Область определения первообразной

Анализ выпускных работ за курс математики 11-го класса привлек мое внимание к некоторым просчетам в отработке понятия области определения первообразной, вызванных, в первую очередь, неполным или неточным его освещением в действующих учебниках. Надеюсь, что эта статья в какой-то степени окажется полезной учителям математики, привыкшим компенсировать недостатки учебника.

В разделе «Трудные задачи» учебника «Алгебра и начала анализа, 10–11» А.Н. Колмогорова и др. (издание 2000 г.) можно увидеть задачу № 253(а):

Задача 1. «Найдите все функции f такие, что ».

Трудность этой задачи заключается в различии между понятиями функции, имеющей данную производную, и первообразной для данной функции.

Рассмотрим решение задачи № 253(а) подробно.

Начнем с вопроса об области определения функции f. Понятно, что при всех значениях x, при которых существует производная f ' (как обычно, мы рассматриваем естественную область определения функции f '), т. е. при всех x 1, функция f должна быть определена. Однако ничто не мешает ей быть определенной и при x = 1, причем в этой точке функция f может принимать любые значения, лишь бы в этой точке у нее не было производной.

На промежутке x > 1 любая из функций с производной имеет следующий вид

f(x) = ln (x – 1) + C.

По условию задачи должно выполняться равенство – 1 = ln 2 + C, откуда C = – 1 – ln 2. Таким образом, на промежутке x > 1 все искомые функции задаются равенством

f(x) = ln (x – 1) – 1 – ln 2.

На промежутке x < 1 любая из функций с производной имеет следующий вид f(x) = ln (1 – x) + C.

Поскольку никаких дополнительных требований к поведению функции на этом промежутке в задаче нет, то любая из таких функций должна быть указана в ответе.

Таким образом, решение задачи – все функции f, такие, что

где C₁ и C₂ – любые действительные числа.

Понятно, что исключение точки x = 1 из области определения функции f(x) также даст функции, удовлетворяющие требованиям задачи

Таким образом, ответ ln | x – 1 | – ln 2 – 1, приведенный в учебнике, неверен.

Заметим, что совершенно аналогичная задача получается, если заменить, например, выражением . Тогда на промежутках, не содержащих x = 1, функция f задается равенством

Поговорим теперь о первообразной, рассмотрев в качестве примера задачу, похожую на только что рассмотренную.

Задача 2. Найдите такую первообразную F(x) функции

Многие ученики 11-го класса воспринимают эту задачу как переформулировку только что рассмотренной. Однако это не совсем так. Напомним определение первообразной из вышеупомянутого учебника.

Функция F называется первообразной для функции f на данном промежутке, если для всех x из этого промежутка F '(x) = f(x).

Таким образом, во-первых, первообразная должна быть определена на промежутке, во-вторых, на этом промежутке должна быть определена и производная от первообразной. Для функции – это любой промежуток, не содержащий точку x = 1. Рассматривая максимальные промежутки, мы можем сказать, что первообразные F(x) для функции f(x) могут быть определены или на промежутке (1; + Ч), где они задаются формулой F(x) = ln (x – 1) + C,

или на промежутке (– Ч; 1), на котором они имеют вид F(x) = ln (1 – x) + C.

(Заметим, что для функции известную формулу первообразных F(x) = ln | x | + C следует воспринимать, как относящуюся к любому промежутку, не содержащему нуль, а отнюдь не к объединению промежутков (– Ч; 1) c (1; + Ч), которое вроде бы является естественной областью определения функции F.)

В соответствии со сделанными замечаниями решение задачи 2 выглядит так.

Функция F(x) принимает значение, равное – 1, при x = 3, принадлежащем промежутку (1; + Ч). На этом промежутке

F(x) = ln (x – 1) + C.

Имеем – 1 = ln 2 + C, C = 1 – ln 2.

Ответ: F(x) = ln (x – 1) – 1 – ln 2.

В данной задаче область определения функции F(x) совпала с ее естественной областью определения, однако так бывает не всегда.

Задача 3. Найдите такую первообразную F(x) функции

Решение. Областью определения первообразной F является один из промежутков (– Ч; 1), (1; + Ч).

Поскольку задано F(2), D(F) = (1; + Ч).

Ответ:

Нетрудно заметить, что отсутствие в решении и ответе указаний на область определения функции F(x) приведет к функции с другой областью определения (x 1), или попросту к другой функции. Понятно, что в этом случае ответ будет неверен, что и произошло в некоторых регионах России на выпускном письменном экзамене по математике при выполнении четвертого задания варианта для общеобразовательных школ – цитирую по памяти: «Найти первообразную функции график которой проходит через точку M(2; 5)».

Следует отметить, что именно слабостью освещения вопроса области определения первообразной вызвана массовость допущенной выпускниками ошибки

(F(x) = x² – ln | x – 3 | + 1).

Так, например, в учебнике А.Н. Колмогорова и др. решение примера 2 п. 27, а также примера 1 п. 28, в которых вообще ничего не говорится об области определения первообразных, следует считать ошибочными. Правда, через некоторое время в п. 42, рассматривая первообразную функции авторы учебника все-таки вспоминают о том, что первообразная определяется на промежутке. Но, увы, ненадолго, так как уже в ответе к № 551 область определения не указывается.