7 класс

Наиболее трудные уроки

Данные уроки взяты из готовящегося к изданию методического пособия «Уроки геометрии в 7 классе» Л.С. Карнацевич и С.П. Ильченко к учебнику А.В. Погорелова «Геометрия, 7–11».

Темы уроков «Геометрическое место точек» и «Доказательство от противного» подобраны так, чтобы первую из них учитель мог использовать на своих уроках в III или IV четверти. Вторую же (очевидно, она уже будет изучена к этому времени) – на уроках, где предполагается решать задачи методом от противного, и можно будет учесть методические рекомендации, приведенные в разработке данной темы.

Объем материала для указанных уроков достаточно велик. Это сделано для того, чтобы позволить учителю выбрать для себя ту его часть, которая для него наиболее приемлема.

На этих уроках основная часть времени отводится на изучение нового материала, поэтому проверка домашнего задания не предусматривается.

Урок по теме «Доказательство от противного»

Цель урока: ознакомить учащихся со способом доказательства от противного.

Методические рекомендации. Два урока, отводимые на изучение данной темы, могут быть построены по-разному: на первом учитель доказывает теорему 2.3 учебника и на данном примере разъясняет сущность способа доказательства от противного; второй урок – закрепление изученного материала с помощью систем упражнений. Или на первом уроке учитель знакомит учащихся с новым способом доказательства на уже известных ученикам более простых примерах рассуждений, а на втором уроке закрепляет способ доказательства от противного доказательством теоремы 2.3.

Покажем, как это можно сделать во втором случае. Он нам кажется более удачным, так как не объединяются две трудности – новый способ доказательства и его применение на непростом примере теоремы 2.3.

Учителю следует обратить внимание на две характерные ошибки, которые допускают учащиеся при использовании этого способа.

Первая ошибка – это то, что делается предположение, противоположное не тому, что требуется доказать, а тому, что задано в условии задачи или теоремы.

Вторая, не менее существенная ошибка – это неумение в отдельных случаях правильно сформулировать отрицание утверждения, которое требует доказательства. Вот один из примеров такой ошибки.

•  Составить утверждение, противоречащее высказыванию: «Число a больше 5».

Возможный ответ: число a меньше 5.

Если бы ученик в заданном по условию высказыванию применил частицу «не», его ответ был бы верен: «Число a не больше 5», т. е. число a меньше или равно 5. Действительно, если a < 5 или a = 5, то это противоречит условию a > 5. Ясно, что при первом варианте ответа утерян один из возможных случаев, без которого решение задания становится неполным.

Поэтому, чтобы не допускать ошибки такого рода, важно с самого начала приучить учащихся формулировать отрицание утверждений, используя частицу «не» или соответствующие ей выражения: «неверно, что...», «нельзя» и т. п., т. е. следует избегать применения утвердительной формы предложений, как это было в приведенном выше примере.

В тех случаях, когда некоторое утверждение содержит отрицание какого-либо факта с помощью оборота «не», то исключив этот оборот из предложения, мы получим отрицание данного утверждения. Только после этого можно приступить к анализу ситуаций, вытекающих из сделанного предположения.

Заметим, что два утверждения, одно из которых является отрицанием другого, называют противоположными или противоречащими друг другу.

Ход урока

1^о. Изучение нового материала. Урок можно начать с рассказа учителя. В Древней Греции всех ораторов учили геометрии. На дверях школы было написано: «Не знающий геометрии да не войдет сюда». Геометрия учит доказывать, а речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает свои выводы.

В своих рассуждениях люди часто используют способ доказательства, который называется доказательством от противного. Приведем примеры таких доказательств.

Пример 1. Врач после осмотра больного ребенка доказывает родителям, почему у него нет кори: если бы у ребенка была корь, то на его теле была бы сыпь, но ее нет. Значит, у ребенка нет кори.

Пример 2. Разведчики получили задание: выяснить, находится ли в данном селе танковая колонна противника. Командир разведки доказывает: если бы в селе была танковая колонна, то были бы следы гусениц, а их не обнаружили, значит, в селе нет танковой колонны.

Схема рассуждения командира. Требуется доказать: в селе нет танковой колонны.

1. Предположим противное тому, что требуется доказать: колонна есть.
2. Из этого следует, что должны быть следы гусениц.
3. Но их нет. Имеем противоречие между тем, что утверждается в одном предложении (должны быть следы гусениц) и отрицается в другом (следов нет).
4. Вывод: в селе нет танковой колонны.
Врач также рассуждал по аналогичной схеме.

В чем же заключается сущность способа доказательства от противного?

Вывешивается таблица*.

Далее учитель отмечает, что одним из важных моментов при доказательстве методом от противного является умение правильно сформулировать предложение, противоположное тому, что требуется доказать. В повседневной речи для того, чтобы выразить отрицание, иначе – невозможность какого-либо события, факта или ситуации, мы часто используем частицу «не», либо иные соответствующие ей выражения: «неверно, что...», «нельзя» и т. п. Точно так же надо поступать, чтобы получить отрицание какого-нибудь математического утверждения. Только после этого можно приступить к анализу возможных ситуаций, вытекающих из сделанного предположения.

Упражнения

Составьте отрицания следующих утверждений.

•  Точка A принадлежит отрезку CD.
• · Прямые a и b пересекаются.

[Прямые a и b не пересекаются. Значит, они параллельны.]

•  Угол A тупой.

[Угол A не тупой. Значит, он либо прямой, либо острый.]

•  Число a меньше нуля.

[Число a не меньше нуля. Следовательно, a = 0 либо a > 0.]

•  Все данные прямые проходят через точку A.

[Не все данные прямые проходят через точку A, т. е. по крайней мере одна из них не проходит через точку A.]

В следующих предложениях необходимо убрать оборот «не», чтобы получить отрицание утверждений.

•  Прямые a и b не параллельны.
•  Через точки A, B и C нельзя провести прямую.

[Через точки A, B и C можно провести прямую.]

•  Луч b не пересекает ни одного отрезка с концами на сторонах угла A.

[Луч b пересекает по крайней мере один отрезок с концами на сторонах угла, т. е. луч b проходит между сторонами этого угла.]

2^о. Решение задач. Решение всех предложенных задач оформляется на доске и в тетрадях учащихся.

Задача 41 (§ 1). (Опорная задача.) Дано: a пз b. Прямая c пересекает a в точке O (рис. 1).

Доказать: прямая c пересекает прямую b.

Доказательство. Точка O О a и O О c как точка пересечения прямых a и c. Но O П b, так как параллельные прямые a и b не пересекаются, т. е. не имеют общих точек. Следовательно, прямые b и c – различные, поскольку O О c и O П b.

1. Предположим, что прямая c не пересекает прямую b. Значит, c пз b.
2. Тогда через точку O, не принадлежащую прямой b, проходит более одной прямой (a и c), параллельных прямой b.
3. Это противоречит аксиоме IX.
4. Следовательно, если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Задача 1. Дано: углы (ac) и (bc) – тупые (рис. 2).

Доказать: луч c не проходит между сторонами угла (ab).

Доказательство.

1. Предположим, что луч c проходит между сторонами угла (ab).
2. Следовательно, по аксиоме V измерения углов Р (ac) + Р (bc) = Р (ab).
По условию Р (ac) > 90° и Р (bc) > 90°, поэтому Р (ab) > 180°.
3. Это противоречит аксиоме V, так как градусная мера угла не больше 180°.
4. Значит, луч c не проходит между сторонами угла (ab).

Задача 2. От луча a в одну полуплоскость отложены углы (ab) и (ac). Проходит ли сторона большего угла (ac), отличная от луча a, между сторонами меньшего угла (ab)?

Решение. 

1. Предположим, что луч c проходит между сторонами угла (ab).
2. Тогда по аксиоме V Р (ac) + Р (cb) = Р (ab), т. е. Р (cb) = Р (ab) – Р (ac).
Значит, Р (cb) < 0, так как Р (ab) < Р (ac).
3. Это противоречит аксиоме V измерения углов.
4. Вывод: сторона большего угла не проходит между сторонами меньшего угла.

Полученный результат этой задачи с учетом следствия из задачи 22 (§ 2) позволяет сделать вывод:

если от данной полупрямой отложить в полуплоскость два угла, то сторона меньшего угла, отличная от данной полупрямой, проходит между сторонами большего угла.

Для лучшего усвоения метода доказательства от противного и экономии времени можно использовать многоразовые карточки-подсказки, сделанные из плотной бумаги, вставленные в полиэтиленовые пакеты, на которых выполняются записи. Карточки имеют следующий вид:

1 Предположим, что...
2 Из предположения следует...
3 На основании ... Это противоречит...
4 Значит...

Урок по теме «Геометрическое место точек»

Цели урока. Познакомить учащихся с понятием геометрического места точек. Решение задач, закрепляющих данное понятие.

Комментарий для учителя. На этом уроке учащиеся впервые знакомятся с понятием геометрического места точек. Обычно оно усваивается постепенно с преодолением ряда трудностей, возникающих, как правило, при уяснении смысла, который вкладывается в содержание этого понятия. Учащихся зачастую ставит в тупик вопрос: для чего вообще нужно это понятие и зачем для обоснования того, что «некоторая фигура является геометрическим местом точек, обладающих определенным свойством», необходимо доказывать два утверждения.

1. Все точки данной фигуры обладают указанным свойством.
2. Все точки с этим свойством принадлежат данной фигуре.

Чтобы ответить на этот вопрос, предлагается задание: из трех разных фигур, точки которых обладают одним и тем же интересующим нас свойством, учащиеся должны выбрать ту из них, которой принадлежат все точки плоскости с этим свойством, и только такие точки. Ученики не опыте убеждаются, что не для каждой из этих фигур могут выполняться оба приведенных выше утверждения.

Заметим, что формулировка определения геометрического места точек, приведенная в учебнике, несколько отличается от тех, которые можно встретить в других курсах геометрии. Отметим лишь, что в учебнике выражение «фигура состоит из всех точек, обладающих данным свойством», по смыслу равносильна высказыванию «фигура содержит все точки плоскости с данным свойством, и только такие точки».

Принимая во внимание трудности, с которыми учащиеся столкнутся при изучении данной темы, целесообразно дать им общий план решения задач на нахождение геометрического места точек:

1. Выделить из условия задачи свойство, которым должны обладать точки искомой фигуры.
2. Построить ряд отдельных точек, обладающих этим свойством.
3. Установить закономерность в расположении точек и изобразить фигуру, которой они принадлежат.
4. Уточнить, все ли точки найденной фигуры принадлежат искомому геометрическому месту точек, или, наоборот, есть ли недостающие.
5. Доказать, что для этой фигуры выполняется каждое из условий 1 и 2.

Ход урока

1^о. Изучение нового материала. Определение геометрического места точек. Урок можно начать с беседы. На доске изображена дуга A₁A₄ окружности (фигура F₁, рис. 3). Числа на рисунке указывают расстояние точек фигуры до точки O (в см).

Вопросы к классу.

•  Каким свойством обладают точки A₁–A₄ фигуры F1, изображенной на рисунке, по отношению к точке O?

[Точки A₁–A₄ находятся на одинаковом расстоянии от точки O.]

•  Есть ли на плоскости точки, не принадлежащие фигуре F₁, которые обладают данным свойством?

[Да. На рисунке отмечается точка A₅ П F₁.]

• Какая фигура состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от точки O?

[Окружность. Появляется фигура F₂.]

• Изобразите фигуру, состоящую из точек окружности и всех ее внутренних точек.

[На доске изображается круг радиуса 20 см, внутренняя часть которого штрихуется (фигура F₃).]

По ходу беседы учащиеся выполняют рисунки в своих тетрадях.

• Все ли точки фигуры F₃ удалены от точки O на расстояние, равное 20 см?

[Нет. На рисунке указывается точка D, для которой расстояние OD меньше 20 см.]

Следует обратить внимание учащихся на то, что все три рассмотренные фигуры имеют точки с одним и тем же свойством. А именно, все эти точки находятся на одинаковом расстоянии от точки O.

Предлагается задание: отметить знаком «+» фигуры, для которых выполняются следующие два условия:

1) каждая точка фигуры обладает данным свойством;
2) каждая точка плоскости, обладающая данным свойством, принадлежит фигуре.

Далее учитель, указывая на различие результатов, полученных для отдельных фигур (рис. 201 учебника), замечает, что при решении ряда задач важно найти вид фигуры, для которой выполнялись бы оба условия. В этом случае говорят, что фигура состоит из всех точек плоскости, обладающих данным свойством. Она получила особое название: геометрическое место точек**.

Дается определение данного понятия, которое вместе с условиями 1 и 2 ученики записывают в тетрадях.

Вопрос. Какая из трех представленных фигур является геометрическим местом точек, удаленных от данной точки на данное расстояние?

[Окружность.]

2^о. Закрепление рассматриваемого материала. Для лучшего усвоения материала урока надо проработать с учащимися определение введенного понятия, и только после этого приступить к решению задач на нахождение геометрического места точек.

1. В предлагаемых ниже упражнениях учащиеся должны выяснить, можно ли считать геометрическим местом точек, обладающих данным свойством, заданную фигуру. Если нет, то такое условие при этом нарушается. Учащимся можно подсказать, что в этом случае достаточно указать хотя бы одну точку, не удовлетворяющую одному из условий 1 или 2.

• Является ли круг радиуса 10 см геометрическим местом точек, удаленных от центра круга на расстояние:

а) равное 10 см; б) меньшее, чем 10 см?

Ответ: а) Нет. Не выполняется условие 1, так как у круга имеются точки, удаленные от центра на расстояние, меньшее 10 см.

б) Нет, так как круг содержит точки окружности, удаленные от центра на расстояние, равное 10 см, т. е. нарушается условие 1.

•  Можно ли считать отрезок AB данной прямой геометрическим местом точек, лежащих между двумя ее точками A и B?

Ответ: Да. По определению отрезок состоит из всех точек прямой, лежащих между двумя ее данными точками.

•  Является ли отрезок AB данной прямой геометрическим местом точек, лежащих на этой прямой по одну сторону от A?

Ответ: Нет, так как не все точки данной прямой, лежащие вместе с точкой B по одну сторону от точки A, принадлежат отрезку AB, т. е. не выполняется условие 2.

•  Какая фигура является геометрическим местом точек прямой AB, лежащих вместе с точкой B по одну сторону от точки A?

Ответ: Луч AB, так как по определению луч состоит из всех точек прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки.

2. После того, как учащиеся немного освоились с понятием геометрического места точек, можно приступить к следующему этапу: нахождению фигур, являющихся геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством. Дается общий план решения задач этого типа. Однако, на данном уроке не следует требовать от учащихся полного обоснования их решения. Искомое геометрическое место точек рекомендуется выделять на рисунке жирными линиями, штриховкой или цветом. Следующие задания носят практический характер.

•  Изобразите на рисунке геометрическое место точек, принадлежащих данной прямой, которые удалены от ее точки D на расстояние:

а) равное 2 см; б) более 2 см; в) не более 2 см.

Ответ: а) Точки A и B;    б) лучи a и b с началом в точках A и B;   в) отрезок AB, включая его концы (рис. 4).

 

•  Найдите геометрическое место центров окружностей радиуса R, проходящих через данную точку A.

Ответ: Центры всех окружностей удалены от точки A на одно и то же расстояние R. Следовательно, они принадлежат окружности с центром в точке A и радиуса R. Эта окружность и является искомым геометрическим местом точек (рис. 5).

•  Что можно сказать о геометрическом месте точек, одинаково удаленных от двух параллельных прямых a и b?

Ответ: Учащиеся с помощью угольника из точек прямой a опускают ряд перпендикуляров на прямую b. Утверждается, что середины этих перпендикуляров принадлежат одной прямой c. Делается предположение: c пз b, так как параллельные прямые – равноотстоящие (вывод из задачи 50 (§ 4)). Тогда c пз a (теорема 4.1 учебника). Таким образом, искомое геометрическое место точек – прямая c, параллельная прямым a и b и отстоящая от них на одинаковом расстоянии (рис. 6).

Учитель замечает, что строгое доказательство последней задачи будет рассмотрено на следующем уроке.

3^о. Задание на дом.

Ответьте на вопросы.

1) Что называется геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством?
2) Укажите условия, при которых данная фигура является геометрическим местом точек.
3) Приведите пример геометрического места точек.

Решите задачи.

1) Найдите геометрическое место центров окружностей радиуса r, касающихся внешним образом окружности с центром O и радиуса R.
2) Точки отрезка одинаково удалены от двух параллельных прямых a и b. Будет ли отрезок геометрическим местом точек, равноудаленных от этих прямых?