Министерство образования Российской Федерации
Выпускная экзаменационная работа
(2000-2001учебный год)№ 2–01 А–11–МК
Вариант 1
1. Среди комплексных чисел z с аргументом
найдите все такие, для которых Im (8z – z3) = 0 (z 0).
2. Решите уравнение 2 | cos x | – 3cos x – 4 | sin x | – 5sin x = 0.
3. Решите систему уравнений
4. Найдите все первообразные (F(x)) функции f(x) = 6x – 2, для которых выполняются два условия: на промежутке (1; 2) графики функций f(x) и F(x) не имеют общих точек и площадь фигуры, ограниченной этими графиками и прямыми x = 1 и x = 2, равна 1.
5. Исследуйте на выпуклость функцию
и, используя полученный результат, сравните числа
6. При каких значениях параметра a ровно три точки графика функции y = 4x3 + 2x2 + a равноудалены от осей координат?
Вариант 2
1. Среди таких комплексных чисел z, что
найдите числа с аргументом
2. Решите уравнение 4 | cos x | + 6cos x – 5 | sin x | + 3sin x = 0.
3. Решите систему уравнений
4. Найдите все первообразные (F(x)) функции f(x) = 6x + 2, для которых выполняются два условия: на промежутке (2; 3) графики функций f(x) и F(x) не имеют общих точек и площадь фигуры, ограниченной этими графиками и прямыми x = 2 и x = 3, равна 11.
5. Исследуйте на выпуклость функцию y = x100 и, используя полученный результат, сравните числа
6. При каких значениях параметра a ровно три точки графика функции y = x3 – x2 + a равноудалены от осей координат?
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
№ 3–01 А–11–МК
Вариант 1
1. Найдите критические точки, промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции
.
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции f(x) = (x – 1)*| x |.
3. Решите неравенство
4. Известно, что комплексные числа z и
имеют одинаковый модуль. В каких пределах может изменяться значение этого модуля?
5. При каких значениях параметра a уравнение sin2 x – a2cos x = a имеет нечетное число корней на промежутке (– 7p; 7p]?
6. Решите неравенство
(Не разрешается использовать микрокалькулятор и таблицы.)
Вариант 2
1. Найдите критические точки, промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции g(x) = | x |*(x + 2).
3. Решите неравенство
4. Известно, что комплексные числа
имеют одинаковый модуль. В каких пределах может изменяться значение этого модуля?
5. При каких значениях параметра a уравнение sin2 x + 2acos x = a2 имеет нечетное число корней на промежутке (– 5p; 5p]?
6. Решите неравенство
(Не разрешается использовать микрокалькулятор и таблицы.)
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
№ 4–01 А–11–МК
Вариант 1
1. Найдите все комплексные числа с положительной мнимой частью, удовлетворяющие уравнению z2+15–8i=0.
2. Изобразите на координатной плоскости (x; y) множество точек, удовлетворяющих системе неравенств
и вычислите площадь фигуры, состоящей из этих точек.
3. Напишите уравнение касательной к графику функции y = f(x), где
не имеющей общих точек с прямой y = x.
4. Какова вероятность того, что четырехзначное число, в десятичной записи которого используются по одному разу цифры 5; 2; 3; 1, и только они, делится на 4?
5. Решите неравенство
6. При каких значениях параметра a существует хотя бы одно значение b такое, что на промежутке (b;b+4p) уравнение 3cos x + 4sin x = a имеет ровно один корень? Для каждого такого a укажите все значения b.
Вариант 2
1. Найдите все комплексные числа с отрицательной действительной частью, удовлетворяющие уравнению z2–5–12i=0.
2. Изобразите на координатной плоскости (x; y) множество точек, удовлетворяющих условию |y|+x2–2|x|–3Ј0, и вычислите площадь фигуры, состоящей из этих точек.
3. Напишите уравнение касательной к графику функции y = g(x), где
не имеющей общих точек с прямой y = 3x.
4. Какова вероятность того, что четырехзначное число, в десятичной записи которого используются по одному разу цифры 1; 2; 7; 5, и только они, делится на 25?
5. Решите неравенство
6. При каких значениях параметра a существует хотя бы одно значение b такое, что на промежутке (b–2p;b+2p) уравнение 4cos x – 3sin x = a имеет ровно один корень? Для каждого такого a укажите все значения b.
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
№ 5–01 А–11–3-часовая программа
Вариант 1
1. Решите уравнение
2. Найдите наименьшее значение функции f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 7 на промежутке [– 1; 2].
3. Решите уравнение
4. Решите уравнение
5. Решите неравенство
6. Решите систему уравнений
Вариант 2
1. Решите уравнение
2. Найдите наименьшее значение функции f(x)=2x3–3x2–12x–5 на промежутке [– 2; 1].
3. Решите уравнение
.
4. Решите уравнение
5. Решите неравенство
6. Решите систему уравнений
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
№ 6–01 А–12–ВШ–1
Вариант 1
1. Решите уравнение
2. Решите систему уравнений
3. Исследуйте функцию f(x) = x3 + 6x2 – 36x + 5 на возрастание, убывание и экстремумы.
4. Решите уравнение
5. Решите неравенство
6. Решите неравенство
Вариант 2
1. Решите уравнение
2. Решите систему уравнений
3. Исследуйте функцию f(x)=x3–3x2–45x + 7 на возрастание, убывание и экстремумы.
4. Решите уравнение
5. Решите неравенство
6. Решите неравенство
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
№ 7–01 А–12–ВШ–2
Вариант 1
1. Решите неравенство
2. Решите уравнение
3. Упростите выражение
4. Определите абсциссы точек пересечения графиков функций
5. Исследуйте функцию
на монотонность и экстремумы.
6. Решите уравнение
Вариант 2
1. Решите неравенство
2. Решите уравнение
3. Упростите выражение
4. Определите абсциссы точек пересечения графиков функций
5. Исследуйте функцию
на монотонность и экстремумы.
6. Решите уравнение
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
№ 8–01 А–9–МК
Вариант 1
1. Упростите выражение
2. Определите наибольшее и наименьшее значения выражения
3. Два экскаватора, работая совместно, могут вырыть котлован за 48 ч. За какое время каждый из них может вырыть котлован, работая в отдельности, если первому нужно для этого на 40 ч больше, чем второму?
4. Решите систему уравнений
5. Все члены геометрической прогрессии (bn) различны. Между ее вторым и третьим членом можно вставить число z такое, что b1, b2, z и b3 будут являться четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.
6. Найдите все пары (a; b), для которых неравенства x2–x(3 – a)–3aЈ0 и | x – 2 |Јb равносильны.
Вариант 2
1. Упростите выражение
2. Определите наибольшее и наименьшее значения выражения
3. Две трубы, работая вместе, наполнили бассейн за 12 ч. Первая труба, работая в отдельности, наполняет бассейн на 18 ч быстрее, чем вторая. За сколько часов наполняет бассейн вторая труба?
4. Решите систему уравнений
5. Пять различных чисел составляют арифметическую прогрессию. Если удалить ее второй и третий члены, то три оставшихся числа составят геометрическую прогрессию. Найдите ее знаменатель.
6. Найдите все пары (a; b), для которых неравенства x2–x(5+b)+5bЈ0 и |x–7|Јa равносильны.
Указание. Отметка «5» ставится на любые пять верно выполненных заданий.
№ 9–01 А–9–МК
Вариант 1
1. Найдите область определения функции
2. Упростите выражение
3. Докажите, что для угла a из I четверти
выполняется неравенство
4. Решите систему неравенств
5. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 ч быстрее товарного и на 1 ч быстрее пассажирского. Найдите скорости товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного составляет
от скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого поезда.
6. Для каждого значения параметра a решите уравнение x| x – 2 | – a = 0.
Вариант 2
1. Найдите область определения функции
2. Упростите выражение
3. Докажите, что для угла a из II четверти
выполняется неравенство
4. Решите систему неравенств
5. Строительство туннеля велось в три смены с одинаковым планом проходки в каждую смену. Скорость проходки во вторую смену была в 1,2 раза больше, чем в первую, а в третью смену возросла на 0,6 м/ч по сравнению со второй. Вторая смена выполнила план проходки на 1 ч быстрее, чем первая, а третья смена выполнила половину плана на 3 ч быстрее, чем вторая смена весь план. Определите скорость проходки туннеля в первую смену.
6. Для каждого значения параметра a решите уравнение |x2–5x+4|+a=0.
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
№ 11–01 А–11–Д
Вариант 1
1. Решите неравенство log4 (x2 + 3x)Ј1.
2. Исследуйте функцию f(x)=3x4–4x3–36x2+5 на возрастание, убывание и экстремумы. Найдите наибольшее значение функции на промежутке [– 3; 0].
3. Решите уравнение 2sin26x+cos23x=0.
4. Решите уравнение 5*4x+23*10x–10*25x=0.
5. Решите уравнение
.
6. Найдите площадь фигуры, ограниченной снизу графиком уравнения x2+y2=4, а сверху – графиком функции y= –|x|+2.
Вариант 2
1. Решите неравенство log8(x2–2x)Ј1.
2. Исследуйте функцию f(x)=3x4+4x3–36x2–4 на возрастание, убывание и экстремумы. Найдите наибольшее значение функции на промежутке [0; 3].
3. Решите уравнение cos22x+2sin24x=0.
4. Решите уравнение 4*9x+13*12x–12*16x = 0.
5. Решите уравнение
6. Найдите площадь фигуры, ограниченной снизу графиком уравнения x2+y2=9, а сверху – графиком функции y=|x|–3.
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
№ 12–01 А–11
Вариант 1
1. Упростите выражение
2. Решите уравнение
3. Вычислите cos2a, если
4. В правильной четырехугольной призме сумма длин всех 12 ребер равна 160 см. Найдите объем призмы при условии, что площадь ее боковой поверхности является наибольшей.
5. Решите неравенство
6. Решите уравнение
Вариант 2
1. Упростите выражение
2. Решите уравнение
3. Вычислите sin 2a, если
4. В правильной треугольной призме сумма длин всех 9 ребер равна 120 см. Найдите объем призмы при условии, что площадь ее боковой поверхности является наибольшей.
5. Решите неравенство lg (x2 – 7x) і 1 + lg (1 – x).
6. Решите уравнение
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
№ 13–01 А–11
Вариант 1
1. Найдите производную функции
в точке x0 = 9.
2. Решите уравнение
3. Найдите первообразную функции
график которой проходит через точку пересечения прямых y=2x+1 и y=–x+4.
4. Решите уравнение
5. Решите неравенство
6. Решите уравнение
Вариант 2
1. Найдите производную функции
в точке x0=4.
2. Решите уравнение
3. Найдите первообразную функции
график которой проходит через точку пересечения прямых y=x–3 и y=–3x+1.
4. Решите уравнение
5. Решите неравенство
6. Решите уравнение
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
№ 14–01 А–11
Вариант 1
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=2x3–9x2–60x+13 на промежутке [–3; 0].
2. Решите уравнение 62x*54x = 22 500.
3. Решите неравенство log3 (30x – x2)Ј4.
4. Дана функция f(x)=2sin x–3cos x+4. Найдите f '(2p).
5. Решите уравнение
6. При каких значениях a максимум функции f(x)=x3+3x2–45x+a3–3a2+2a–175 равен 0?
Вариант 2
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=2x3+3x2–36x–11 на промежутке [0; 4].
2. Решите уравнение 26x*103x=64 000.
3. Решите неравенство log2(20x–x2)Ј6.
4. Дана функция f(x)=3sin x–2cos x+2. Найдите
5. Решите уравнение
6. При каких значениях a минимум функции f(x)=–x3+6x2+36x+a3+4a2–5a+40 равен 0?
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
№ 15–01 А–11
Вариант 1
1. Найдите множество первообразных функции
2. Решите систему уравнений
3. Найдите координаты тех точек графика функции
касательные в которых параллельны прямой y=3x+4.
4. Решите уравнение 4cos4x–19cos2x+12=0.
5. Решите неравенство
6. Решите уравнение 2cos (px+p)=x2–6x+11.
Вариант 2
1. Найдите множество первообразных функции
2. Решите систему уравнений
3. Найдите координаты тех точек графика функции
касательные в которых параллельны прямой y=2x–5.
4. Решите уравнение 2sin4 x + 15sin2 x–8=0.
5. Решите неравенство
6. Решите уравнение
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
№ 16–01 А–11
Вариант 1
1. Найдите первообразную функции
график которой проходит через точку M(4; – 3).
2. Решите неравенство
3. Решите уравнение
4. Найдите область определения функции
5. Решите систему уравнений
6. Решите неравенство
Вариант 2
1. Найдите первообразную функции
график которой проходит через точку M(9; – 2).
2. Решите неравенство
3. Решите уравнение
4. Найдите область определения функции
5. Решите систему уравнений
6. Решите неравенство
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
№ 17–01 А–11
Вариант 1
1. Решите неравенство 4x–10*2x+16Ј0.
2. Найдите множество первообразных функции
3. Дана функция
Решите уравнение f(x) = f '(x).
4. Решите уравнение
5. Решите уравнение
6. Определите, при каких значениях a уравнение 2x3–3x2–36x+a–3=0 имеет ровно два корня.
Вариант 2
1. Решите неравенство 9x–12*3x+27Ј 0.
2. Найдите множество первообразных функции
3. Дана функция
Решите уравнение f(x) = f '(x)
4. Решите уравнение
5. Решите уравнение
6. Определите, при каких значениях a уравнение 2x3+3x2–36x–a+2=0 имеет ровно два корня.
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
№ 18–01 А–11
Вариант 1
1. Найдите координаты точек пересечения графиков функций
2. Определите, при каких значениях x производная функции
3. Решите уравнение sin2x+2sin x cos x–3cos2x=0.
4. Решите неравенство
5. Решите уравнение log2 x + 20log2x 2 = 8.
6. Решите уравнение
Вариант 2
1. Найдите координаты точек пересечения графиков функций
2. Определите, при каких значениях x производная функции
3. Решите уравнение sin2 x–sin x cos x–2cos2 x=0.
4. Решите неравенство
5. Решите уравнение 24log3x 3 + log3 x – 9 = 0.
6. Решите уравнение
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
№ 19–01 А–11
Вариант 1
1. Решите неравенство log3 (x2+2x+12)Ј3.
2. Вычислите
3. Решите уравнение 33x+1+8*32x–3x+1=0.
4. Из всех прямоугольников, имеющих площадь 20,25 см2, найдите стороны того, который имеет наименьший периметр.
5. Решите уравнение
6. При каких значениях a уравнение cos2 x+2(a–2)cos x+a2–4a–5=0 имеет хотя бы одно решение?
Вариант 2
1. Решите неравенство log2 (x2–x+4)Ј4.
2. Вычислите
3. Решите уравнение 23x+1 + 7*22x – 2x+2 = 0.
4. Из всех прямоугольных треугольников, имеющих площадь 15,125 см2, найдите длины катетов того треугольника, у которого сумма катетов наименьшая.
5. Решите уравнение
6. При каких значениях a уравнение sin2x–2(a – 3)sin x+a2–6a+5=0 не имеет решений?
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
