Об аксиоматике школьной математики

На конференции в Словакии 21–26 августа 2000 г. профессор В.М. Тихомиров провел среди участников конференции тест. Требовалось ответить на вопрос: «Надо ли вводить в школьное преподавание аксиоматику?» Для выбора предлагалось три ответа: «да», «нет» и «не знаю». Я выбрал третий ответ, понимая под этим ни «да», ни «нет» потому, что аксиоматику в школьной математике вводить надо, однако делать это надо с учетом многих обстоятельств.

Эти слова я хочу конкретизировать на примере основ преподавания школьной арифметики, алгебры, алгебры и начал анализа, т.е. на примере аксиоматики действительного числа.

Действительные числа обладают следующими свойствами, которые принято располагать по группам.

I. Свойства порядка

1. Для любых двух действительных чисел a и b имеет место и притом только одно из соотношений: 
a=b, a<b, a>b.
2. Для любых двух действительных чисел a и b таких, что a < b, найдется такое действительное число c, что
a<c и с<b, т. е. a<c<b.
3. Если a<b и b<c, то a<c (свойство транзитивности неравенств).

II. Свойства сложения и вычитания

1. a+b=b+a (переместительное свойство сложения).
2. (a+b)+c=a+(b+c) (сочетательное свойство сложения).
3. a+0=a.
4. a+(–a)=0.
5. a–b=a+(–b).
6. Если a<b, то a+c<b+c для любого действительного числа c.

III. Свойства умножения и деления

1. a•b=b•a (переместительное свойство умножения).
2. (a•b)•c=a•(b•c) (сочетательное свойство умножения).
3. a•1=a.
4. a•0=0.
5. –a=(– 1)•a.
6. 
7. 
8. (a + b)•c=a•c + b•c (распределительное свойство).
9. Если a<b и c – положительное число, то a•c<b•c.

IV. Архимедово свойство

Каково бы ни было число c > 0, существует натуральное число n > c.

Кроме перечисленных свойств действительные числа обладают еще одним важным свойством – свойством непрерывности. Оно формулируется следующим образом.

Для любой системы отрезков [a_n; b_n]^Ґ_n=1, удовлетворяющей условиям:

1) a₁ < a₂ < … < a_n < a_n+1 < … <b_n+1 < b_n < … < b₂ < b₁;
2) | b_n – a_n | ® 0 при n ® + Ґ существует, и притом единственная, точка, принадлежащая всем отрезкам [a_n; b_n].

Отрезки, удовлетворяющие условию 1), называют вложенными отрезками. Поэтому это свойство можно сформулировать так.

V. Свойство непрерывности действительных чисел

Для любой системы вложенных отрезков [a_n; b_n], длины которых стремятся к нулю при n ® + Ґ, существует, и притом единственная, точка, принадлежащая всем отрезкам [a_n; b_n].

Подчеркнем, что множество рациональных чисел не обладает свойством непрерывности.

Читателю приведенные свойства I–IV хорошо знакомы, когда a, b, c – рациональные числа, и он мог бы их формально доказать, сводя доказательство к соответствующим свойствам натуральных чисел. Для действительных чисел a, b, c формальное доказательство этих свойств становится более сложным. С другой стороны, доказательство, основанное на наших геометрических представлениях о длине отрезка, можно считать вполне прозрачными.

В самом деле, пусть a, b, c обозначают отрезки и в то же время их длины, которые, как мы знаем, выражаются бесконечными десятичными дробями. Тогда равенство a = b обозначает, что отрезки a и b имеют равные длины, а неравенство a < b – тот факт, что отрезок a есть часть отрезка b. Что касается a + b, то это есть длина отрезка a + b, полученного геометрическим сложением отрезков a и b. Ясно, например, что если a < b и b < c, то a < c, потому что если a есть часть b, а b есть часть c, то a есть часть c.

Верно также, что a + b = b + a, потому что, складывая геометрически отрезки a и b в любом порядке, получим отрезки одной и той же длины.

Распределительный (дистрибутивный) закон (a + b)c = ac + bc легко иллюстрируется на связи площадей прямоугольников с общей высотой и основаниями a, b, a + b.

Наконец, остановимся еще на одном принципиальном вопросе. Изучение чисел начинается с натуральных чисел, с их помощью определяются дроби (рациональные числа), десятичные дроби, затем бесконечные десятичные дроби (действительные числа). Мы уже отмечали, что рациональные числа обладают свойствами I–IV, действительные числа – тоже. Но действительные числа обладают еще одним свойством V, независимым от свойств I–IV – свойством непрерывности множества действительных чисел. Говоря об аксиоматическом подходе к понятию числа, надо отметить, что свойства I–V можно рассматривать как аксиомы числа. Из этих аксиом логически можно получить другие свойства действительных чисел, которые мы назовем сложными свойствами.

Оказывается, и это можно доказать, что аксиомы I–V обладают свойством полноты: любое сложное свойство может быть логически получено из аксиом I –V. Аксиомы I–IV образуют полную систему для рациональных чисел, но они не образуют полную систему для действительных чисел.

Вузовские учебники математического анализа принято начинать со списка указанных аксиом. В повышенных курсах, предназначенных математикам, механикам и физикам, дальнейшее изложение ведется четко исходя из аксиом. Однако обоснование аксиоматики (доказательство непротиворечивости системы аксиом) нередко ведется в описательном порядке или переносится в особый курс (см. «Анализ» А.Н. Колмогорова).

В курсах обычных технических вузов формальное обоснование непротиворечивости, конечно, исключается, но приводится в описательном порядке. Ведь это описание представляет собой конкретное введение действительных чисел – натуральных, рациональных, бесконечных десятичных дробей, возникающих в практических вычислениях.

В технических вузах общие свойства непрерывности функций (ограниченность, существование максимума и т. д.) на отрезке часто излагаются на интуитивной основе – предлагается просто посмотреть на график и сделать вывод о верности указанных фундаментальных утверждений.

При преподавании математики в технических вузах, конечно, следуют аксиомам, но, скорее, в описательном порядке, подчеркивая это при разумном преподавании. Формальные выводы, связанные с применением аксиом непрерывности, в значительной мере получаются на интуитивной основе.

В школьной математике подобные вопросы тоже возникают – без них никак не обойтись. Конечно, в школьной математике основную роль играют аксиомы первых четырех групп (I–IV). Эти аксиомы составляют полный список аксиом рационального числа и, в то же время – неполный список аксиом действительного числа. С рациональными числами учащийся знакомится при обучении по любым учебникам. Так что аксиомы I–IV применительно к рациональным числам для него являются абсолютно не чуждыми. Но на определенной стадии обучения учащийся узнает, что кроме рациональных чисел есть еще иррациональные числа, а вместе они называются действительными числами. Тот факт, что действительные числа удовлетворяют аксиомам I–IV, уже приходится излагать в описательном порядке.

Бесконечные десятичные дроби сравниваются по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби. Правила сложения, вычитания, умножения и деления бесконечных десятичных дробей сложнее соответствующих правил для конечных десятичных дробей. Эти правила требуют применения бесконечных процессов и представляют лишь теоретический интерес. Для практических вычислений достаточно знать, что сумма, разность, произведение и частное любых двух действительных чисел есть действительное число (на нуль делить нельзя!). На практике арифметические действия с бесконечными десятичными дробями (т.е. действительными числами) выполняют приближенно, точно так же, как выполняют приближенно арифметические действия с конечными десятичными дробями.

Подчеркнем, что излагать формально действия с бесконечными десятичными дробями, имеющими бесконечные «хвосты» цифр, в школьных условиях невозможно. Здесь уже приходится отказаться от формального языка и переходить, как мы говорим, к языку описательному.

Сказанное тем более относится к аксиоме V (непрерывность множества действительных чисел). Без этой аксиомы школьное обучение тоже не может обойтись. Об аксиоме непрерывности просто не говорят, но фактически пользуются ею. Например, при доказательстве существования , т. е. при доказательстве существования бесконечной десятичной дроби, квадрат которой равен 2, обнаруживают эту дробь как длину отрезка прямой (y = 2), параллельной оси 0x, левый конец которого лежит на оси 0y, а правый есть точка пересечения указанной прямой с графиком y = x2. Существование этой точки наглядно обнаруживается, но при формальном изложении оно должно быть доказано. В учебниках высшей математики это доказывается на основе аксиомы V непрерывности. Но строгое школьное доказательство существования тоже можно провести, возведя в ранг аксиомы утверждение: «Горизонтальная прямая, расположенная выше оси абсцисс, пересекает в одной и только в одной точке непрерывную кривую, ордината точек которой неограниченно возрастают от 0 до + Ґ при возрастании ее абсциссы от 0 до + Ґ».

Замечу, что Александр Данилович Александров добивался элементаризации своего учебника геометрии без ущерба для строгости изложения, идя по такому же пути и заменяя несколько первичных аксиом одной более содержательной.

Со своей стороны считаю, что при обучении арифметике должно быть найдено достаточное время для ознакомления учащихся с аксиоматикой действительного числа. Это при условии, что действительные числа изучаются в конце 6-го класса. Если нет, то после введения иррациональных чисел в курсе алгебры. Следовало бы в кабинетах математики повесить таблицу со списком аксиом числа подобно тому, как это принято делать в отношении таблицы Д.И. Менделеева в кабинетах химии.

Аксиомы эти будут дисциплинировать не только учащихся, но иногда и педагогов. Возьмем, например, неравенства. Кроме аксиом порядка в аксиоматике существует две аксиомы о неравенствах:

1) если a<b, то a+c<b+c,
2) если a<b и c№0, то ac<bc.

Но в практике обучения (и даже учебниках) при изучении неравенств наряду с указанными свойствами приводят еще и другие, и все они называются «правилами». При этом совсем не поясняется, что добавленные правила – суть следствия из свойств 1) и 2) и некоторых простых аксиом числа таких, как a + 0 = a или a + (– a) = 0.

Например, если a>0, то прибавляя к обеим частям неравенства – a, получим   0>–a или  –a<0.

Или: если a<b и c<d, то a+c<b+c   и  b+c<b+d,  но тогда и a+c<d+b.

Или еще: если a<b, то прибавляя к обеим частям неравенства –a–b, получим   –b<–a.

Или еще: если a<b и c<d, то –d<–c и a–d<b–c.

Мне могут сказать, что я многого хочу, что нельзя в школьной математике все доказывать. Но, во-первых, неравенствами совсем необязательно заниматься так рано, как это делается сейчас (до настоящего усвоения способов решения уравнений); во-вторых, приведенные рассуждения действительно просты и они учат детей логике.

Надо сказать, что в конце нашего учебника «Арифметика, 6» (авт. С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин) указанный список аксиом (в учебнике они названы основными свойствами) действительных чисел приведен и разъяснен. При утверждении нашего учебника один квалифицированный рецензент отрицательно отнесся к этой нашей идее, заметив, что если на каждую аксиому учитель приведет на уроке 2–3 упражнения, то на этом уроке он больше ничего другого сделать не успеет. Но мы не согласны с такой точкой зрения, потому что соответствующие упражнения уже выполнялись раньше, а на этом уроке упражнения могут только затруднить и затемнить нашу цель – сообщить учащимся основы арифметики в их взаимных связях. Основы, которые обобщают изученное в 5–6 классах и закладывают фундамент для более осмысленного изучения курсов алгебры и геометрии.

Так что, отвечая на вопрос профессора В.М. Тихомирова «не знаю», я мог бы сказать и «да», и «нет». «Да» – потому что аксиоматику в школьной математике вводить надо, иногда не называя аксиомы аксиомами (как это сделано в нашем учебнике). «Нет» – потому что при этом надо избегать обсуждения тонких проблем (противоречивость и полнота списка аксиом).