Уравнение касательной к графику функции

На современном этапе развития образования в качестве одной из основных его задач выступает формирование творчески мыслящей личности. Способность же к творчеству у учащихся может быть развита лишь при условии систематического привлечения их к основам исследовательской деятельности. Фундаментом для применения учащимися своих творческих сил, способностей и дарований являются сформированные полноценные знания и умения. В связи с этим проблема формирования системы базовых знаний и умений по каждой теме школьного курса математики имеет немаловажное значение. При этом полноценные умения должны являться дидактической целью не отдельных задач, а тщательно продуманной их системы. В самом широком смысле под системой понимается совокупность взаимосвязанных взаимодействующих элементов, обладающая целостностью и устойчивой структурой.

Рассмотрим методику обучения учащихся составлению уравнения касательной к графику функции. По существу, все задачи на отыскание уравнения касательной сводятся к необходимости отбора из множества (пучка, семейства) прямых тех из них, которые удовлетворяют определенному требованию – являются касательными к графику некоторой функции. При этом множество прямых, из которого осуществляется отбор, может быть задано двумя способами:

а) точкой, лежащей на плоскости xOy (центральный пучок прямых);
б) угловым коэффициентом (параллельный пучок прямых).

В связи с этим при изучении темы «Касательная к графику функции» с целью вычленения элементов системы нами были выделены два типа задач:

1) задачи на касательную, заданную точкой, через которую она проходит;
2) задачи на касательную, заданную ее угловым коэффициентом.

Обучение решению задач на касательную осуществлялось при помощи алгоритма, предложенного А.Г. Мордковичем [2]. Его принципиальное отличие от уже известных заключается в том, что абсцисса точки касания обозначается буквой a (вместо x0), в связи с чем уравнение касательной приобретает вид

y = f(a) + f '(a)(x – a)

(сравните с y = f(x₀) + f '(x₀)(x – x₀)). Этот методический прием, на наш взгляд, позволяет учащимся быстрее и легче осознать, где в общем уравнении касательной записаны координаты текущей точки, а где – точки касания.

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)

1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания.
2. Найти f(a).
3. Найти f '(x) и f '(a).
4. Подставить найденные числа a, f(a), f '(a) в общее уравнение касательной y = f(a) = f '(a)(x – a).

Этот алгоритм может быть составлен на основе самостоятельного выделения учащимися операций и последовательности их выполнения.

Практика показала, что последовательное решение каждой из ключевых задач при помощи алгоритма позволяет формировать умения написания уравнения касательной к графику функции поэтапно, а шаги алгоритма служат опорными пунктами действий. Данный подход соответствует теории поэтапного формирования умственных действий, разработанной П.Я. Гальпериным и Н.Ф. Талызиной [3].

В первом типе задач были выделены две ключевые задачи:

• касательная проходит через точку, лежащую на кривой (задача 1);
• касательная проходит через точку, не лежащую на кривой (задача 2).

Задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как

1. a = 3 – абсцисса точки касания.
2. f(3) = – 2.
3. f '(x) = x² – 4, f '(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.

Задача 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x² – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) ­ 6 (рис. 2).

1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = – a² – 4a + 2.
3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4.
4. y = – a² – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – a² – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a² + 6a + 8 = 0 ^ a₁ = – 4, a₂ = – 2.

Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Во втором типе ключевыми задачами будут следующие:

• касательная параллельна некоторой прямой (задача 3);
• касательная проходит под некоторым углом к данной прямой (задача 4).

Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x³ – 3x² + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.

Решение.

1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = a³ – 3a² + 3.
3. f '(x) = 3x² – 6x, f '(a) = 3a² – 6a.

Но, с другой стороны, f '(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a² – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f '(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – уравнение касательной;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f '(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – уравнение касательной.

Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x² – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).

Решение. Из условия f '(a) = tg 45° найдем a:  a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – абсцисса точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f '(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – уравнение касательной.

Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим в качестве примера следующие две задачи.

1. Напишите уравнения касательных к параболе y = 2x² – 5x – 2, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5).

Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1.

1. a = 3 – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла.
2. f(3) = 1.
3. f '(x) = 4x – 5, f '(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой касательной.

Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем

Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен .

Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3.

Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда

1.  – абсцисса второй точки касания.
2. 
3. 
4. 
– уравнение второй касательной.

Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых k₁•k₂ = – 1.

2. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций

Решение. Задача сводится к отысканию абсцисс точек касания общих касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в общем виде, составлению системы уравнений и последующему ее решению (рис. 6).

1. Пусть a – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции y = x² + x + 1.
2. f(a) = a² + a + 1.
3. f '(a) = 2a + 1.
4. y = a² + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a².

1. Пусть c – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции  
2.
3. f '(c) = c.
4. 

Так как касательные общие, то

Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3 – общие касательные.

Основная цель рассмотренных задач – подготовить учащихся к самостоятельному распознаванию типа ключевой задачи при решении более сложных задач, требующих определенных исследовательских умений (умения анализировать, сравнивать, обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу таких задач можно отнести любую задачу, в которую ключевая задача входит как составляющая. Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную задаче 1) на нахождение функции по семейству ее касательных.

3. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику функции y = x² + bx + c?

Решение.

Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x² + bx + c; p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x² + bx + c. Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t², а уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p².

Составим и решим систему уравнений

Ответ:

 Задачи для самостоятельного решения

1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x² – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3.

Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x² – ax в точке графика с абсциссой x₀ = 1, проходит через точку M(2; 3)?

Ответ: a = 0,5.

3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x² – 4x – 2?

Ответ: p₁ = – 10, p₂ = 2.

4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x³ и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16).

Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Найдите кратчайшее расстояние между параболой y = x² + 6x + 10 и прямой

Ответ:

6. На кривой y = x² – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0.

Ответ: M(2; 3).

7. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x² + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж.

Ответ: y = 2x – 4.

8. Докажите, что прямая y = 2x – 1 не пересекает кривую y = x⁴ + 3x² + 2x. Найдите расстояние между их ближайшими точками.

Ответ:

9. На параболе y = x² взяты две точки с абсциссами x₁ = 1, x₂ = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной.

Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.

10. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x³ – 4x² + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.

Ответ: q = 45°.

11. В каких точках касательная к графику функции образует с осью Ox угол в 135°?

Ответ: A(0; – 1), B(4; 3).

12. В точке A(1; 8) к кривой проведена касательная. Найдите длину отрезка касательной, заключенного между осями координат.

Ответ:

13. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x² – x + 1 и y = 2x² – x + 0,5.

Ответ: y = – 3x и y = x.

14. Найдите расстояние между касательными к графику функции параллельными оси абсцисс.

Ответ:

15. Определите, под какими углами парабола y = x² + 2x – 8 пересекает ось абсцисс.

Ответ: q₁ = arctg 6, q₂ = arctg (– 6).

16. На графике функции найдите все точки, касательная в каждой из которых к этому графику пересекает положительные полуоси координат, отсекая от них равные отрезки.

Ответ: A(– 3; 11).

17. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x² – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N.

Ответ: K(1; – 9).

18. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x³ – 3x + 15?

Ответ: – 1; 31.

19. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x² + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки.

Ответ: k₁ = – 5, A(– 2; 0); k₂ = 11, B(2; 12).

20. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx³ – 2x² – 4 в точке с абсциссой x₀ = 2, проходит через точку M(1; 8)?

Ответ: b = – 3.

21. Парабола с вершиной на оси Ox касается прямой, проходящей через точки A(1; 2) и B(2; 4), в точке B. Найдите уравнение параболы.

Ответ:

22. При каком значении коэффициента k парабола y = x² + kx + 1 касается оси Ox?

Ответ: k = д 2.

23. Найдите углы между прямой y = x + 2 и кривой y = 2x² + 4x – 3.

Ответ:

24. Определите, под какими углами пересекаются графики функций y = 2x² + 3x – 3 и y = x² + 2x + 3.

Ответ:

25. При каком значении k угол между кривыми y = x² + 2x + k и y = x² + 4x + 4 будет равен 45°?

Ответ: k = – 3.

26. Найдите все значения x0, при каждом из которых касательные к графикам функции y = 5cos 3x + 2 и y = 3cos 5x в точках в абсциссой x₀ параллельны.

Ответ:

27. Под каким углом видна окружность x² + y² = 16 из точки (8; 0)?

Ответ:

28. Найдите геометрическое место точек, из которых парабола y = x² видна под прямым углом?

Ответ: прямая

29. Найдите расстояние между касательными к графику функции образующими с положительным направлением оси Ox угол 45°.

Ответ:

30. Найдите геометрическое место вершин всех парабол вида y = x² + ax + b, касающихся прямой y = 4x – 1.

Ответ: прямая y = 4x + 3.

Литература

1. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа: 3600 задач для школьников и поступающих в вузы. – М., Дрофа, 1999.
2. Мордкович А. Семинар четвертый для молодых учителей. Тема «Приложения производной». – М., «Математика», № 21/94.
3. Формирование знаний и умений на основе теории поэтапного усвоения умственных действий. / Под ред. П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной. – М., МГУ, 1968.