ГЕОМЕТРИЯ
Учебник А.В. Погорелова «Геометрия, 6–10»

Карточки-задания
для программированного опроса

10 класс

Продолжение. См. № 40, 41/2001

§ 16. Перпендикулярность прямых и плоскостей

пп. 87, 88. Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости

Вариант 1

Задание 7–1

Дополните предложения.

I. Два перпендикуляра к плоскости...

1. Перпендикулярны.  
2. Параллельны.  
3. Пересекаются.

II. Если одна из двух... прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна этой плоскости.

1. Параллельных.  
2. Перпендикулярных.  
3. Пересекающихся.

Задание 7–2

Могут ли быть перпендикулярными к одной плоскости две стороны:

I. Треугольника?

II. Трапеции?

1. Да. 2. Нет.

Задание 7–3

Верны ли следующие предложения?

I. Две прямые называются перпендикулярными, если они не пересекаются.

II. Если две пересекающиеся прямые соответственно параллельны перпендикулярным прямым, то они сами перпендикулярны.

III. Через любую точку данной прямой можно провести перпендикулярную ей плоскость.

IV. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

1. Да.   2. Нет.

Задание 7–4

Верно ли утверждение?

I. Если a З b = A, Р(ab) = 90°, то a^b (рис. 8)?

II. Если a З b = c, a^b, a₁Зb₁=c₁, a₁фзa, b₁фзb, то a₁^b₁?

III. Если a З a=A,  bМ a, c М a, то a^a (рис. 9)?

1. Да.   2. Нет.

Вариант 2

Задание 7–1

Верны ли следующие утверждения?

I. Любые две прямые, пересекающие плоскость, параллельны.

II. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то другая прямая не перпендикулярна этой плоскости.

III. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости.

IV. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

1. Да.   2. Нет.

Задание 7–2

Дополните предложения.

I. Если плоскость перпендикулярна одной из двух... прямых, то она перпендикулярна и другой.

1. Пересекающихся.
2. Перпендикулярных.
3. Параллельных.

II. ...прямые, соответственно параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны.

1. Параллельные.  
2. Пересекающиеся.  
3. Перпендикулярные.

Задание 7–3

Могут ли быть перпендикулярными одной плоскости две стороны:

I. Правильного пятиугольника?

II. Прямоугольника?

1. Да.   2. Нет.

Задание 7–4

Верно ли утверждение?

I. Если aМa, b З a = A и b ^ a, то b ^ a (рис. 10)?

II. Если a фз b, a ^ a, то b ^ a (рис. 11).

III. Если AОa, AОa, то a ^ a.

1. Да.   2. Нет.

 п. 89. Перпендикуляр и наклонная

Вариант 1

Задание 8–1

Верны ли следующие утверждения?

I. Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, пересекающей плоскость.

II. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость, называется расстоянием от точки до плоскости.

III. Конец наклонной, лежащей вне данной плоскости, называется основанием наклонной.

IV. Если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.

1. Да.   2. Нет.

Задание 8–2

Будет ли справедливо утверждение?

I. KA ^ BD, если ABCD – квадрат, KC ^ (BCD) (рис. 12)?

II. AB ^ MP, если D MNP – равносторонний и AO ^ (MNP) (рис. 13)?

1. Да.   2. Нет.

Задание 8–3

Дополните предложения.

I. Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок... к плоскости, с одним концом в данной точке, а другим – на плоскости.

1. Являющийся перпендикуляром.  
2. Не являющийся перпендикуляром.  
3. Параллельный.

II. Конец отрезка, являющегося перпендикуляром к плоскости, лежащий в плоскости, называется...

1. Расстоянием от точки до плоскости.  
2. Основанием наклонной.  
3. Основанием перпендикуляра.  
4. Проекцией наклонной.

III. Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной... ее проекции... и самой наклонной.

1. Параллельно; перпендикулярна.  
2. Перпендикулярно; перпендикулярна.  
3. Параллельно; параллельна.

IV. Отрезок, соединяющий... перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

1. Любые точки.    2. Основания.  3. Середины.

Вариант 2

Задание 8–1

Верны ли следующие утверждения?

I. Конец отрезка, являющегося перпендикуляром к плоскости, лежащего в ней, называется основанием перпендикуляра.

II. Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, являющийся перпендикуляром к плоскости, с одним концом в данной точке, а другим на плоскости.

III.  Отрезок, соединяющий основание наклонной с данной точкой, не лежащей в плоскости, называется проекцией наклонной.

IV. Проекцией перпендикуляра является точка, а наклонной – отрезок.

1. Да.   2. Нет.

Задание 8–2

Будет ли справедливо утверждение?

I. ED ^ AC, если D ABC – равносторонний и OE ^ (ABC) (рис. 14)?

II. OF ^ FE, если ABCDEF – правильный шестиугольник и OB ^ (ABF) (рис. 15)?

1. Да.   2. Нет.

Задание 8–3

Дополните предложения.

I. Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой,... плоскости.

1. Перпендикулярной.  
2. Параллельной.  
3. Принадлежащей.

II. Расстоянием от точки до плоскости называется... из этой точки на плоскость.

1. Длина наклонной, проведенной.  
2. Проекция наклонной, проведенной.
3. Длина перпендикуляра, проведенного.

III. Конец отрезка, являющегося наклонной к плоскости, лежащий в плоскости, называется...

1. Основанием наклонной.  
2. Основанием перпендикуляра.  
3. Проекцией наклонной.  
4. Расстоянием от точки до плоскости.

IV. Если прямая на плоскости... наклонной, то она... и проекции наклонной.

1. Параллельна; параллельна.  
2. Перпендикулярна; перпендикулярна.  
3. Параллельна; перпендикулярна.
4. Перпендикулярна; параллельна.

пп. 90, 91. Перпендикулярность плоскостей. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Вариант 1

Задание 9–1

Заполните пропуски.

I. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина...

1. Их общего перпендикуляра.  
2. Отрезка с концами на этих прямых.

II. Общим перпендикуляром двух... прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.

1. Пересекающихся.  
2. Параллельных.  
3. Перпендикулярных.  
4. Скрещивающихся.

Задание 9–2

Верно ли утверждение?

I. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых является перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые?

II. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра?

1. Да.   2. Нет.

Задание 9–3

Верны ли следующие утверждения?

I. Определение перпендикулярности плоскостей не зависит от выбора третьей плоскости, перпендикулярной их линии пересечения.

II. Через прямую a можно провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости.

1. Да.   2. Нет.

Задание 9–4

Вставьте пропущенные слова.

I. Если плоскость проходит через прямую... другой плоскости, то эти плоскости...

1. Параллельную; параллельны.  
2. Перпендикулярную; параллельны.  
3. Параллельную; перпендикулярны.  
4. Перпендикулярную; перпендикулярны.

II. Если прямая, лежащая в одной из двух... плоскостей,... их линии пересечения, то она... и другой плоскости.

1. Перпендикулярных; параллельна; перпендикулярна.  
2. Перпендикулярных; перпендикулярна; параллельна.
3. Перпендикулярных; перпендикулярна; перпендикулярна.

III. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, ... прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по... прямым.

1. Параллельная; перпендикулярным.  
2. Перпендикулярная; перпендикулярным.  
3. Перпендикулярная; параллельным.  
4. Параллельная; параллельным.

Задание 9–5

Данный на рисунке 16 чертеж относится к теореме...

1. Т_16.7.   2. Т_16.6.

Вариант 2

Задание 9–1

Верны ли следующие утверждения?

I. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по параллельным прямым.

II. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

III. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, параллельна их линии пересечения, то она перпендикулярна другой плоскости.

1. Да.   2. Нет.

Задание 9–2

Вставьте пропущенные слова.

I. Через прямую a, пересекающую плоскость a, можно провести плоскость,... данной плоскости a.

1. Параллельную.   2. Перпендикулярную.

II. Определение перпендикулярности плоскостей... от выбора третьей плоскости, перпендикулярной линии их пересечения.

1. Не зависит.    2. Зависит.

Задание 9–3

Данный на рисунке 17 чертеж относится к теореме...

1. Т_16.6.    2. Т_16.7.

Задание 9–4

Верно ли утверждение?

I. Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один?

II. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющихся перпендикуляром к каждой из них?

1. Да.   2. Нет.

Задание 9–5

Заполните пропуски.

I. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между... плоскостями, проходящими через эти прямые.

1. Параллельными.   2. Перпендикулярными.

II. Две скрещивающиеся прямые имеют..., и притом только один.

1. Общий перпендикуляр.  
2. Любой отрезок.  
3. Общий отрезок.  
4. Любой перпендикуляр.

Окончание следует