Москва
О новых учебниках для
общеобразовательной школы
«МАТЕМАТИКА-5», «МАТЕМАТИКА-6»Издательство «Мнемозина» готовит к новому учебному году написанные нами учебники «Математика–5» и «Математика–6», получившие в октябре 2001 г. гриф Министерства образования РФ. В этой статье мы хотим познакомить читателей газеты «Математика» с основными особенностями новых учебников.
Обе книги и по содержанию, и по стилю выстроены так, чтобы обеспечить учащимся достаточно мягкий и безболезненный переход к систематическому изучению в 7-м классе курсов алгебры и геометрии. При этом предполагается, что курс алгебры 7–11 будет изучаться в первую очередь по учебникам А.Г. Мордковича, которые в настоящее время достаточно активно используются в российских школах, но до сих пор не имели адекватного фундамента в 5–6-х классах. Поэтому, в соответствии с требованиями времени, в курс математики 5-го класса вводятся такие понятия, как математический язык, математическая модель, которые находят свое развитие в 6-м классе, где появляются такие термины как «графическая модель», «геометрическая модель», «аналитическая модель». Эти понятия позволяют сформировать тот идейный стержень, благодаря которому математика предстает перед учащимися не как набор разрозненных фактов, которые учитель излагает только потому, что они есть в программе, а как цельная, развивающаяся и в то же время развивающая дисциплина общекультурного характера.
За счет того, что теоретический материал подается небольшими порциями и в доступной, мягкой манере, учащемуся создаются комфортные условия для приобщения к чтению учебной литературы, к самостоятельному добыванию информации, что очень важно, ибо это фактически является основой социального заказа, который сегодня ставит общество перед школьным математическим образованием.
В нашем учебнике для 5-го класса объем объяснительного текста невелик по сравнению с другими учебниками для этой возрастной группы учащихся. Дело в том, что в учебниках для начальной школы объяснительный текст, как правило, отсутствует, и ожидать от не имеющих соответствующего опыта учеников 5-го класса, что они в состоянии читать обширные объяснительные тексты учебника математики, на наш взгляд, излишне оптимистично. В то же время приучать учащихся к самостоятельной работе с учебной книгой категорически необходимо, но делать это надо постепенно.
Некоторое увеличение объема теоретического текста обнаруживается в наших учебниках только к концу 6-го класса – при изложении элементов теории делимости и элементов теории вероятностей. А в 7-м классе, когда учащийся получит две учебные книги по алгебре (А.Г. Мордкович. Алгебра–7. Учебник; А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. Алгебра–7. Задачник) – самостоятельная работа с подробно написанным учебным текстом должна стать нормой.
Содержание предлагаемого учебника полностью отвечает требованиям стандарта математического образования и опирается на тот минимум содержания, который предлагают учебники для начальной школы, что дает возможность использования данного учебника в качестве продолжения любого курса начальной школы, как традиционного, так и развивающего направлений. Что касается последнего, то авторам наиболее близка система развивающего обучения Л.В. Занкова. Так, на наш взгляд, суть основного принципа развивающего обучения, сформулированного Л.В. Занковым, принципа ведущей роли теоретических знаний, состоит в осознанном усвоении теоретических знаний учащимися, а потому его реализация заключается, прежде всего, в том, что ученик, выполняя определенную последовательность упражнений, получает возможность самостоятельно сформулировать правило (алгоритмы действий с десятичными дробями в 5-м классе и с обыкновенными дробями и отрицательными числами – в 6-м классе), определение нового или уже знакомого понятия (например, определение угла) или даже ввести новый термин (например, названия новых столбцов в таблице разрядов – разряд десятых, сотых и т.д.).
Поясним это на примерах (курсивом даны пояснения). Приведем выдержки из учебника «Математика, 5 класс».
§43. Умножение десятичных дробей
Сравните данные, условия и решения следующих двух задач. Подумайте, каким должен быть ответ во второй задаче.
1) Найдите площадь зала прямоугольной формы со сторонами 12 м и 47 м.
Решение: 12•47 = 564 (м2).
Ответ: 564 м2.
2) Найдите площадь кабинета длиной 12 м и шириной 4,7 м.
Решение: 12•4,7 = ?
Ответ: ?
Если вы затрудняетесь сразу дать ответ, сравните числа 47 и 4,7 и вспомните, как изменяется значение произведения, если один из множителей уменьшается в несколько раз.
Рассуждать можно, например, так: второе произведение отличается от первого тем, что в нем один из множителей меньше в 10 раз. Значит и значение второго произведения по сравнению с первым меньше в 10 раз.
Следовательно 12•4,7 = 56,4.
Далее следует задание, отмеченное буквой У. Так отмечены задания, в процессе выполнения которых ученики накапливают опыт, позволяющий сформулировать тот или иной алгоритм.
У803. Вычислите, рассуждая аналогично:
а) 1,2•47; б) 1,2•4,7;
в) 12•0,47; г) 0,12•47;
д) 0,12•4,7; е) 0,012•47.У804. Вычислите:
13•4; 1,3•0,4;
1,3•4; 1,3•0,04;
0,13•4; 0,13•0,4;
13•0,4; 0,13•0,04.
13•0,04;У805. Вычислите:
1) 356•34; 3,56•3,4;
2) 1073•81; 1,073•8,1;
3) 74•625; 0,074•6,25.Проанализируйте решения предыдущих примеров и постарайтесь сформулировать правило умножения десятичных дробей.
806. Вычислите:
а) 31,54•32;
б) 61•3,245;
в) 3,005•44,44;
г) 60, 5•4,8.807. Вычислите:
а) 71,7•9,01;
б) 2,3456789 •0,3;
в) 21,004•6,5;
г) 45,34•20,01.808. Вычислите:
а) 13,3456789··3 + 99,7654321•3 + 766,666667;
б) 290 :100 – 7,6•0,25 + 25,8•0,5 – 420•0,03;
в) 5700•0,105 – 87•1,7 + 8009 : 1000 – 8009•0,001;
г) 5867 : 100 + 78,55•2,08 + 51,09•3,4 – 586,7•0,1.Проверьте, так ли вы сформулировали правило умножения десятичных дробей:
при умножении десятичных дробей сначала надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их имеется после запятой в обоих множителях вместе.
…
Заметим, что при такой методике введения нового алгоритма учащиеся не просто могут его самостоятельно сформулировать, но и могут объяснить, почему надо поступать именно так, ссылаясь при этом не на правило (как при традиционной методике), а обосновывая его в ходе логических рассуждений.
Теперь приведем пример введения нового понятия (это выдержка из следующего параграфа того же учебника «Математика, 5 класс»).
§44. Степень числа
В этом параграфе мы продолжаем знакомиться с математическим языком.
Рассмотрите таблицы.
Объясните, как связаны левый и правый столбцы каждой таблицы.
Если вы догадались, что означает форма записи в правом столбце второй таблицы, представьте в виде произведения выражения:
а) 54; б) 82; в) a3; г) b6 .
Проверьте себя.
Запись вида 54, 82, a3, b6 заменяет произведение нескольких одинаковых множителей:
число, которое записано внизу обычным шрифтом – множитель;
число, которое записано вверху мелким шрифтом – число множителей.Поэтому 54 = 5•5•5•5, 82 = 8•8, a3 = a•a•a, b6 = b•b•b•b•b•b.
Выражение an называют степенью числа, где a – основание степени, а n – показатель степени.
Выражение 54 читается так: «пять в четвертой степени», а выражение an – «а в степени эн» или «а в энной степени».
У821. Прочитайте выражение, назовите основание степени и показатель степени:
а) 53; б) 82; в) 168; г) 17.
У822. Сравните значения выражений:
а) 53 и 5•3; б) 82 и 8•2; в) 45 и 4•5; г) 17 и 1•7.
…
Исследования психологов показывают, что знания, приобретенные в нестандартной ситуации, забыть невозможно. Как видно из приведенных примеров, учащиеся, выполняя те или иные действия до того, как сформулированы правила их выполнения, оказываются в нестандартной ситуации, т.е. в такой ситуации, которая способствует наиболее прочному усвоению материала.
Диалоговая манера «как вы думаете?», «проверьте себя» и т.д. хотя и выглядит порой несколько искусственно и даже наивно, тем не менее весьма интересна и полезна, поскольку нацеливает ученика на самостоятельную работу, а учителя – на определенный способ организации учебного процесса на уроке. Если учителю это не понадобится, он может сделать соответствующие купюры – тогда получится учебник с традиционным для 5–8-х классов способом передачи материала, поскольку в учебниках весь необходимый теоретический материал изложен полностью и на уровне, соответствующем возможностям данного возраста.
Остановимся на особенностях построения основной структурной единицы учебника – параграфе.
Как было сказано выше, знакомство с новым материалом в учебнике осуществляется в большинстве случаев через систему заданий. В процессе их выполнения ученики получают возможность самостоятельно или с минимальной помощью учителя познакомиться с новым свойством, сформулировать правило или ввести новый термин. Такие задания отмечены символом «У». Начинается изучение нового материала с создания проблемной ситуации. При этом новая задача дается в паре с такой, способ решения которой известен учащимся. Тем из них, кто испытывает затруднения, учебник предлагает систему наводящих вопросов и указаний. И только после этого следует объяснительный текст, который, начинается словами «Проверьте свои рассуждения, вывод и т.п.…», а завершается формулировкой правила, свойства или определения. Заметим, что объяснительный текст, который дается в начале параграфа, никак не отмечен, а тот, который следует после упражнений, выделен по краям вертикальными линиями.
Авторы отнюдь не считают, что в создании проблемной ситуации или в использовании наводящих вопросов есть что-либо принципиально новое. Учителя применяют эти приемы и при работе с другими учебниками. Однако, опыт многолетней работы в педвузе одного из авторов и в институте повышения квалификации другого показывает, что и по сей день большинство преподавателей испытывают серьезные затруднения при организации поисково-эвристической деятельности учащихся. Это подтверждается при посещении уроков (изложение нового материала в большинстве случаев сводится к пересказу учителем текста учебника), при изучении курсовых работ и рефератов слушателей курсов повышения квалификации, газетных статей («Первое сентября», конкурс «Я иду на урок»), отчетов или других документов, представляемых учителями в процессе аттестации. Крайне редко здесь можно найти материалы с описанием такого опыта. В основном это разработки дидактических игр, уроков обобщающего повторения, уроки-зачеты и другие формы, основная цель которых – формирование и отработка навыков действий или контроль за их усвоением. То же самое можно сказать и о большинстве материалов, разработанных на электронных носителях, – в основном это тесты или чисто информационные материалы, и очень редко можно увидеть что-то, что служит развитию мышления: задания, где учащимся предлагается проанализировать, сопоставить полученные результаты, высказать гипотезу или сделать вывод.
В этом смысле наши учебники могут существенно облегчить подготовку учителя к уроку, при этом ни в коей мере не сковывая его творческой инициативы.
Очевидно, что момент, когда учащиеся будут готовы к тому, чтобы сделать вывод (сформулировать правило, сделать обобщение и т.д.), не однозначен и зависит от состава класса. Задача учителя – правильно уловить этот момент. Поэтому формулировка вывода в тексте параграфа там, где это возможно, дается не сразу вслед за упражнениями, подводящими к этому выводу, а позже – после ряда тренировочных упражнений. Это делается с целью снижения вероятности того, что учащиеся в процессе выполнения упражнений смогут найти ее в тексте прежде, чем учитель предложит им сформулировать вывод самостоятельно.
Тренировочные упражнения скомпонованы таким образом, чтобы облегчить учителю отбор материала для классной и домашней работы: либо 4 упражнения под одним номером (2 – в классе, 2 – дома), либо по два номера, идущие друг за другом, по 4 задания в каждом, первый для классной, а второй – для домашней работы.
В конце каждого параграфа даются задания на повторение ранее пройденного материала и контрольные вопросы и задания, которые позволяют проверить усвоение учащимися обязательного минимума по данной теме. К группам параграфов предлагаются домашние контрольные работы, помещенные в конце учебника. Уровень трудности домашних контрольных работ несколько выше, чем классных, и они не содержат заданий, проверяющих только достижение учащимися уровня, обусловленного стандартом математического образования.
Следует отметить, что в каждом параграфе представлена исключительно разнообразная и многоплановая система упражнений. Если в параграфе изучается конкретная тема, авторы, как правило, не ставят своей целью выстроить по максимуму систему упражнений по этой теме в рамках этого параграфа. Напротив, мы чаще всего минимизируем систему упражнений по изучаемой в параграфе теме, но зато активно используем соответствующие сюжеты в дальнейших параграфах. На наш взгляд, такая методика наиболее приемлема именно в 5–6-х классах.
В системе упражнений учебника имеются задания, отмеченные символом (звездочка). Это задания повышенной трудности. Однако, по замыслу авторов, они не предназначены для работы только с сильными учениками. Опыт показывает, что при правильной организации учебного процесса к выполнению таких заданий можно привлечь практически всех учащихся класса.
Чтобы у читателей сложилось более полное представление о новых учебниках, приведем их оглавления, а затем дадим некоторые комментарии к выбранному нами порядку изучения тем.
Оглавление к учебнику «Математика, 5 класс»
Глава I. Натуральные числа
§1. Десятичная система счисления
§2. Числовые и буквенные выражения
§3. Язык геометрических рисунков
§4. Прямая. Отрезок. Луч
§5. Сравнение отрезков. Длина отрезка
§6. Ломаная
§7. Координатный луч
§8. Округление натуральных чисел
§9. Прикидка результата действия
§10. Вычисления с многозначными числами
§11.Прямоугольник
§12. Формулы
§13. Законы арифметических действий
§14. Уравнения
§15. Упрощение выражений
§16. Математический язык
§17. Математическая модельГлава II. Обыкновенные дроби
§18. Деление с остатком
§19. Обыкновенные дроби
§20. Отыскание части от целого и целого по его части
§21. Основное свойство дроби
§22. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
§23. Окружность и круг
§24. Сложение и вычитание обыкновенных дробей
§25. Сложение и вычитание смешанных чисел
§26. Умножение и деление обыкновенной дроби на натуральное числоГлава III. Геометрические фигуры
§27. Определение угла. Развернутый угол
§28. Сравнение углов наложением
§29. Измерение углов
§30. Биссектриса угла
§31. Треугольник
§32. Площадь треугольника
§33. Свойство углов треугольника
§34. Расстояние между двумя точками. Масштаб
§35. Расстояние от точки до прямой. Перпендикулярные прямые
§36. Серединный перпендикуляр
§37. Свойство биссектрисы углаГлава IV. Десятичные дроби
§38. Понятие десятичной дроби. Чтение и запись десятичных дробей
§39. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.
§40. Перевод величин из одних единиц измерения в другие
§41. Сравнение десятичных дробей
§42. Сложение и вычитание десятичных дробей
§43. Умножение десятичных дробей
§44. Степень числа
§45. Среднее арифметическое. Деление десятичной дроби на натуральное число
§46. Деление десятичной дроби на десятичную дробь
§47. Понятие процента
§48. Задачи на проценты
§49. МикрокалькуляторГлава V. Геометрические тела
§50. Прямоугольный параллелепипед
§51. Развертка прямоугольного параллелепипеда
§52. Объем прямоугольного параллелепипедаГлава VI. Введение в вероятность
§53. Достоверные, невозможные и случайные события
§54. Комбинаторные задачиОглавление к учебнику «Математика, 6 класс»
Глава I. Положительные и отрицательные числа
§1. Поворот и центральная симметрия
§2. Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая
§3. Противоположные числа. Модуль числа
§4. Сравнение чисел
§5. Параллельность прямых
§6. Числовые выражения, содержащие знаки «+», «–»
§7. Алгебраическая сумма и ее свойства
§8. Правило вычисления значения алгебраической суммы двух чисел
§9. Расстояние между точками координатной прямой
§10. Осевая симметрия
§11. Числовые промежутки
§12. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел
§13. Координаты
§14. Координатная плоскость
§15. Умножение и деление обыкновенных дробей
§16. Правило умножения для комбинаторных задачГлава II. Преобразование буквенных выражений
§17. Раскрытие скобок
§18. Упрощение выражений
§19. Решение уравнений
§20. Решение задач методом составления уравнений
§21. Нахождение части от целого и целого по его части
§22. Окружность. Длина окружности
§23. Круг. Площадь круга
§24. Шар. СфераГлава III. Делимость натуральных чисел
§ 25. Делители и кратные
§ 26. Делимость произведения
§27. Делимость суммы и разности чисел
§28. Признаки делимости на 2, 5, 10, 4 и 25
§29. Признаки делимости на 3 и 9
§30. Простые числа. Разложение числа на простые множители
§31. Наибольший общий делитель
§32. Взаимно простые числа. Признак делимости на произведение. Наименьшее общее кратноеГлава IV. Математика вокруг нас
§33. Отношение двух чисел
§34. Диаграммы
§35 Пропорциональность величин
§36. Решение задач с помощью пропорций
§37. Разные задачи
§38. Первое знакомство с понятием «вероятность»
§39. Первое знакомство с подсчетом вероятностиДомашние контрольные работы
ОтветыКак уже было сказано выше, предлагаемые учебники практически не меняют номенклатуру вопросов, традиционно изучаемых в 5–6-х классах. Основное отличие состоит во временном сдвиге начала изучения обыкновенных дробей и включении некоторых тем, традиционно изучавшихся в 6-го классе в курс 5-го класса: основное свойство дроби; простейшие случаи сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, не требующие применения знаний, приобретаемых в процессе темы «Делимость натуральных чисел»; умножение и деление обыкновенной дроби на натуральное число. Здесь при изложении материала большое внимание уделено наглядности: многие свойства и действия с обыкновенными дробями иллюстрируются красочными рисунками. Но значительная часть материала на этом этапе усваивается учащимися только на уровне представлений, а затем, в процессе повторения доводится до уровня знаний и умений. Так, окончательная отработка умений выполнения действий с обыкновенными дробями происходит при изучении темы «Делимость. Делители и кратные» в 6-м классе, где изученный новый материал сразу находит свое применение в этой теме.
Что касается изучения геометрического материала, то здесь отличия от традиционных учебников более существенные. Так, в начале 5-го класса вводится понятие расстояния, которое затем используется при изучении таких понятий, как «серединный перпендикуляр», «окружность» и «биссектриса». Значительно увеличен, по сравнению с традиционным курсом, объем материала, посвященного пространственным фигурам. В 5–6-х классах начинается целенаправленная работа по подготовке учащихся к изучению систематического курса геометрии. Работа с геометрическим материалом в течение этого периода носит, в основном, практический характер. Учащиеся выполняют большое количество работ геометрического содержания: проводят, разрезают, измеряют. Однако отдельным геометрическим фактам даются логические обоснования. Это, например, свойство (сумма) углов треугольника, свойство точек серединного перпендикуляра к отрезку, свойство биссектрисы угла (конечно, речь не идет о «строгих» доказательствах). При помощи некоторых приемов учащиеся убеждаются в необходимости этих обоснований, и, что на наш взгляд важнее всего, при помощи специально разработанной системы вопросов они обучаются анализировать ситуацию и находить пути этих обоснований. В дальнейшем, при изучении систематического курса геометрии накопленные на этом этапе эмпирические представления получат свое обобщение и развитие.
Кроме того, с учетом возрастания роли статистических и вероятностных подходов к решению широкого круга проблем на современном этапе развития общества и неизбежного включения в программу общеобразовательной школы новой содержательно-методической линии «Анализ данных», в курсе 5-го класса начинают формироваться некоторые представления комбинаторики, теории вероятностей и статистики. Мы старались стохастическую линию внедрить в учебный процесс продуманно и доступно, порою в чисто игровой манере. Начинается она, как видно из приведенных оглавлений, в конце 5-го класса, где два последних параграфа посвящены достоверным, невозможным и случайным событиям и первому знакомству с комбинаторными задачами, с деревом вариантов. Далее, в 6-м классе, практически с самого начала комбинаторные задачи включаются в систему упражнений по другим темам (например, при изучении числовых промежутков). Затем в §16 вводится правило умножения для комбинаторных задач, а в двух последних параграфах осуществляется первое знакомство с понятием вероятности и с подсчетом вероятности.
В заключение, справедливости ради, заметим, что учитель, который будет в 5–6-х классах использовать наши учебники, волен выбрать для изучения курса алгебры, начиная с 7-го класса, любые другие учебники, кроме упомянутых выше, – соответствующая теоретическая и практическая база в наших учебниках для этого заложена.
С целью более подробного ознакомления с новыми учебниками, на базе Академии повышения квалификации и переподготовки работников образования РФ проводятся курсы повышения квалификации для преподавателей региональных учреждений, руководителей методических объединений, учителей математики «Новая концепция школьных курсов математики 5, 6 классов, алгебры 7-9 классов и алгебры и начал анализа 10, 11 классов».
Сроки проведения занятий:
с 25 февраля по 2 марта 2002 г.;
с 24 по 29 июня 2002 г. (по 48 часов).Стоимость обучения – 300 р., проезд и проживание за счет направляющей стороны.
Адрес проведения занятий: г. Москва, Головинское шоссе, д.8 корп. 2а.
Прием слушателей только по предварительной заявке по тел. 452-28-41.Слушатели курсов снабжаются комплектом методической литературы, стоимость которой включена в стоимость обучения. Желающие смогут приобрести мультимедийные пособия – слайды в программе Microsoft Power Point на CD-диске (самостоятельные работы с ответами и решениями, математические диктанты с ответами, наглядно-иллюстративный материал к основным темам курса); в помощь преподавателям учреждений повышения квалификации и для руководителей МО разработаны материалы (слайды), иллюстрирующие концептуальные идеи курса.
