Самостоятельные работы по геометрии
7 класс
В этой статье предлагаются самостоятельные работы для преподавания геометрии в 7-м классе общеобразовательных учреждений по учебнику: И. Смирнова, В. Смирнов «Геометрия 7-9». – М.: Просвещение, 2001. Номер каждой самостоятельной работы и ее название совпадают с соответствующим пунктом учебника. Предусмотрено 4 варианта: первый – наиболее легкий; последний, четвертый – самый трудный; второй и третий – среднего уровня трудности.
Статья опубликована при поддержке ООО «РусЭксперт». Если вам необходимо получить допуск СРО, повысить профессиональную квалификацию или аттестовать рабочие места, то обратитесь в ООО «РусЭксперт». Вступление в СРО, переоформление и проверка СРО, все это вы легко сможете заказать в ООО «РусЭксперт». Подробнее ознакомится с предоставляемыми услугами можно на официальном сайте компании www.sro-sro.com.
12. Соотношение между сторонами и углами треугольника
Вариант 1
1. Углы треугольника равны 70о, 70о и 40о. Определите вид данного треугольника и найдите его внешние углы.
2. В треугольнике ABC известны стороны, а именно: AB = 8 см, BC = 15 см и AC = 12 см. Найдите наибольший и наименьший углы данного треугольника.
3. В треугольнике KLM РK > РL >РM. Сравните его стороны.
4. Каждый угол треугольника равен 60o. Определите вид треугольника. Ответ поясните.
Вариант 2
1. В треугольнике два внешних угла при различных вершинах равны между собой. Каков вид этого треугольника? Ответ поясните.
2. На рисунке 34 Р1 > Р2. Сравните стороны CD и ED.
3. Может ли в треугольнике быть два тупых угла? Почему?
4. Что больше – катет или гипотенуза в прямоугольном треугольнике? Почему?Вариант 3
1. В треугольнике ABC внешний угол при вершине A острый, а при вершине C – тупой. Что можно сказать о внутренних углах?
2. На рисунке 35 Р1 < Р2. Сравните стороны GH и GF.
3. Может ли в прямоугольном треугольнике быть тупой угол? Почему?
4. Может ли медиана быть меньше высоты, проведенной из той же вершины треугольника?Вариант 4
1. Могут ли углы при основании равнобедренного треугольника быть тупыми? Почему?
2. Может ли в треугольнике быть два прямых угла? Почему?
3. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведена высота CH. Сравните AB с AC и BC, CH с AC и BC.
4. В треугольнике KMN стороны связаны соотношением k > m > n, где k = MN, m = KN, n = KM. Какой угол противолежит средней по длине стороне треугольника? Почему?13. Соотношение между сторонами треугольника
Вариант 1
1. Существует ли треугольник со сторонами 2,5 см, 3,7 см, 6,1 см?
2. Могут ли стороны треугольника относиться как 1:2:3?
3. Две стороны равнобедренного треугольника равны 2 см и 6 см. Найдите основание и боковые стороны треугольника.
4. Может ли одна сторона треугольника быть в два раза больше другой стороны и во столько же раз меньше третьей?Вариант 2
1. Существует ли треугольник со сторонами 3 дм, 8 дм, 1 дм?
2. Могут ли стороны треугольника относиться как 1:2:4?
3. Две стороны равнобедренного треугольника равны 15 см и 14 см. Найдите основание и боковые стороны треугольника.
4. Может ли треугольник со сторонами 5 см, 7 см иметь периметр 25 см?Вариант 3
1. Существует ли треугольник со сторонами 1 м, 2 м, 3,1 м?
2. Могут ли стороны треугольника относиться как 3:5:8?
3. Две стороны равнобедренного треугольника равны 8 см и 10 см. Найдите основание и боковые стороны треугольника.
4. Может ли одна сторона треугольника быть в три раза меньше другой стороны и во столько же раз больше третьей?Вариант 4
1. Одна сторона треугольника короче другой на 1 см и длиннее третьей на 3 см. Может ли его периметр равняться 19 см?
2. В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, другая – 0,8 м. Найдите третью сторону, зная, что ее длина выражается целым числом метров.
3. В треугольнике известны две стороны a и b. Запишите неравенства, которые определяют пределы изменения периметра треугольника.
4. На рисунке 36 изображены стержни, соединенные шарнирами, которые могут свободно двигаться. Для каждой конструкции найдите наибольшее и наименьшее расстояния, на которые можно раздвинуть концы A и B. Сделайте соответствующие рисунки.
14. Прямоугольные треугольники
Вариант 1
1. Может ли прямоугольный треугольник быть равнобедренным? Почему?
2. На рисунке 37 углы C и F прямые, CA = AF и CB = FE. Равны ли отрезки AB и AE? Почему?
3. На рисунке 38 AC ^ СD, BD ^ CD, OC = OD. Какие еще отрезки равны?
4. Дан равнобедренный треугольник KLM, KL – его основание. На высоте MH взята произвольная точка N. Докажите равенство отрезков NK и NL.
Вариант 2
1. Может ли прямоугольный треугольник быть равносторонним? Почему?
2. Докажите, что треугольник является равнобедренным, если совпадают проведенные из одной его вершины высота и медиана.
3. Через середину отрезка проведена прямая, которая пересекает прямые, проведенные к отрезку через его концы. Докажите, что полученные треугольники равны.
4. В треугольнике EFG проведена медиана FM. Докажите, что высоты треугольников EFM и GFM, проведенные соответственно из вершин E и G равны.Вариант 3
1. В какой точке пересекаются высоты прямоугольного треугольника?
2. Докажите, что треугольник является равнобедренным, если совпадают проведенные из одной его вершины биссектриса и высота.
3. На рисунке 39 AH = HB = BP = PC; EH ^ AB, FP ^ BC. Докажите, что HE = PF.
4. Дан равнобедренный треугольник KLM. От вершин основания K и L отложены равные отрезки KH и LP (точки H и P принадлежат отрезку KL). Через точки H и P проведены прямые, перпендикулярные KL. Точки их пересечения с боковыми сторонами данного треугольника обозначены соответственно S и Q. Докажите равенство треугольников KHS и LPQ.Вариант 4
1. На сторонах угла O отложены равные отрезки OA и OB. Из точек A и B проведены прямые, перпендикулярные соответствующей стороне угла. Каждая из них пересекает другую сторону угла соответственно в точках C и D. Докажите равенство отрезков AC и BD.
2. Докажите равенство высот, проведенных из вершин основания равнобедренного треугольника.
3. Докажите, что в равнобедренном треугольнике точка пересечения биссектрис углов при основании равноудалена от концов основания.
4. Дан четырехугольник ABCD. Известно, что AB = BC. Докажите, что диагональ AC в точке O – точке пересечения диагоналей делится пополам. Как расположены относительно друг друга диагонали AC и BD?15. Перпендикуляр и наклонная
Вариант 1
1. Из точки, не принадлежащей данной прямой, проведите перпендикуляр и наклонную. Найдите расстояние от этой точки до прямой.
2. Что служит в треугольнике расстоянием от вершины до противоположной ей стороны?
3. Чему равна проекция одной стороны равностороннего треугольника на другую его сторону? Ответ поясните.
4. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны: BC = 3 см, AC = 5 см. Чему равно расстояния от вершины B до AC, от A до BC?Вариант 2
1. Из точки, не принадлежащей данной прямой, проведите перпендикуляр и наклонную. Какой отрезок имеет большую длину? Почему?
2. Чему равна проекция гипотенузы прямоугольного треугольника на его катет? Ответ поясните.
3. Докажите, что из проекций двух наклонных, проведенных к прямой из одной точки, больше та, которой соответствует большая наклонная.
4. Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от его боковых сторон.Вариант 3
1. Из точки, не принадлежащей данной прямой, проведите перпендикуляр и наклонную. Укажите проекцию этой наклонной. Сравните длину наклонной и ее проекции.
2. Чему равна проекция боковой стороны равнобедренного треугольника на его основание? Ответ поясните.
3. Докажите, что из двух наклонных, проведенных к прямой из одной точки, меньше та, проекция которой меньше.
4. Докажите, что в равнобедренном треугольнике расстояние от вершины, противолежащей основанию, до точки, принадлежащей основанию, меньше боковой стороны.Вариант 4
1. Дан угол AOB, OC – его биссектриса. Найдите точку K, расстояния от которой до сторон угла равны.
2. Докажите, что в треугольнике расстояния от концов стороны, к которой проведена медиана, до медианы или ее продолжения равны между собой.
3. Докажите, что в равнобедренном треугольнике расстояние от вершины, противолежащей основанию, до точки, принадлежащей продолжению основания, больше боковой стороны.
4. В равностороннем треугольнике KLM на стороне LM взята точка N. Докажите, что KN < LM.16. Окружность и круг
Вариант 1
1. В окружности проведены два диаметра AB и CD. Докажите равенство хорд AC и BD.
2. Найдите диаметр окружности, если известно, что он на 15 см больше радиуса этой же окружности.
3. Радиус окружности равен 24 см. Данная точка находится на расстоянии 40 см от ее центра. Определите наименьшее и наибольшее расстояния от этой точки до данной окружности.
4. В окружности радиуса 3 см проведите через взятую на ней точку хорду, равную 4 см. Сколько таких хорд можно провести?Вариант 2
1. Укажите внутри окружности точку, через которую можно провести бесконечно много равных между собой хорд.
2. Окружность пересечена двумя прямыми, проходящими через ее центр. Докажите, что хорды, соединяющие соответствующие точки пересечения прямых с окружностью, попарно равны.
3. Из точки, принадлежащей окружности, проведены две равные хорды. Докажите, что диаметр, проходящий через эту точку, делит угол между хордами пополам.
4. В окружности проведены три равные хорды, одна из которых удалена от центра на 3 см. На каком расстоянии находятся от центра две другие хорды?Вариант 3
1. Какой длины должны быть две хорды окружности радиуса R, чтобы при любом их положении эти хорды пересекались?
2. В окружности проведены два диаметра, концы которых попарно соединены. Докажите равенство образовавшихся хорд.
3. Из точки, взятой внутри круга, проведены две равные хорды. Докажите, что диаметр, проходящий через эту точку, делит угол между хордами пополам.
4. В окружности проведены две хорды AB и CD. Первая отстоит от центра на 10 см, а вторая на 7 см. Сравните длины данных хорд.Вариант 4
1. Как через точку, взятую внутри круга, провести хорду таким образом, чтобы она в этой точке делилась пополам?
2. В окружности радиуса 25 см охарактеризуйте длины хорд. Возьмите на данной окружности точку A и постройте хорды AB = 20 см, AC = 40 см и AD = 60 см.
3. Наименьшее расстояние от точки до окружности равно a, наибольшее равно b. Найдите радиус окружности.
4. Укажите способ нахождения неуказанного центра окружности, если ее радиус равен R.17. Взаимное расположение окружностей
Вариант 1
1. Изобразите две непересекающиеся окружности. Запишите соответствующее неравенство, если радиусы окружностей равны R и r.
2. Как расположены относительно друг друга две окружности (A; R) и (B; r), если AB = 10 см, R = 7 см, r = 3 см?
3. Две окружности с радиусами 20 см и 4 см пересекаются. Охарактеризуйте расстояние OC между их центрами.
4. Две окружности касаются внешним образом. Диаметр первой равен 6 см, второй – 17 см. Найдите расстояние между их центрами.Вариант 2
1. Изобразите две пересекающиеся окружности. Запишите соответствующее неравенство, если радиусы окружностей равны R и r.
2. Как расположены относительно друг друга две окружности (O1; R1) и (O2; R2), если O1O2 = 2 см, R1 = 4 см и R2 = 6 см.
3. Две окружности (C; a) и (D; b) касаются внешним образом. Известно, что CD = 16 см и a = 4 см. Найдите b.
4. Найдите диаметры двух концентрических окружностей, если ширина соответствующего кольца равна 12 см, а радиусы окружностей относятся как 5:2.Вариант 3
1. Изобразите две окружности, которые касаются внешним образом. Запишите соответствующее неравенство, если радиусы окружностей равны R и r.
2. Как расположены относительно друг друга две окружности (O1; R1) и (O2; R2), если O1O2 = 0 см, R1 = 7 см и R2 = 13 см. Есть ли в условии задачи лишние данные?
3. Две окружности касаются внутренним образом. Радиус одной равен 9 см, другой – 15 см. Охарактеризуйте расстояние OC между их центрами.
4. Что можно сказать о взаимном расположении двух окружностей, если каждой из них принадлежат точки A, B, C? Ответ поясните.Вариант 4
1. Изобразите две окружности, которые касаются внутренним образом. Запишите соответствующее неравенство, если радиусы окружностей равны R и r (R > r).
2. Две окружности (A; a) и (B; b) пересекаются, причем a = 2m, b = 10m, где m > 0. Что можно сказать о расстоянии AB?
3. Охарактеризуйте взаимное расположение двух окружностей (O1; R1) и (O2; R2), если O1O2=a, R1=2a, R2=3a, где a > 0.
4. Найдите условие, при котором окружность (A; a) целиком лежит в окружности (B; b).18. Взаимное расположение прямой и окружности
Вариант 1
1. Определите взаимное расположение прямой и окружности, если радиус окружности равен 5 см, а расстояние от прямой до центра окружности равно 7 см. Изобразите эту ситуацию.
2. Дана окружность с центром в точке A и радиусом R. Расстояние от точки A до прямой a равно d. Запишите условие, при котором прямая и окружность не пересекаются.
3. Прямая касается окружности. Найдите расстояние от этой прямой до центра окружности, если ее диаметр равен 17 см.
4. К окружности в ее точке A проведена касательная. Через центр окружности точку O проведен диаметр BC. Будут ли равны хорды AB и AC? Почему?Вариант 2
1. Диаметр окружности равен 18см, расстояние от ее центра до прямой равно 8 см. Определите взаимное расположение окружности и прямой. Изобразите эту ситуацию.
2. Дана прямая a и окружность (O; R). Расстояние от точки O до прямой равно d. Запишите условие того, что прямая касается окружности.
3. Проведите окружность данного радиуса, которая касается данной прямой в данной на ней точке.
4. Докажите, что перпендикуляр к касательной в точке касания с окружностью проходит через центр окружности.Вариант 3
1. Прямая удалена от центра окружности на 11 см. Как расположена она относительно окружности, если диаметр окружности равен 11 см? Изобразите эту ситуацию.
2. Дана прямая b и не принадлежащая ей точка B. Расстояние между ними равно m. Каким радиусом R нужно провести окружность с центром в точке B, чтобы она пересеклась с прямой b?
3. Из данной точки C, как из центра, проведите окружность, которая касалась бы данной прямой c.
4. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из центра окружности к касательной, проходит через точку касания.Вариант 4
1. Дана прямая a и окружность (C; r). CH = h, где CH ^ a. Запишите условие того, что прямая и окружность пересекаются.
2. Докажите равенство отрезков касательных, проведенных из точки вне окружности к этой окружности.
3. Прямая пересекает окружность в точках A и B. C – произвольная точка отрезка AB. Докажите, что расстояние от этой точки до центра окружности меньше радиуса данной окружности.
4. Докажите, что если прямая пересекает две концентрические окружности, то отрезки секущей, лежащие между этими окружностями, равны между собой.19. Геометрические места точек
Вариант 1
1. Найдите геометрическое место точек, лежащих между двумя заданными точками A и B.
2. Из данной точки окружности проведите две хорды. Найдите на окружности точку, одинаково удаленную от обеих прямых, на которых лежат данные хорды.
3. Найдите геометрическое место точек таких, что отрезки касательных, проведенных из них к данной окружности, равны между собой.
4. Найдите геометрическое место точек, расположенных внутри данного угла и удаленных от его вершины на данное расстояние.Вариант 2
1. Найдите геометрическое место точек M, таких, что расстояние от них до заданной точки O меньше заданного расстояния a.
2. Найдите геометрическое место вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание.
3. Найдите геометрическое место центров равных окружностей, внешне касающихся данной окружности.
4. Охарактеризуйте геометрическое место точек, удаленных от точки A на расстояние a, а от точки B на расстояние b.Вариант 3
1. Найдите геометрическое место точек M, таких, что расстояние от них до заданной точки C больше заданного расстояния b.
2. Найдите геометрическое место центров равных окружностей, проходящих через данную точку.
3. Найдите геометрическое место центров равных окружностей, внутренне касающихся данной окружности.
4. Охарактеризуйте геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла AOB и удаленных от точки C, взятой внутри этого угла, на расстояние d.Вариант 4
1. Может ли геометрическим местом точек быть одна точка? Приведите пример.
2. Найдите геометрическое место середин равных хорд данной окружности.
3. Найдите геометрическое место центров окружностей, описанных данным радиусом и делящих пополам данную окружность.
4. Найдите геометрическое место середин хорд, проведенных из данной точки окружности.20. Задачи на построение
Вариант 1
1. Постройте равнобедренный треугольник с основанием 3 см и боковой стороной 4 см.
2. Постройте прямоугольный треугольник по двум катетам.
3. Постройте геометрическое место центров окружностей с радиусом 2 см, проходящих через данную точку.
4. В данный угол впишите окружность, которая касается одной из его сторон в данной на ней точке.Вариант 2
1. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и прилежащему к нему острому углу.
2. Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.
3. Постройте прямую, проходящую через данную точку и отсекающую от сторон данного угла равные отрезки.
4. Постройте хорду, которая проходит через точку на данной окружности и которая удалена от центра окружности на данное расстояние.Вариант 3
1. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при вершине.
2. Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему острому углу.
3. Постройте прямую, проходящую через данную точку, лежащую внутри данного угла и образующую равные углы с его сторонами.
4. В данной окружности постройте диаметр, продолжение которого находится на данном расстоянии от данной точки, внешней по отношению к данной окружности.Вариант 4
1. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, опущенной на боковую сторону.
2. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и гипотенузы.
3. Постройте треугольник по стороне, опущенной на нее высоте и проведенной к ней медиане.
4. Постройте окружность, которая касается данной прямой и данной окружности в данной на ней точке.21*, 22*, 23*. Парабола, эллипс, гипербола
Вариант 1
1. Расстояние от фокуса параболы до директрисы равно 6 см. Чему равно расстояние от вершины параболы до директрисы.
2. Расстояние между фокусами эллипса равно 6 см. С помощью циркуля и линейки постройте несколько точек эллипса, если c = 10 см.
3. Точка A лежит на гиперболе и удалена от одного из фокусов на 3 см. Найдите расстояние от A до другого фокуса, если c = 4 см.Вариант 2
1. С центром в точке A параболы и радиусом, равным расстоянию от этой точки до фокуса параболы, проведена окружность. Как эта окружность расположена по отношению к директрисе параболы?
2. Точка A эллипса принадлежит прямой, проходящей через его фокусы. Расстояние от A до одного из фокусов равно 2 см. Чему равно расстояние между фокусами, если c = 6 см.
3. Точка A лежит на гиперболе и удалена от его фокусов на расстояния 7 см и 4 см. Найдите константу c этой гиперболы.Вариант 3
1. Даны две точки параболы и ее директриса. Постройте фокус параболы. Сколько решений имеет задача?
2. Расстояние между фокусами F1, F2 эллипса равно 6 см. Точка A удалена от фокусов соответственно на 2 см и 8 см. Как расположена касательная к эллипсу, проведенная через точку A, по отношению к прямой F1F2?
3. Расстояние между фокусами гиперболы равно 6 см. Чему равно наименьшее расстояние от точек гиперболы фокусов, если c = 4 см.Вариант 4
1. Докажите, что касательная к параболе, проведенная через точку пересечения оси и директрисы, образует с осью параболы угол 45o.
2. Расстояние между фокусами F1, F2 эллипса равно 4 см. Найдите наибольшее расстояние от середины O отрезка F1F2 до точек эллипса, если c = 10 см.
3. Расстояние между фокусами F1, F2 гиперболы равно 4 см. С помощью циркуля и линейки постройте касательную, проходящую через точку A гиперболы, удаленную от фокусов на 6 см и 3 см.24*, 25*. Графы, теорема Эйлера
Вариант 1
1.
Нарисуйте любой граф. Сколько у него вершин и ребер? Определите индекс каждой вершины.
2. Будет ли граф, изображенный на рисунке 40, уникурсальным? Почему?
3. Нарисуйте граф, имеющий 5 вершин, который:а) является связным;
б) не является связным.4. На какое наибольшее число частей разбивается плоскость при пересечении двух треугольников?
Вариант 2
1. Нарисуйте любой граф, имеющий 7 вершин. Сколько у него ребер? Определите индекс каждой вершины.
2. Будет ли граф, изображенный на рисунке 41, уникурсальным? Почему?
3. Сколько ребер имеет дерево, у которого В вершин?
4. На какое наибольшее число частей разбивается плоскость при пересечении двух четырехугольников?Вариант 3
1. Нарисуйте любой граф, имеющий 6 вершин. Определите индекс каждой вершины и число его ребер.
2. Будет ли граф, изображенный на рисунке 42, уникурсальным? Почему?
3. Из данного на рисунке 43 графа удалите часть ребер таким образом, чтобы новый граф был деревом с вершинами данного графа.
4. При пересечении треугольника и четырехугольника плоскость разбилась на 8 частей. Найдите число точек пересечения, которое могут иметь эти фигуры.
Вариант 4
1. Каким свойством должен обладать уникурсальный граф, чтобы у него не совпадали начальная и конечная точки? Нарисуйте такой граф.
2. Сколько ребер нужно удалить из связного графа, имеющего b ребер и b вершин, чтобы получить дерево с теми же вершинами?
3. Лес состоит из k деревьев и имеет b вершин. Найдите число ребер такого графа.
4. Внутри треугольника взято n точек. Они соединены друг с другом и вершинами треугольника. Докажите, что число треугольников в образовавшемся графе четное.26*. Проблема четырех красок
Вариант 1
1. Какое наименьшее число красок нужно взять, чтобы окрасить карту на плоскости, образованную двумя прямыми?
2. Какое минимальное число красок потребуется, чтобы раскрасить карту, образованную тремя концентрическими окружностями?
3. Сколько красок достаточно взять, чтобы раскрасить паркет, изображенный на рисунке 44?
4. Сколько красок достаточно взять, чтобы раскрасить поверхность тетраэдра?Вариант 2
1. Какое наименьшее число красок нужно взять, чтобы окрасить карту на плоскости, образованную тремя пересекающимися прямыми?
2. Какое минимальное число красок потребуется, чтобы раскрасить карту, образованную двумя концентрическими окружностями, имеющими 4 перегородки (рис. 45)?
3. Сколько красок достаточно взять, чтобы раскрасить паркет, составленный из квадратов и треугольников, изображенный на рисунке 46?
4. Сколько красок достаточно взять, чтобы раскрасить поверхность октаэдра?
Вариант 3
1. Какое наименьшее число красок нужно взять, чтобы окрасить карту на плоскости, образованную четырьмя пересекающимися прямыми?
2. Какое минимальное число красок потребуется, чтобы раскрасить карту, образованную двумя концентрическими окружностями, имеющими 5 перегородок (рис. 47)?
3. Сколько красок достаточно взять, чтобы раскрасить паркет, составленный из квадратов и правильных восьмиугольников, изображенный на рисунке 48?
4. Сколько красок достаточно взять, чтобы раскрасить поверхность куба?
Вариант 4
1. Какое наименьшее число красок нужно взять, чтобы окрасить карту на плоскости, образованную n пересекающимися прямыми?
2. Какое минимальное число красок потребуется, чтобы раскрасить карту, образованную двумя концентрическими окружностями, имеющими 2n перегородок?
3. Сколько красок достаточно взять, чтобы раскрасить паркет, составленный из квадратов и правильных треугольников, изображенный на рисунке 49?
4. Сколько красок достаточно взять, чтобы раскрасить поверхность додекаэдра?
