Окончание. Начало в  № 39

Новый метод решения планиметрических задач

8 класс

Задачи для самостоятельного решения
Задачи на доказательство

1. Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, ее заключающих.
2. Докажите, что если две стороны треугольника не равны между собой, то медиана, заключенная между ними, образует с меньшей из этих сторон угол, больший, чем с другой.
3. Докажите, что если в одном треугольнике две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне, равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.
4. Докажите, что если в одном треугольнике медиана и части углов, на которые она делит угол треугольника, равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.
5. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
6. На сторонах AB и BC треугольника ABC построены вне его квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий вершины квадратов, в два раза больше медианы, проведенной из вершины B.
7. В треугольнике ABC луч, выходящий из вершины A, делит медиану BB₁ в отношении m : n. Докажите, что этот луч делит противоположную сторону треугольника в отношении m : 2n.
8. Докажите, что если в прямоугольном треугольнике один острый угол равен 30°, то противолежащий ему катет равен половине гипотенузы.
9. Докажите, что если в прямоугольном треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.
10. Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят каждую из боковых сторон на три равные части. Докажите, что если площади крайних частей известны (S₁ и S₂), то площадь средней части равна их полусумме.
11. Пусть в трапеции ABCD с основаниями AD и BC и площадью S точка O есть точка пересечения диагоналей. Докажите, что если S₁ и S₂ – площади треугольников AOD и BOC, то имеет место формула
12. В треугольнике ABC угол C равен 120°. Докажите, что биссектриса этого угла равна где a и b – стороны, заключающие данный угол.
13. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Докажите, что биссектриса прямого угла этого треугольника равна
14. Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
15. Докажите, что если боковые стороны трапеции перпендикулярны, то сумма квадратов ее оснований равна сумме квадратов диагоналей.
16. На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD взяты точки M и N так, что отрезок MN параллелен основаниям и делит площадь трапеции пополам. Докажите, что если a и b – основания трапеции, то
17. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
18. Через середину O гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная AB, и на этой прямой в обе стороны от точки O отложены отрезки OD и OE, равные половине гипотенузы. Докажите, что [CD) и [CE) – биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника ABC при вершине C.
19. Докажите, что прямая, соединяющая основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.
20. Точка D лежит на стороне AC правильного треугольника ABC, а точка E – середина отрезка AD. Прямые, перпендикулярные сторонам AB и BC данного треугольника и проходящие соответственно через точки D и C, пересекаются в точке F. Докажите, что треугольник BEF прямоугольный с острыми углами 30° и 60°.
21. Через точку O проведены три прямые, попарные углы между которыми равны 60°. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных на эти прямые из произвольной точки M, служат вершинами правильного треугольника.
22. Два противоположных угла в четырехугольнике – прямые. Диагональ, соединяющая вершины неравных углов, один из которых равен a, имеет длину a. Докажите, что другая диагональ данного четырехугольника равна (asin a).
23. Докажите, что во всяком треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.
24. Окружности радиусов R и r (R > r) касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус третьей окружности, касающейся двух данных окружностей и их общей внешней касательной, равен
25. Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются друг друга и сторон данного угла. Докажите, что радиус третьей окружности, касающейся сторон того же угла, центр которой находится в точке касания между собой двух данных окружностей, равен

Задачи на вычисление

26. Определите площадь треугольника, если известно, что две стороны и медиана, выходящая из общей вершины этих сторон, имеют длины 3, 7 и 4 (соответственно).
27. В треугольнике длины двух сторон равны a и b. Известно, что медианы, проведенные к этим сторонам, перпендикулярны. Определите длину третьей стороны данного треугольника.
28. Равнобедренный треугольник ABC вписан в окружность и его медиана AA₁ продолжена до пересечения с окружностью в точке A₂. Определить стороны треугольника, если известно, что
29. Определите площадь треугольника, медианы которого равны 12, 15 и 21.
30. В треугольнике известны длины двух сторон и медианы, выходящие из их общей вершины – 6 см, 8 см, 5 см соответственно. Определите косинусы углов, которые образует с этими сторонами данная медиана.
31. Пусть s – сумма квадратов сторон треугольника, а q – сумма квадратов расстояний от центра тяжести треугольника до его вершин. Определите отношение s : q.
32. В треугольнике проведены высота BB₁ и медиана CC₁. Известно, что их точка пересечения O отстоит от стороны AC на расстоянии 1 см. Определите сторону AB, если | BB₁ | = 6 см, | CC₁ | = 5 см.
33. Точка B₁ взята на стороне AC треугольника ABC так, что | AB₁ | : | AC | = n. В каком отношении медиана AA₁ делит отрезок BB₁?
34. Точка B₁ лежит на стороне AC треугольника ABC и делит ее в отношении m : n, считая от вершины A. Определите, в каком отношении медиана AA₁ делит трансверсаль BB₁.
35. Точки A₁ и B₁ делят стороны BC и AC треугольника ABC в отношениях | BA₁ | : | A₁C | = 1 : p и | AB₁ | : | B₁C | = 1 : q. В каком отношении точка пересечения трансверсалей AA₁ и BB₁ делит каждую из них?
36. В треугольнике ABC точка C₁ на стороне AB и точка B₁ на стороне AC расположены так, что | AC₁ | : | C₁B | = 2 : 3, | AB1 | : | B₁C | = 4 : 5. Определите, в каком отношении трансверсаль CC₁ делит трансверсаль BB₁.
37. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка B₁ так, что а на стороне BC – точка A₁ так, что Определите, в каком отношении трансверсаль BB₁ делит трансверсаль AA₁.
38. Точки P и Q выбраны на сторонах AB и BC треугольника ABC так, что |AP|=3|PB| и |BQ|=2 |QC|, а точка B₁ взята на стороне AC соответственно условию: |AB₁|=2 |B₁C |. Определите, в каком отношении отрезок PQ делит трансверсаль BB₁.
39. На сторонах AB, BC, CA треугольника взяты точки P, Q, B₁ (соответственно) так, что |AP| : |PB|=2 : 3, |BQ| : |QC|=1 : 2, |CB₁| : |B₁A|=3 : 1. Определите, в каком отношении отрезок PQ делит трансверсаль BB₁.
40. Точка A₁ взята на стороне AB треугольника ABC так, что |AB|=3 |AA₁|. Точка C₁ лежит на продолжении стороны AC за точку C и удовлетворяет условию: |AC₁|=2 |AC|. Определите, в каком отношении прямая A₁C₁ делит сторону BC данного треугольника.
41. На стороне AC треугольника ABC взята точка M так, что а на продолжении стороны CB за точку B – точка N такая, что | BN | = | CB |. Определите, в каком отношении сторона AB делит отрезок MN.
42. Определите угол C треугольника ABC, если угол A равен 60°, а сторона AC вдвое меньше стороны AB.
43. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C гипотенуза равна c. Определите катеты треугольника, если известно, что угол B равен 15°.
44. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на отрезки, разность которых равна одному из катетов треугольника. Определите величины острых углов данного треугольника.
45. По разные стороны от данной прямой l даны две точки A и B на расстояниях a и b от нее. Определите расстояние середины O отрезка AB от данной прямой.
46. Концы отрезка AB длины c удалены от прямой l на расстояния a и b (a > b). Вычислите ортогональную проекцию данного отрезка на прямую l.
47. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC и прямыми углами A и B к боковой стороне CD проведен серединный перпендикуляр l, который встречает продолжение стороны BA в точке A₁. Вычислите длину отрезка BA₁, если известно, что | AD | = a, а угол ADC равен 45°.
48. Один из углов трапеции равен 30°, а прямые, содержащие ее боковые стороны, пересекаются под прямым углом. Определите меньшую боковую сторону трапеции, если ее средняя линия равна 10 см, а одно из оснований равно 8 см.
49. Определите площадь трапеции с основаниями 7 и 11 и боковыми сторонами 4 и 6.
50. Основания трапеции равны 3 и 2, а диагонали – 4 и 3. Определите площадь трапеции.
51. Основания AD и BC трапеции ABCD равны соответственно a и b (a > b). Определите длину отрезка MN, концы которого M и N делят боковые стороны AB и CD в отношении | AM | : | MB | = | DN | : | NC | = p : q.
52. Основание AD трапеции ABCD вдвое длиннее боковой стороны AB и верхнего основания BC. Диагональ AC равна a, боковая сторона CD равна b. Определите площадь трапеции.
53. Даны две стороны a и b треугольника и биссектриса l угла между ними. Определите величину этого угла.
54. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC биссектриса AD пересекает высоту BB₁ в точке O, причем | BO | : | OB₁ | = 3 : 1. Определите, в каком отношении высота AA₁ делит высоту BB₁.
55. В параллелограмме ABCD точка D₁ является серединой стороны AB. Известно, что биссектриса CC₁ угла C параллелограмма делит площадь треугольника ADD₁ пополам. Определите длину стороны AD, если | CD | = 4.
56. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC биссектриса угла D перпендикулярна боковой стороне AB и пересекает ее в точке D₁. В каком отношении прямая DD₁ делит площадь трапеции, если | AD₁ | : | D₁B | = 2 : 1?
57. Биссектриса острого угла равнобокой трапеции делит боковую сторону на отрезки длиной 20 и 30, считая от меньшего основания, которое равно 6. Определите площадь трапеции.
58. Определите площадь трапеции, основания которой равны 2 и 1, а углы, прилежащие к большему основанию, равны 30° и 60°.
59. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C даны катеты: | AC | = 12, | BC | = 8. Точка K – середина медианы BD. Определите длину отрезка CK.
60. В прямоугольном треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из вершины прямого угла, образуют угол в 10°. Определите острые углы данного треугольника.
61. Угол между медианой и биссектрисой, проведенными из одной вершины треугольника, равен a, а между этой же биссектрисой и высотой, выходящей из той же вершины, равен b. Определите, какой из двух данных углов (a или b) больше.
62. Определите длину общей внешней касательной к двум окружностям радиусов R и r, если расстояние между их центрами равно a.
63. Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную, отрезок которой равен Радиус большей окружности равен 4,5 см. Определите радиус меньшей окружности.
64.  Две окружности радиусов 1 см и 3 см касаются внешним образом. Определите расстояние от точки касания окружностей до их общей касательной.
65. Две окружности радиусов пересекаются в точках P и Q. Расстояние между центрами окружностей равно 3. Через точку P проведена секущая, отсекающая от данных окружностей равные хорды. Определите длины этих хорд.

Ответы и указания

1–6. Указание. Применить ДП₁.  7. Указание. Применить ДП₃ или ДП₅.  8. Указание. Применить ДП₈.
11. Указание. Перенести диагональ BD на вектор b, равный вектору BC . 12, 13. Указание. Применить ДП₁₁.
14. Указание. Применить ДП₂ или ДП₁₂.  15, 16. Указание. Применить ДП₁₄. 17, 18. Указание. Применить ДП₁₅.  
19. Указание. Ввести в рассмотрение окружность с диаметром, совпадающим со стороной треугольника, из концов которой проведены высоты.  20. Указание. Провести окружность, диаметром которой является отрезок BF.  
21. Указание. Ввести в рассмотрение окружность с диаметром OM.  22. Указание. Применить ДП₁₅ или ДП₁₆.  
23. Указание. Применить ДП₁₈. 24. Указание. Через центр меньшей окружности (радиуса r) и центр третьей окружности провести прямые, параллельные общей касательной первых двух окружностей.
25. Указание. Применить ДП₁₉ к окружностям радиусов R и r.  26. Указание. Применить ДП₁.  
27. Указание. Рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный неизвестной стороной и двумя медианами. Применить ДП₁ и воспользоваться свойством диагоналей параллелограмма.  
28. 42, 42, 24. Указание. Применить ДП₁.  29. Указание. Применить ДП₁ к треугольнику, вершинами которого являются две вершины данного треугольника и его центр тяжести.  
30. 0,6; 0,8. Указание. Применить ДП₁.  31. 3 : 1. Указание. Применить ДП₁.
32.  Указание. Применить ДП₂.  33. 1 : n. Указание. Применить ДП₃ или ДП₅.  
34. (m + n) : m. Указание. Применить ДП₄ или ДП₅.  35. (1 + p) : q; (1 : q) : p. Указание. Применить ДП₄ или ДП₅.  
36. 27 : 10, считая от точки B. Указание. Применить ДП₄ или ДП₅.  37. 2 : 1, считая от точки A. Указание. Применить ДП₄ или ДП₅. 38. 3 : 4, считая от точки B. Указание. Применить ДП₆. 39. 1 : 1, считая от точки B. Указание. Применить ДП₆.
40. 4 : 1, считая от вершины B. Указание. Применить ДП7.  41. 1 : 3, считая от точки M. Указание. Применить ДП₇.
42. 90°. Указание. Построить точку A₁ = Z_C (A) и рассмотреть треугольник ABA₁.
43. Указание. Применить ДП₈.  44. 60°, 30°. Указание. Построить точку, симметричную одной из вершин острых углов треугольника относительно данной высоты.  
45. Указание. Применить ДП₉.  46.  47. a. Указание. Применить ДП₉.  
48. 2 см. Указание. Применить ДП₁₀.  49.  50. 6. 51.  52.
53. 2arccos Указание. Применить ДП₁₂.  54. 7 : 1, считая от точки B. Указание. Применить ДП₁₂.
55. Указание. Применить ДП₁₃.  56. 7 : 8. Указание. Применить ДП₁₄.  57. 1440. Указание. Применить ДП₁₄.
58. Указание. Применить ДП₁₄.  59. 5. Указание. Применить ДП₁₅.  60. 35°, 55°. Указание. Применить ДП₁₈.
61. a < b, если РA < 90°; a>b, если РA > 90°; a = b, если РA = 90°. Указание. Применить ДП₁₈.
62. Указание. Применить ДП₁₉.  63. 4 см. Указание. Применить ДП₁₉.  
64. 1,5 см. Указание. Применить ДП₁₉. 65. Указание.  Применить ДП₁₉.

Литература

1. Дурова Е.М., Капленко Э.Ф. Метод дополнительных построений при решении планиметрических задач. – Воронеж, 1995. – 16 с. – Рукопись представлена Воронежским госпедуниверситетом. – Деп. в ВИНИТИ 18.09.1995, № 2580 – В 95.
2. Игольченко М.Н., Капленко Э.Ф. Дополнение к ДП-типизации, применяемой при решении планиметрических задач. – Воронеж, 1995. – 8 с. – Рукопись представлена Воронежским госпедуниверситетом. Деп. в ВИНИТИ 18.10.1995, № 2768 – В 95.