}.

2. n = 0, или или или m = 2, решений нет.

3. 

Задача 3. При каждом значении a и b решите уравнение

Решение. Очевидно, что при b = 0 или a = 0 уравнение не имеет смысла и, следовательно, не имеет решений. Кроме того, x ­ 2. Нанесем установленные ограничения на плоскость параметров (рис. 8).

Пусть b ­ 0, a ­ 0, x ­ 2. В этом случае уравнение (7) равносильно уравнению

(b – a)x² – 2(b + a)x + b – a = 0.           (8)

1. Воспользуемся приемом понижения степени: a = b. Тогда уравнение (8) примет вид
4bx = 0 (b ­ 0), откуда x = 0. Получили, что точкам прямой b = a (b ­ 0) соответствует решение x = 0 (рис. 9).

2. Пусть a ­ b, тогда где ab > 0 (заштрихованная область); при ab < 0 решений нет (рис. 10).

3. Среди найденных наборов a и b исключим посторонние, то есть те, при которых x = 2 (кроме b = 0, a = 0, b = a).
Из (8) при x = 2 ^ (b – a)ж4 – 2(b + a)ж2 + b – a, отсюда b = 9a.

Следовательно, если b = 9a, то

Получили, что всем точкам, лежащим на прямой b = 9a, соответствует частное решение уравнения (7) а всем остальным точкам плоскости (не лежащим на прямых

Ответ. 1. Если ab m 0, то решений нет.

2. Если ab > 0, то: а) при b = a, x = 0;

б) при b = 9a, x = 0,5; в) при

Задача 4. При каждом значении a и b решите уравнение

Решение. Исходное уравнение с областью допустимых значений переменной x, определяемой неравенствами x ­ 0, x ­ – a, равносильно уравнению

ax² + (1 – b)x + a = 0.                           (10)

1. Воспользуемся приемом понижения степени, то есть рассмотрим случай когда a = 0 (b – любое число), тогда (1 – b)x = 0.

а) Если b = 1, то x – любое число из области допустимых значений переменной, т. е. x ­ 0 (рис. 12).

б) Если b ­ 1, то решений нет (рис. 13).

2. Если a ­ 0, то уравнение (10) имеет решения при условии

D = (1 – b)² – 4a² l 0, т. е. (b – 2a – 1)(b + 2a – 1) l 0

(при (b – 2a – 1)(b + 2a – 1) < 0 решений нет). Нанесем полученные ограничения на плоскость параметров (рис. 14).

Корни уравнения, соответствующего заштрихованной области, определяются по формуле

Исключим из этой области наборы (a; b), задающие посторонние корни x = 0; x = – a.

Чтобы избежать решения иррациональных уравнений, воспользуемся приемом нахождения значений параметров по значению посторонних корней. Обозначим f(x) = ax² + (1 – b)x + a.

Тогда, если x = 0, x = – a – корни f(x), то f(0) = 0 и

Случай a = 0 рассмотрен в п. 1. Из второго уравнения имеем b = – a², при этом – посторонний корень. Таким образом, всем точкам параболы b = – a² соответствует единственное решение

Ответ. 1. a = 0, b = 1, x Э R \ {0}.

2. a = 0, b ­ 1, решений нет.

3. 

4. (b – 2a – 1)(b + 2a – 1) l 0 (a ­ 0, b ­ – a²),

5. (b – 2a – 1)(b + 2a – 1) < 0 (a ­ 0), решений нет.

Сочетание аналитического способа решения с графической интерпретацией полученных результатов позволяет сделать процесс решения уравнений с параметрами более осознанным, способствуя при этом формированию элементов исследовательской деятельности.