ШКОЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
в современном изложении¹ 

В 2001 году издательство «Просвещение» выпустило новый учебник «Геометрия 7-9» авторов И. Смирновой и В. Смирнова. Он рекомендован Министерством образования Российской Федерации и входит в Федеральный комплект учебников для общеобразовательной школы.

Здесь мы рассмотрим цели, которые ставились при написании этого учебника, и его особенности по сравнению с существующими учебниками по геометрии для общеобразовательной школы.

Общепризнанно, что геометрия является одним из наиболее трудных учебных предметов. В связи с этим некоторые реформаторы предлагают даже вообще отказаться от систематического курса геометрии в школе, оставив лишь знакомство учащихся с некоторыми геометрическими фигурами и простейшими способами измерения геометрических величин.

Конечно, с этим нельзя согласиться ввиду огромной роли, которую играет геометрия в естественно-научном образовании подрастающего поколения.

На протяжении всей истории человечества геометрия служила источником развития не только математики, но и многих других наук. Именно в ней появились первые теоремы и доказательства. Сами законы математического мышления формировались с помощью геометрии.

Многие геометрические задачи способствовали появлению новых научных направлений. Наоборот, решение многих научных проблем получено с использованием геометрических методов. Например:

– задача об измерении длины отрезков привела к открытию Пифагором несоизмеримых отрезков и в дальнейшем к построению действительных чисел;
– задачи об измерении длины окружности, площади круга, объемов шара и пирамиды привели древнегреческих ученых к понятию предела и заложили основы интегрального исчисления;
– задачи нахождения уравнения касательной к кривой и вычисления площади криволинейной трапеции привели Г. Лейбница и И. Ньютона к созданию дифференциального и интегрального исчислений;
– геометрические методы изображения пространственных фигур стали фундаментом живописи, изобразительного искусства;
– задача о нахождении орбит космических тел оказалась связанной и была решена с помощью конических сечений;
– современные представления о Вселенной описываются на языке геометрии с помощью понятия многообразия;
– задача Эйлера о кенигсбергских мостах положила начало нового направления геометрии – теории графов;
– функциональный анализ, один из современных разделов математического анализа, опирается на понятие бесконечномерного линейного пространства, обобщающего понятие евклидова пространства;
– одно из основных понятий современной алгебры – понятие группы – возникло на основе геометрических понятий симметрии и движения. Группы симметрий играют важную роль не только в математике, но и физике, химии, биологии, кристаллографии и других науках;
– в последние десятилетия активно развивается алгебраическая геометрия – раздел математики, изучающий алгебраические структуры геометрическими методами. В частности, решение проблемы Ферма было недавно получено с использованием глубоких геометрических методов;
– разработка методов решения задач оптимального управления стала возможной благодаря развитию геометрических методов, в том числе теории многогранников;
– в последние годы, в связи с развитием компьютерной техники, возникло и успешно развивается новое направление геометрии – компьютерная геометрия.

Вообще современная наука и ее приложения немыслимы без геометрии и ее разделов, таких как топология, дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, теория графов, компьютерная геометрия и др.

Отметим, что появление компьютеров не только не снижает, но и увеличивает роль геометрии, поскольку при этом существенно расширяются возможности графического представления материала.

Отечественной школой накоплен уникальный опыт преподавания геометрии. Учебник по геометрии А.П.Киселева под редакцией Н.А.Глаголева на протяжении десятилетий оставался образцом строгости, четкости и доступности изложения геометрии.

Конечно, этот и другие учебники геометрии прошлого века уже не вполне отвечают современной структуре и дидактическим требованиям к обучению. Их содержание приходится на времена «до нашей эры».

Так, например, изучение геометрических фигур в планиметрии ограничивается треугольниками, четырехугольниками, правильными многоугольниками и окружностями. Полностью отсутствуют кривые, даже такие как эллипс, парабола, гипербола. Не рассматриваются (даже в ознакомительном порядке) современные направления развития геометрии и их приложения.

Другим существенным недостатком этих учебников является то, что в них не предусмотрена дифференциация обучения, не учитываются индивидуальные склонности и способности учеников.

Все это существенно обедняет курс геометрии в школе, делает его неинтересным, не дает возможности сформировать у учащихся необходимые геометрические представления, сдерживает их интеллектуальное развитие.

Наш опыт работы в педагогическом университете показывает, что пробелы в знаниях студентов, поступивших в университет, можно восполнить. Можно даже научить их решать задачи повышенной трудности. Сложнее же всего восполнить пробелы обучения, связанные с формированием представлений и развитием мышления. Именно этим обусловлены проблемы, с которыми сталкиваются студенты при обучении на первом курсе.

Таким образом, задача обновления школьного курса геометрии состоит в том, чтобы, опираясь на достигнутый отечественной школой уровень геометрического образования, сделать его современным, интересным, учитывающим склонности и способности каждого ученика.

Реализации этой цели служит предлагаемый учебник: И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. Геометрия 7-9. – М.: Просвещение, 2001.

При его написании мы руководствовались принципом преемственности и исходили из учебника геометрии А.П.Киселева. Основными направлениями совершенствования этого учебника были: включение в содержание учебника элементов современной геометрии и ее приложений; дифференциация материала учебника, позволяющая учитывать интересы, способности и склонности каждого ученика.

В предлагаемом учебнике сохранены все основные разделы курса планиметрии, соответствующие программе основной школы.

В седьмом классе изучаются основные геометрические фигуры и их свойства; рассматривается взаимное расположение точек и прямых на плоскости; вводятся понятия равенства отрезков и углов; доказываются признаки равенства треугольников; свойства равнобедренного треугольника; выясняются соотношения между сторонами и углами треугольника, между перпендикуляром и наклонной; исследуются случаи взаимного расположения двух окружностей и прямой и окружности; рассматриваются основные геометрические места точек и решаются задачи на построение.

Восьмой класс начинается с изучения понятия параллельности. Доказываются: теорема о сумме углов треугольника; признаки параллелограмма; теоремы о средних линиях треугольника и трапеции; теорема Фалеса; вводится понятие движения и рассматриваются различные виды движений (центральная симметрия, поворот, осевая симметрия, параллельный перенос); определяется понятие равенства фигур и устанавливаются его свойства; вводится понятие подобия и доказываются признаки подобия треугольников; доказывается теорема Пифагора; изучаются тригонометрические функции угла; доказываются теоремы синусов и косинусов.

В девятом классе изучается вопрос об измерении площадей. В частности, выводятся формулы площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции, правильного многоугольника, круга. Рассматривается прямоугольная система координат, векторы и их свойства, аналитическое задание фигур на плоскости.

Остановимся на некоторых особенностях предлагаемого учебника.

1. Учебник написан на основе аксиоматического подхода к построению курса геометрии.

Идея аксиоматического построения геометрии была предложена и реализована Евклидом. Она состоит в том, что если мы не можем определить, что представляет собой исследуемый объект, то следует определить его свойства. Выделить существенные признаки объекта и абстрагироваться от несущественных. Если эти признаки подобраны хорошо, то сам объект ими полностью определяется. Так, например, фигуры шахматного слона могут быть сделаны из разных материалов, иметь разную форму, быть непохожими на настоящих слонов. Все эти признаки не являются для них существенными. Существенными являются правила (аксиомы), по которым они могут передвигаться по шахматной доске.

Одним из доводов противников аксиоматического подхода в школьном курсе геометрии является то, что в чистом виде, без использования наглядности, его невозможно реализовать. На самом деле этого и не нужно. Аксиомы не являются самоцелью в преподавании геометрии. Они позволяют лучше понять основания геометрии, более четко формулировать определения и проводить доказательства.

Сам Евклид не только формулировал аксиомы геометрии, но и определял основные понятия: точку как то, что не имеет частей; линию, как длину без ширины; прямую, как такую линию, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

Эти определения были призваны сформировать правильные интуитивные представления об основных понятиях геометрии.

Таким образом, уже на самом раннем этапе развития геометрии аксиоматический метод и интуитивные представления неразрывно соединялись, и одно не мыслилось без другого.

Также обстоит дело и с геометрией. Наличие определенных правил (аксиом) должно подкрепляться соответствующими интуитивными представлениями. Одни аксиомы или одна интуиция обедняют и затрудняют изучение геометрии. Отсутствие сформулированных аксиом в том или ином учебнике на самом деле означает, что аксиомы просто не выделены. Все равно какие-то свойства приходится принимать без доказательства. Их может быть гораздо больше, и они могут быть гораздо менее очевидными, чем сами аксиомы.

Нашим глубоким убеждением является то, что аксиоматический метод построения геометрии не является трудным для понимания школьников. Аксиомы можно рассматривать как правила игры в геометрию. Если правила четко определены, то играть по ним легче, чем при отсутствии правил. Такое построение характерно не только для геометрии. Каждая наука имеет свои определенные правила. В жизни часто приходится иметь дело с теми или иными правилами. Например, различные игры (шахматы и др.) основываются на правилах. При работе с компьтером руководствуются определенными правилами. Свод законов, регулирующих деятельность человека в той или иной области, также представляет собой набор правил.

2. Одним из основных отношений в геометрии является отношение равенства. В различных учебниках по геометрии используют различные подходы к определению равенства фигур. Так, например, в учебнике Л.С.Атанасяна и др. равенство фигур определяется через наложение.

Следует сказать, что понятие наложения обладает целым рядом недостатков. Попытки его уточнения или определения весьма затруднительны. Кроме того, с появлением движения, возникает много вопросов о взаимосвязи наложения и движения. Сначала равенство фигур определяется через наложение, а затем через движение. Это запутывает не только отношение равенства, но и сами основания геометрии.

В учебнике А.В.Погорелова понятие наложения не используется. За аксиому принимается, что каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Два отрезка называются равными, если они имеют равные длины.

Аналогичным образом, два угла называются равными, если они имеют равные градусные величины.

Равенство произвольных фигур определяется через движение.

Этот подход также обладает недостатками, связанными с тем, что к моменту введения аксиомы длины отрезка учащиеся имеют представления только о рациональных числах, и у них может сложиться неверное представление о том, что длина каждого отрезка выражается рациональным числом.

Кроме того, некоторые современные направления развития геометрии, такие как алгебраическая геометрия, показывают, что привязка оснований геометрии к конкретному полю действительных чисел не вполне оправдана.

В предлагаемом учебнике понятия равенства отрезков и углов определяются без использования их длины и градусных величин соответственно.

А именно, вводится операция откладывания данного отрезка на данном луче от его вершины. Говорится, что любой отрезок можно отложить на данном луче от его вершины. Получающийся при этом отрезок называется равным исходному отрезку. Для отрезков определяются операции сложения, вычитания и умножения на натуральное число, отношение «меньше».

Аналогичным образом для углов вводится операция откладывания данного угла в той или другой полуплоскости от данного луча. Говорится, что любой угол можно отложить от данного луча в данной полуплоскости. Получающийся при этом угол называется равным исходному углу. Для углов определяются операции сложения, вычитания и умножения на натуральное число, отношение «меньше».

Равенство произвольных фигур определяется через движение.

При таком подходе к определению равенства фигур не используется ни понятие наложения, ни понятие длины отрезка.

Конечно, понятия длины отрезка и величины угла рассматриваются и дается способ их измерения. Однако они не входят в аксиомы и не используются при доказательствах теорем.

3. В предлагаемом учебнике, в отличие от учебников геометрии А.В.Погорелова и Л.С.Атанасяна и др., аксиома параллельных вводится не сразу. Сначала излагается абсолютная геометрия, не использующая аксиому параллельных, а только затем – геометрия, использующая аксиому параллельных. Именно так излагалась геометрия у Евклида и в учебнике геометрии А.П.Киселева.

Это позволяет более четко разделить утверждения, использующие аксиому параллельных и утверждения, ее не использующие.

Например, без использования аксиомы параллельных доказываются признаки равенства треугольников, свойства равнобедренного треугольника, соотношения между сторонами и углами треугольника, свойство внешнего угла треугольника, свойства серединного перпендикуляра и биссектрисы угла, признаки равенства прямоугольных треугольников, теоремы о взаимном расположении двух окружностей, прямой и окружности и др.

После введения аксиомы параллельных доказываются признаки параллелограмма, теорема о сумме углов треугольника, свойства средней линии треугольника, теорема Фалеса, признаки подобия треугольников и т.д.

Важность такого разделения геометрии обусловлена тем, что оно формирует правильную интуицию и дает возможность на ее основе в дальнейшем изучать различные неевклидовы геометрии: геометрию Лобачевского, проективную геометрию и др.

4. В предлагаемом учебнике рассматриваются элементы современной, научно-популярной и прикладной геометрии.

Говоря о современной геометрии, мы не имеем в виду включение в школьный курс элементов высшей математики. Речь идет о знакомстве учащихся с основными направлениями развития геометрии, с задачами, приведшими к возникновению этих направлений, в том числе и занимательного характера, с методами решения этих задач и их приложениями. Наконец, речь идет о формировании современных геометрических представлений учащихся.

Считается, что элементы современной геометрии и ее приложения доступны учащимся, способным к математике, и могут быть рассмотрены только в специальных математических классах. На самом деле из того, что ученику трудно даются некоторые разделы основного курса геометрии не следует, что он не может и не должен знакомиться с элементами современной геометрии. Как правило, материал, относящийся к современным разделам геометрии, обладает большей наглядностью, имеет исторические и прикладные аспекты, вызывает повышенный интерес учащихся.

При этом одним больше нравится доказывать теоремы, другим – решать задачи, третьим – изображать геометрические фигуры, четвертым – изготавливать модели, пятым – история того или иного вопроса, шестым – приложения геометрии и т.д. Всем им следует предоставить возможности для проявления своих интересов и способностей.

В конце седьмого класса после темы «Геометрические места точек» в качестве дополнительного материала предлагается рассмотреть кривые как геометрические места точек. Среди таких кривых: парабола, эллипс, гипербола.

Например, парабола является геометрическим местом точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Вопрос о нахождении такого геометрического места точек возникает естественным образом после нахождения геометрического места точек, равноудаленных от двух заданных точек (серединный перпендикуляр) и геометрического места внутренних точек угла, равноудаленных от его сторон (биссектриса угла).

Эллипс является геометрическим местом точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Если фокусы приближаются друг к другу, сливаясь в одну точку, то эллипс превращается в окружность.

Кроме кривых, в конце седьмого класса в качестве дополнительного материала в учебник включены графы и их применения, в том числе: уникурсальные графы, задача Эйлера о кенигсбергских мостах, задача о трех домиках и трех колодцах, теорема Эйлера о числе вершин, ребер и граней сетки из многоугольников, проблема четырех красок и др.

Изучение данного материала значительно повышает интерес учащихся к геометрии, способствует формированию комбинаторных геометрических представлений и развитию их мышления.

В качестве дополнительного материала в восьмом классе рассматривается золотое сечение и его использование в живописи, скульптуре, архитектуре; кривые как траектории движения точек, среди которых: циклоида – траектория движения точки, закрепленной на окружности, катящейся по прямой; кардиоида – траектория движения точки, закрепленной на окружности, катящейся по другой окружности того же радиуса; астроида – траектория движения точки, закрепленной на окружности, катящейся с внутренней стороны другой окружности в четыре раза большего радиуса.

В качестве дополнительного материала в девятом классе, после изучения понятия площади, предлагается изопериметрическая задача (задача Дидоны) о нахождении замкнутой кривой заданной длины, охватывающей наибольшую площадь; понятие равносоставленности; задачи на разрезание; паркеты. Кроме того, в теме «Координаты и векторы» рассматриваются задачи оптимального управления; кривые, заданные уравнениями в декартовых и полярных координатах, в том числе: спираль Архимеда, логарифмическая (золотая) спираль, n-лепестковые розы и др.

5. В конце учебника излагаются начала стереометрии. Здесь не ставится цель передоказывать теоремы стереометрии и дублировать тем самым соответствующий курс для старших классов. Целью изучения этого раздела является, с одной стороны, повторение, систематизация и обобщение знаний по планиметрии, распространение изученных понятий и свойств на случай пространства, а с другой стороны, пропедевтика стереометрии, развитие пространственных представлений учащихся. В частности, здесь рассматриваются: понятие параллельности в пространстве, основные пространственные фигуры; многогранники, в том числе правильные, полуправильные и звездчатые многогранники; кристаллы – природные многогранники. Вводится понятие ориентируемой и неориентируемой поверхности. В качестве примера неориентируемой поверхности приводится лист Мебиуса.

Структура учебника удобна для работы в классе и дома. Все содержание разбито на пункты-занятия (всего 90 занятий), для изучения каждого из которых отводится, как правило, два урока. Помимо теории, в занятия включен материал исторического, научно-популярного и прикладного характера, а также разнообразные задачи (всего около 1200 задач) устные, основные, повышенной трудности.

В старших классах линию этого учебника геометрии продолжают следующие учебники, рекомендованные Министерством образования Российской Федерации и входящие в Федеральный комплект учебников:

1. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия 10-11 (для естественно-научного профиля обучения). – М.: Просвещение, 2001.

Этот учебник соответствует программе по математике и может быть использован также и в общеобразовательных классах. В нем расширен материал о многогранниках, больше внимания уделяется изучению поверхностей. Наряду с декартовыми координатами в пространстве используются и сферические координаты. В конце учебника представлена компьютерная программа «Математика», позволяющая производить символьные операции и получать изображения различных пространственных фигур.

2. Смирнова И.М. Геометрия 10-11 (для гуманитарного профиля обучения). – М.: Просвещение, 1997, 1998.

Здесь несколько сокращен теоретический материал, больше внимания уделяется истории геометрии, ее приложениям в архитектуре, живописи, скульптуре, материалу мировоззренческого характера. Среди иллюстраций картины: И.И. Шишкина, Н.Н. Ге, И.Е. Репина, П.А. Федотова, А. Рублева, С. Дали, М. Эшера и др.

В последующих статьях будут даны дидактические материалы для преподавания геометрии в 7-м классе по предлагаемому учебнику.

---

¹ Работа поддерживается грантом Министерства Образования РФ, N№ ГОО – 2.2 – 31.