Новый метод решения
планиметрических задач

8 класс

Предисловие

Математика как школьный предмет дает учащимся не только общее развитие, но и в огромной степени способствует становлению правильного логического мышления через задачи.
Умение решать задачи вообще и геометрические задачи в частности является важнейшим фактором для формирования умственных структур, функционирующих как устойчивые личностные образования.
Известно, что мыслительные процессы у человека протекают в форме образов, поэтому в геометрической задаче первостепенную роль играет чертеж, являющийся средством создания геометрического образа по словесному описанию.
В планиметрии существует целый класс таких задач, к которым традиционные методы (метод цепочек равных треугольников, метод геометрических преобразований, векторный метод и др.) либо вовсе не применимы, либо дают сложные и громоздкие решения. Во многих случаях решать такого рода задачи помогает введение в чертеж дополнительных линий – так называемое дополнительное построение (ДП). В одних случаях эти построения напрашиваются сами собой, в других они не так очевидны и требуют от решающего достаточно большого опыта, изобретательности, геометрической интуиции.
Так, чертеж данной в задаче фигуры можно достраивать до фигуры другого типа, можно с многоугольной фигурой связывать окружность, а можно целью дополнительного построения ставить выделение на чертеже равных, равновеликих или подобных фигур.
Автор берет на себя смелость утверждать, что использование в планиметрических задачах дополнительных построений можно рассматривать как специальный метод решения этих задач. Назовем его методом дополнительных построений.
Автор признателен своим бывшим дипломникам Е.М. Дуровой (1990 г.) и М.Н. Игольченко (1995 г.) за творческий поиск практического материала, связанного с методом ДП.

Дополнительное построение (ДП) на чертеже плоской фигуры как метод решения планиметрических задач

Суть метода дополнительных построений заключается в том, что чертеж к задаче, на котором трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, дополняется новыми (вспомогательными) элементами, после чего эти связи становятся более ощутимыми или даже очевидными.

Типизация дополнительных построений (ДП-типизация) на чертежах плоских фигур

Существуют задачи, в которых дополнительное построение определяет единственный способ решения; в них решение, как правило, начинается с такого построения. В других задачах используется смешанный прием решения, когда ДП реализует лишь часть решения. В третьих задачах оно применяется как один из возможных методов наряду с другими, хотя может и не являться лучшим. Во многих случаях применение дополнительного построения делает решение задачи устным.

Часто решающий задачу интуитивно использует дополнительное построение, но, не выделяя его как метод, может не увидеть целесообразности его применения в других, более сложных или даже аналогичных задачах.

Как узнать, какое ДП следует выполнять в том или ином случае? Ответ на этот вопрос дает своего рода классификация дополнительных построений, связанная с характерными признаками фигуры, данной в задаче. Тщательный анализ решений достаточно большого количества задач, в которых ДП используется прямо или косвенно, показал, что целесообразность применения того или иного ДП зависит от этих признаков. Указанную классификацию мы назвали ДП-типизацией.

Приведем полностью эту типизацию.

ДП₁. Если в треугольнике задана медиана, то треугольник достраивается до параллелограмма с центром в основании этой медианы (рис. 1)¹.

В зависимости от содержания задачи такое достраивание можно выполнять для одной, двух или даже трех медиан. При этом возможно использование не всего параллелограмма, а лишь его части (например, треугольника ABA₂).

ДП₂. Если в треугольнике задана некоторая трансверсаль², то через ее основание внутрь треугольника проводится луч, параллельный стороне, до его пересечения с другой стороной (рис. 2).

В результате ДП₂ на чертеже возникает ситуация Фалеса: РACB и секущие (A₁A₂) || (AB), что определяет на сторонах пропорциональные отрезки:

.

В частном случае, когда трансверсаль AA₁ является медианой, A₂ – середина стороны AC.

ДП₃. Если в треугольнике заданы медиана и некоторая произвольная трансверсаль (в том числе – высота, биссектриса или вторая медиана), проведенные из разных вершин, то через основание медианы внутрь треугольника проводится луч, параллельный данной трансверсали, до его пересечения со стороной треугольника (рис. 3).

В результате ДП₃ на чертеже возникают две ситуации Фалеса:

1) РACB и секущие (A₁A₂) || (BB₁);
2) РA₁AC и секущие (MB₁) || (A₁A₂), где M = (AA₁) З (BB₁).

Из первой ситуации следует, что A₂ – середина [B₁C], а из второй – справедливость соотношения

ДП₄. Если в треугольнике заданы две произвольные трансверсали, проведенные из разных вершин, то через основание одной из них внутрь треугольника проводится луч, параллельный другой трансверсали, до его пересечения со стороной треугольника (рис. 4).

Как видим, ДП₄ отличается от ДП₃ лишь тем, что здесь первая ситуация Фалеса дает не равные, а пропорциональные отрезки.

Построения ДП₂–ДП₄ создают попутно во многих случаях ситуацию известной леммы о подобии. Так, на рисунке 3 и рисунке 4,а) прямая MB₁ отсекает от треугольника AA₁A₂ гомотетичный ему треугольник AMB₁ с центром гомотетии A, а прямая A₁A₂ – треугольник CA₁A₂, гомотетичный треугольнику CBB₁ с центром гомотетии C.

ДП₅. Если в треугольнике заданы две трансверсали, проведенные из разных вершин, то через начало одной из них (вершину треугольника) проводится прямая, паралельная стороне треугольника, до пересечения с продолжением другой трансверсали (рис. 5)³.

В результате построения, описанного в ДП₅, возникли две пары гомотетичных треугольников.

Так, на рисунке 5,а) DAMB₂ и DA₁MB с центром гомотетии M;
DAB₁B₂ и DCB₁B с центром гомотетии B₁;
на рис. 5,б) DAMB₁ и DA₂MB с центром гомотетии M;
DAA₁C и DA₂A₁B с центром гомотетии A₁.

ДП₆. Если в треугольнике заданы некоторая трансверсаль и отрезок с концами на двух сторонах треугольника⁴, пересекающий эту трансверсаль и не параллельный третьей стороне, то:

1) либо данный отрезок продолжается в обе стороны до пересечения с продолжением третьей стороны и с прямой, параллельной этой стороне и проходящей через вершину, из которой выходит трансверсаль (рис. 6);

2) либо через основание трансверсали и одну из вершин, не совпадающих с ее началом, внутрь треугольника проводятся лучи, параллельные данному отрезку, до пересечения со стороной треугольника (рис. 7).

В случае 1 на чертеже появляются три пары гомотетичных треугольников с центрами гомотетий в концах данного отрезка и в точке его пересечения с данной трансверсалью. На рисунке 6 имеем:

DAPQ₁гомотетичен   DBPP₁ (P – центр гомотетии),
DAQQ₁ гомотетичен DCQP₁ (Q – центр гомотетии),
DAMQ₁ гомотетичен DA₁MP₁ (M – центр гомотетии).

В случае 2 возникает несколько ситуаций Фалеса. На рисунке 7,а) их четыре – они связаны с углами BAB₁, BAN, A₁AA₂, BCB₁; однако первые три из них взаимозависимы, поэтому оставим две «рабочие» ситуации: РA₁AA₂ и секущие (MQ) || (NB₁) || (A₁A₂); РBCB₁ и секущие (A₁A₂) || (BB₁).

На рисунке 7,б) имеем три ситуации Фалеса: РA₁AA₂ и секущие (NB₁) || (MQ) || (A₁A₂); РBA₁N и секущие (PM) || (BN); РBCB₁ и секущие (A₁A₂) || (PQ) || (BB₁).

ДП₇. Если в треугольнике задан отрезок с концами на его сторонах и если продолжение этого отрезка пересекает прямую, содержащую третью сторону треугольника, то:

1) либо отрезок продолжается до пересечения с прямой, проведенной через вершину треугольника параллельно третьей стороне (рис. 8);

2) либо через другой конец⁵ данного отрезка внутрь треугольника проводится луч, параллельный одной из сторон, до его пересечения с другой стороной (рис. 9).

На рисунке 9,б) DPP₁A гомотетичен DQP₁Q₁ (P₁ – центр гомотетии); DACB гомотетичен DQ₁CQ (C – центр гомотетии).

ДП₈. Если дан прямоугольный треугольник, то он достраивается до равнобедренного треугольника, в котором один из катетов данного треугольника становится высотой (медианой и биссектрисой), а другой – половиной основания (рис. 10).

Ясно, что ДП₈ сводится к построению точки, симметричной вершине острого угла треугольника относительно прямой, проходящей через катет, не содержащий эту вершину: A₁ = S_(BC) (A), B₁ = S_(AC) (B).

ДП₉. Если дана конструкция, в которой участвуют перпендикулярные прямые или отрезки, а также фигуры с прямыми углами, то в чертеж вводится прямоугольный треугольник, подходящим образом связанный с данными элементами.

ДП₁₀. Если дана трапеция, то ее диагональ или боковая сторона переносятся на вектор, определяемый одним из оснований (рис. 11).

ДП₁₁. Если в треугольнике, параллелограмме или трапеции задана биссектриса одного из внутренних углов, то в чертеж вводится ромб, две стороны которого направлены по сторонам данной фигуры, а эта биссектриса является одной из диагоналей (рис. 12–14).

В некоторых случаях полезно рассматривать не весь ромб, а его часть – равнобедренный треугольник, одной из боковых сторон которого служит сторона данной фигуры, а основанием – данная биссектриса (рис. 13, рис. 14,а)).

ДП₁₂. Если в треугольнике, параллелограмме или трапеции задана биссектриса одного из внутренних углов, то в чертеж вводится треугольник, одна из сторон которого содержит эту биссектрису, вторая совпадает со стороной исходной фигуры, а третья либо параллельна другой стороне этой фигуры, либо получается при ее продолжении (рис. 15–17).

Для выполнения ДП₁₂ достаточно продолжить биссектрису до пересечения с прямой, параллельной стороне данного треугольника или проходящей через сторону данного параллелограмма и трапеции.

Отметим, что построенный треугольник – равнобедренный (его основанием является сторона, содержащая данную биссектрису). В самом деле, углы, прилежащие к этой стороне, равны, так как угол с вершиной в точке пересечения указанных линий является накрест лежащим с одним из углов, на которые биссектриса делит угол данной фигуры.

ДП₁₃. Если в параллелограмме или трапеции через две смежные вершины проведены внутренние лучи этих фигур (в том числе диагональный луч), то строятся точки пересечения этих лучей с параллельными сторонами данных фигур или их продолжениями (рис. 18).

В результате выполнения ДП₁₃ на чертеже возникает две пары гомотетичных треугольников. На рисунке 18,а) центрами гомотетий таких треугольников служат точки O и B₁, а на рисунке 18,б) – точки O и D₁.

ДП₁₄. Если дана трапеция, то посредством продолжения боковых сторон она достраивается до треугольника (рис. 19).

ДП₁₅. Если дан прямоугольный треугольник, то вокруг него описывается окружность, центром которой является середина гипотенузы (рис. 20).

ДП₁₆. Если дан четырехугольник, у которого суммы противоположных углов равны, то вокруг него описывается окружность (рис. 21).

В частности, признаком существования для четырехугольника описанной окружности обладают квадрат, прямоугольник и равнобедренная трапеция.

ДП₁₇. Если дан четырехугольник, у которого суммы противоположных сторон равны, то в него вписывается окружность (рис. 22).

ДП₁₈. Если в треугольнике заданы биссектриса и медиана или биссектриса и серединный перпендикуляр, проведенные к одной и той же стороне, то около треугольника описывается окружность, а биссектриса продолжается до пересечения с нею (рис. 23).

Продолжение биссектрисы и серединный перпендикуляр (проходящий через основание медианы) встретятся в середине дуги, стягиваемой стороной, к которой они проведены.

Замечание. Построение, описанное в ДП₁₈, позволяет строить биссектрису внутреннего угла треугольника, не прибегая к делению угла пополам: достаточно через центр окружности, описанной около треугольника, провести радиус, перпендикулярный противолежащей стороне, и конец его соединить с вершиной угла.

ДП₁₉. Если даны две окружности разных радиусов (пересекающиеся в двух точках, касающиеся внешним образом или не имеющие общих точек) с общей касательной (или секущей, проходящей через одну из точек пересечения окружностей), то через центр меньшей окружности проводится прямая, параллельная данной касательной (или секущей), до пересечения с радиусом большей окружности, идущим в точку касания, или с его продолжением (рис. 24).

Результатом ДП₁₉ является прямоугольный треугольник, для которого вершины острых углов совпадают с центрами данных окружностей, один из катетов равен отрезку касательной, заключенному между точками касания (или половине отрезка секущей, расположенного внутри окружностей), а другой – разности (для случая с внешней касательной) или сумме (для случая с внутренней касательной) радиусов этих окружностей. Заметим, что в случае касания данных окружностей (рис. 24,в)) гипотенуза указанного треугольника (DO₁O₂A') равна сумме их радиусов (| O₁O₂ | = R₁ + R₂), поэтому для расстояния между точками касания окружностей с их общей внешней касательной имеет место формула

ДП₂₀. Если даны две окружности с общей внешней касательной, касающиеся друг друга внешним образом, то в рассмотрение вводится треугольник, вершинами которого служат три точки касания данных фигур (рис. 25).

Введенный в ДП₂₀ треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине, совпадающей с точкой касания данных окружностей. На рисунке 25 это треугольник AA₁A₂. Докажем, что РA₁AA₂ = 90°.

DO₁AA₁ и DO₂AA₂ – равнобедренные. Обозначим через a и b углы при основаниях этих треугольников; тогда 2a – внешний угол при вершине O₁ первого из них, 2b – внешний угол при вершине O₂ второго. Но это внешние односторонние углы при (O₁A₁) || (O₂A₂) и секущей O₁O₂, вследствие чего 2a + 2b = 180°, откуда a+b=90°. Тогда РA₁AA₂ = 180° – (РA₁AO₁ + РA₂AO₂) = 180° – (a + b) = 180° – 90°, что и требовалось доказать.

---

¹ На чертежах здесь и в дальнейшем все ДП выполняются штриховыми линиями.
² Трансверсаль треугольника – это отрезок прямой, проведенный через его вершину, заключенный внутри треугольника.
³ Идея ДП_5–7 и ДП₁₃ принадлежит М.Н. Игольченко.
⁴ ДП6 не исключает и тот случай, когда один из концов заданного отрезка принадлежит продолжению стороны треугольника (рис. 6, б)).
⁵ Здесь под другим концом данного отрезка подразумевается тот, который отстоит от третьей стороны дальше, чем первый.