Е. Петрова,г. Саратов

Дифференцированное обучение

9 класс

II. Решение треугольников

 

1. Даны длины сторон треугольника. Вычислите его медианы.

[20, § 12, №№ 10, 24; § 7, п. 40, № 21, с. 194]

Ответ. Если длины сторон треугольника обозначить a, b и c, то

2. Даны длины сторон треугольника: 5 м, 6 м, 7 м. Найдите его биссектрисы.

[20, § 12, № 10, с. 198]

Дано: D ABC; AB = 5, BC = 6, AC = 7. BK – биссектриса угла B (рис. 9).

Найти BK.

Указания к решению. 1) Из D ABC по теореме косинусов найдем cos FBAK.

2)

3) Согласно свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника, имеем:

AK : KC = AB : BC = 5 : 6;

4) Из D ABK по теореме косинусов находим BK:

BK² = AB² + AK² – 2ABжAKcos FA.

3. Докажите, что длина биссектрисы треугольника не меньше длины высоты и не больше длины медианы, проведенных в треугольнике из этой же вершины.

[20, § 12, № 25]

Дано: D ABC; CHBAB, CD – медиана треугольника ABC, CK – биссектриса FACB (рис. 10).

Если в частном случае D ABC – равнобедренный, то CK = CH = CD. Если DABC – разносторонний, то CK > CH, так как CK – наклонная, а CH – перпендикуляр к AB.

Остается доказать утверждение о биссектрисе. Сначала докажем, что если AC < BC, то FACD>FBCD.

По теореме косинусов:

AD² = AC² + CD² – 2ACжCDcosFACD (из DACD);

DB² = BC² + CD² – 2BCжCDcosFBCD (из DDBC).

Так как AD = DB, то левые части этих равенств равны, значит, равны и правые части. Но так как AC < BC, то

AC – 2CDcosFACD > BC – 2CDcosFBCD;

cos FACD < cosFBCD; FACD >FDCB. (*)

Так как CK – биссектриса, то FACK =FBCK. Тогда согласно (*) CK лежит между CH и CD, т. е. CK < CD.

4. В треугольнике ABC BM – медиана, FABM = a, FMBC = b. Найдите AB, если BM = m.

[10, № 66.7, с. 78]

5. Докажите, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую этому углу сторону на части, обратно пропорциональные синусам углов треугольника, прилежащих к отрезкам стороны.

[15, девятый класс, № 203, с. 66]

Дано: D ABC, AD – биссектриса его угла BAC (рис. 11).

Решение. По теореме синусов:

Тогда BD : DC = sin C : sin B.

6. Докажите, что в любом треугольнике углы A, B и C связаны соотношением

cos² A = cos² C + sin² B – 2sin A sin B cos C.

[10, № 67.7, с. 79]

III. Многоугольники

1. Найдите стороны правильного пятиугольника и правильного десятиугольника, вписанных в окружность радиуса R.

[20, § 13, № 25]

Решение. Здесь две задачи. Начнем с задачи о десятиугольнике.

Пусть AOB – треугольник, стороны которого AO = OB = R, AB – сторона правильного вписанного десятиугольника (рис. 12).

Проведем BC – биссектрису FABO. Имеем:

DOBC – равнобедренный: BC = OC. В D ABC: FACB = 180° – 72° – 36° = 36°; D ABC – равнобедренный: AB = BC.

Треугольники ABC и AOB подобны по двум равным углам, следовательно,

AB : AO = AC : AB, AB² = AOжAC = R(R – AB),  AB² = RжAB – R² = 0;

Построение отрезка AB, если известен отрезок R, проведено на рис. 13.

Сторону правильного пятиугольника AB, вписанного в окружность, вычисляем по формуле AK² = CKжKM из треугольника AMO (рис. 14), где AM – сторона правильного десятиугольника, вписанного в ту же окружность; AB=2AK.

Ответ:

2. Даны: окружность и ее центр. Как разделить ее на 12 равных частей, используя только циркуль?

[14, 199, с. 49]

Указание к решению. Пусть A, B, C и D – такие точки, что AO = AB = BC = CD = DO, где O – центр данной окружности a (рис. 15).

Дуги окружностей (A; AC) и (D; DB) пересекаются в точке E.

Окружность (A; OE) пересечет a в точках части окружности a.

3. На сторонах квадрата ABCD вне его построены равносторонние треугольники ABH, BCK, CDM, DAT. Верно ли, что середины отрезков AH, BH, HK, CK, KM, CM, DM, MT, TA, TD, TH являются вершинами правильного двенадцатиугольника?

[14, № 205, с. 20]

Указание к решению. EF – средняя линия треугольника HKB, следовательно, где a – сторона квадрата (рис. 16).

FG – средняя линия треугольника BKC, следовательно,

Рассуждая аналогично, устанавливаем равенство сторон двенадцатиугольника EFC...S. Его внутренние углы равны каждый по 150°, следовательно, двенадцатиугольник – правильный.

Ответ: да.

4. На всех сторонах правильного шестиугольника внутри его построены квадраты. Являются ли вершины квадратов, не лежащие на сторонах шестиугольника, вершинами правильного двенадцатиугольника?

[14, № 213, с. 51]

Ответ: да.

5. Диагонали выпуклого пятиугольника делят каждый угол на три равные части. Является ли этот пятиугольник правильным?

[14, 254, с. 53]

Решение. Обозначим углы пятиугольника через 3a, 3b, 3g, 3d, 3j (рис. 17).

Сумма внутренних углов пятиугольника равна 180°(5 – 2) = 540°, тогда a + b + g + d + j = 180°. Далее имеем

2a + 2b + 2g + 2d + 2j = 360°;

2a + 2j + g = 180° (сумма внутренних углов треугольника).

Аналогично: 2b + 2g + j = 180°; g + j = 2d.

Аналогично: a + g = 2b; b + d = 2g; a + d = 2j; b + j = 2a; 3b + a + g = 180°; 5b = 180°; b = 36°.

3a + b + g = 180°; 5a = 180°; a = 36°.

Так как все углы a, b, g, d, j равны между собой, то треугольники ABE, ABC, BCD, CDE, ADE – равнобедренные,
т. е. AB = BC = CD =DE= EA.

Итак, данный пятиугольник – правильный.

Ответ: да.

6. Верно ли, что сторона правильного девятиугольника равна разности его диагоналей – наибольшей или наименьшей?

[14, № 201, с. 49]

Решение. Способ I. Дан правильный девятиугольник: A₁A₂...A₉ (рис. 18); A₂A₄ C A₁A₅.

Проведем A₄K C A₁A₂ (K Э A₁A₅). Имеем: FKA₅A₄ = 60°; FA₄KA₅ = FKA₁A₂ = 60°; DKA₄A₅ – равносторонний. A₁A₅ – A₂A₄ = KA₅ = A₄A₅.

Способ II. Проведем A₂A₇ и A₄A₈ так, чтобы они пересекались в точке T. Имеем: DA₂A₄T и DA₇A₈T – равносторонние. Значит, A₇A₈ = TA₇ = A₂A₇ – A₂T = A₂A₇ – A₂A₄.

Ответ: да.

IV. Площади фигур

1. Разделите данный параллелограмм на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину. [20, § 14, № 16]

Решение. Дан параллелограмм ABCD (рис. 19).
Проводим его диагональ AC; DABC =D ACD, следовательно, они равновелики. Разделим каждый из этих треугольников на три равновеликие части. Для этого их основания BC и CD соответственно нужно разделить на три равные части. Имеем:

Значит,

2. Докажите, что сумма расстояний любой внутренней точки равностороннего треугольника от его сторон равна высоте этого треугольника.

Решение. Дан равносторонний D ABC и произвольная точка M внутри его. Высота этого треугольника BH (рис. 20).

Проведем MA₁ B BC, MB₁ B AC, MC₁ B AB.

Имеем:

где a – сторона данного равностороннего треугольника.

С другой стороны, Тогда

Откуда MA₁ + MB₁ + MC₁ = BH.

3. Докажите, что сумма расстояний любой внутренней точки выпуклого равностороннего многоугольника от всех его сторон (или их продолжений) одна и та же для всех внутренних точек этого многоугольника.

[15, девятый класс, № 151, с. 62]

4. a, b, c, d – длины сторон выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность. Верно ли, что его площадь

где p – полупериметр четырехугольника?

[14, № 235, с. 52]

Решение. Обозначим FA = a, тогда FC = 180° – a как угол, противоположный FA во вписанном четырехугольнике (рис. 21). Имеем

Из  D ABD и D BCD по теореме косинусов получаем:

Тогда

Ответ: верно.

5. Периметр прямоугольника равен p (см). Что больше: площадь этого прямоугольника, или квадрата, имеющего тот же периметр?

[10, № 288, с. 40]

Решение. Пусть x – одна из сторон прямоугольника, тогда другая его сторона

Получилось отрицательное число. Значит, S_кв > S_пр.

Ответ: площадь квадрата больше.

6. Докажите, что среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.

[20, § 14, № 41]

Дано: ABCD – параллелограмм.

Решение. Обозначим его диагонали через d₁ и d₂, O – точка их пересечения (рис. 22).
Если диагонали даны, то площадь параллелограмма зависит от sin FAOD. При AC B BD: sin FAOD = sin 90° = 1. Поэтому, если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то синус угла между ними принимает наибольшее значение, тогда наибольшую площадь из всех параллелограммов имеет ромб.

7. Найдите площадь кругового сегмента с основанием и высотой .

[20, § 14, № 61]

Ответ:

8. Разделите данный круг на три равновеликие части с помощью концентрических окружностей.

Решение. Обозначим радиус меньшей окружности через r₁, средней – через r₂ и большего данного круга через r (рис. 23).

Четко сформулируем заключение задачи: выразить r₁ и r₂ через r, если площади колец и внутреннего круга равны.

Тогда – площадь меньшего круга.

По условию

Площадь кольца, ограниченного окружностями радиусов r и r₂, вычисляется по формуле По условию

следовательно,

Имеем: 

Отрезок строится как один из катетов прямоугольного треугольника, гипотенуза которого 2r и второй катет 3. Затем этот отрезок делится на три равные части.

Отрезок строится как один из катетов прямоугольного треугольника, гипотенуза которого 3r, а второй катет . Затем этот отрезок делится на три равные части.

9. Дан прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой a. На катете, как на диаметре, построена окружность. Найдите площадь той части круга, которая находится внутри треугольника.

[15, девятый класс, № 177, с. 64]

Ответ:

10. Дан полукруг с основанием (диаметром) AB. Точка M находится на полуокружности, ограничивающей этот круг. Построены полукруги с диаметрами AM и BM вне треугольника AMB.

Докажите, что сумма площадей луночек (т. е. частей полукругов, находящихся вне большого полукруга) равна площади треугольника AMB.

[15, девятый класс, № 178, с. 64]

Решение. Обозначим луночки AM и MB соответственно через I и II, сегменты большего полукруга AM и MB соответственно через III и IV (рис. 24). Имеем

следовательно,

Литература

1.  Алгебра. Тематическое планирование учебного материала. Учебник Макарычева Ю.Н. и др. Алгебра, 9. – М., Математика в школе, № 3/97. С. 32.
2.  Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н. и др. / Под ред. С.А. Теляковского. 6-е изд. – М., Просвещение, 1999.
3.  Александрова Л. Первые уроки в 9 классе. – М., Математика (еженедельное приложение к газете «Первое сентября»), № 29/99. С. 12–16.
4. Болтянский В.Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры. – М., ГИТТЛ, 1956 (Популярные лекции по математике).
5. Венгеров В.О. Метод независимых величин. – М., Математика в школе, № 6/97. С. 23.
6. Виленкин Н.Я., Гутер Р.С., Шварцбурд С.И. Алгебра. Учеб. пособие для 9–10 классов средней школы с математической специализацией. – М., Просвещение, 1972.
7. Гайдуков И.И. Абсолютная величина. – М., Просвещение, 1964.
8. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7–8 классы: Пособие для учителей. – М., Просвещение, 1982.
9. Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математики. – Львов, Квантор, 1991.
10. Зив Б.Г., Мейлер В.М., Баханский А.Г. Задачи по геометрии для 7–11 классов. – М., Просвещение, 1991.
11.  Классы с углубленным изучением математики. Тематические планирования и контрольные работы. 8–9 классы / Макарычев Ю.Н. и др. – М., Математика в школе, № 5/97. С. 11.
12.  Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике для учащихся 9 класса. – М., Учпедгиз, 1960.
13.  Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7–9 классов. – М., Просвещение, 1991.
14.  Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике: Кн. для учащихся. – М., Просвещение, 1995.
15.  Лоповок Л.М. Факультативные занятия по геометрии для 7–11 классов: Пособие для учителя. – Киев, Радянська школа, 1990.
16.  Материалы для углубленного изучения математики. 8–9 классы. – М., Математика (еженедельное приложение к газете «Первое сентября»), № 31/97. С. 3–6.
17.  Метелькова Л.М. Планирование и проверочные работы для 7–9 классов КРО. – М., Математика в школе, № 4/98. С. 60.
18.  Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики. – М., Школа-Пресс, 1995.
19.  От Министерства общего и профессионального образования РФ. Обязательный минимум содержания основного общего образования. – М., Математика в школе, № 5/98. С. 13, 14.
20.  Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7–11 кл. сред. шк. 8-е изд. – М., Просвещение, 1998.
21.  Программно-методические материалы: Математика. 5–11 кл. Тематическое планирование /Сост. Г.М. Кузнецова. – М.  Дрофа, 1998.
22. Ткачева М.В. Домашняя математика: Кн. для учащихся 9 кл. общеобразовательных учреждений. – М., Просвещение, 1998.
23.  Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7–9 кл. сред. шк. / Сост. И.Л. Никольская. – М., Просвещение, 1991.
24. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. – М., Просвещение, 1989.
25. Шахно К.У. Сборник конкурсных задач по математике с решениями. – Л., ЛГУ, 1951.