Первообразная и интеграл

11 класс

Внедрение элементов математического анализа в курс математики средней школы поставило перед математиками, методистами и учителями сложные и разнообразные задачи. Тема «Первообразная и интеграл» – одна из главных в курсе «Алгебра и начала анализа» и по содержанию материала, и по тем приемам учебной деятельности, которые могут и должны быть сформированы при изучении данной темы и применены к решению разнообразных задач теоретического и прикладного характера.

Содержание данной темы составляют три блока знаний: 1) концепции первообразной и определенного интеграла; 2) вычисление площадей фигур с помощью первообразной и интеграла; 3) решение прикладных задач.

Представим разработки уроков по теме «Первообразная и интеграл в 11 классе», в которых нашли отражение учебные задачи, умения, формулируемые на уроках, контроль и оценки знаний.

Тема: «Первообразная»
(2 урока)

Урок 1

Учебная задача: конструирование первообразной функции «угадыванием».

В решении задачи выделено три этапа.

I – нахождение функции по заданной производной аналитически.
II – зависимости F(x) и F R(x) на промежутках.
III – основное свойство первообразной на аналитическом и графическом уровнях.

Цели урока.

Общеобразовательные: определение и смысл.
Развивающие: следствия из принадлежности объекта к первообразной.
Воспитательные: развитие у учащихся грамотной устной и письменной математической речи, а также научного мировоззрения.

Дидактическое оснащение всех уроков: кодоскоп, кодопозитивы, учебник, переносная доска, таблицы производных, карточки для самостоятельной работы.

В ходе урока выделим четыре этапа.

На первом этапе отразим три уровня.

Первый уровень – постановка проблемы и создание проблемной ситуации. Сформулируем задачи.

1. Закон свободного падения в пустоте определяется формулой – постоянная величина. Найдите скорость движения в фиксированный момент времени t₀.

2. Тело движется по закону 

Определите скорость в момент t = 2, t – время, S – путь.

Для ответов на вопросы задач нужно найти производную пути по времени и вспомнить механический смысл производной.

3. Материальная точка движется со скоростью

Найдите закон изменения пути от времени.

Создается проблемная ситуация. Нужна операция, обратная дифференцированию.

Второй уровень – осознание учащимися проблемы: найти функцию по производной.

Для ответа на этот вопрос нужно найти операцию, обратную дифференцированию. Такая операция носит название операции интегрирования.

Третий уровень – постановка учебной задачи – конструирование функции (первообразной) по заданной ее производной.

Рассмотрим пример. Дана функция f(x) = 2x² – 3x. Дифференцируя, получим f '(x) = 4x – 3, а в результате интегрирования – функцию причем F '(x) = 2x² – 3x = f(x).

Проанализируем, как получена функция F(x). Мы воспользовались известными правилами дифференцирования, но в обратной последовательности. А если в качестве F(x) возьмем:

.....................................................................

Подмечено важное обстоятельство: функция F(x) не однозначна.

Второй этап урока – содержательно-операционный – состоит в решении учебно-познавательной задачи.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство F '(x) = f(x).

4. Будет ли функция первообразной для f(x) = на интервале ?

Решение. для всех x из .

Ответ. Функция при любой постоянной C есть первообразная для функции на указанном интервале.

Выводы. Первообразная данной функции определена не однозначно, и ее нахождение имеет бесконечно много решений.

Третий этап урока – алгоритмический – устанавливает осознание конструирования функции по заданной производной в примерах. Учащиеся выполняют решение задач. Задание на дом.

На четвертом этапе урока выделим два уровня.

Первый уровень – учащиеся понимают определение первообразной и самостоятельно решают простые задачи на восстановление функции по ее производной.

Второй уровень – учитель обращает внимание учащихся на те моменты решения задач, где были допущены ошибки и подводит итог урока.

Урок достиг целей, если учащиеся:

1) понимают смысл операции интегрирования;
2) осознают математическую задачу: найти функцию по ее производной;
3) владеют правилами дифференцирования функций.

Урок 2

Цели урока.

Общеобразовательные: нахождение первообразной функции, доказательство основного свойства.
Развивающие: связь производной с самой функцией на заданном промежутке, признак постоянства функций.
Воспитательные: связи между функцией, производной и первообразной.

I этап. Самостоятельная работа с целью закрепления умений нахождения первообразной на заданном промежутке (10–15 мин)

Вариант 1

1. Докажите, что F(x) – первообразная для функции f(x) на указанном промежутке, если:

2. Найдите первообразную F(x) для f(x) на если:    а) f(x) = 3x²;    б) f(x) = x².

Вариант 2

1. Докажите, что F(x) – первообразная для f(x) на указанном промежутке, если:

2. Найдите первообразную F(x) для f(x), если:  а) f(x) = 4x³;    б) f(x) = x¹⁰.

После самостоятельной работы учащиеся приступают к заполнению таблицы.

№ п/п	Функция	Первообразная
1	f(x) = 5	F(x) = ...
2	f(x) = 0	F(x) = ...
3	f(x) = ...	F(x) = – cos x + C
4	f(x) = xm (m№ – 1)	F(x) = ...
5		F(x) = ...
6	f(x) = cos kx	F(x) = ...
7	f(x) = ...	F(x) = 12sin x + C
8		F(x) = ...
9	f(x) = ...
10		F(x) = ...

Цели заполнения таблицы:

1) закрепление связей между функцией, ее производной и первообразной;

2) подготовка к установлению правил интегрирования.

II этап. Задания на дальнейшее решение учебной задачи.

1. Найдите производные функций:   y = 10, y = 3, y = a, y = m, y = c.

Можно ли утверждать, что производная функции равна нулю, если эта функция – постоянная?

Теорема. Если на некотором промежутке F '(x) = 0, то функция F(x) постоянная на этом промежутке.

Эта теорема является вспомогательной перед доказательством основного свойства первообразной.

Физический смысл теоремы: если скорость точки равна нулю, то точка остается на месте, и пройденный ею путь не меняется.

Таким образом, установлен признак постоянства функции.

III этап – комбинированный опрос. К доске приглашены четыре ученика для решения задач. В это время на местах 5–6 учащихся выполняются задания по индивидуальным карточкам. Варианты карточек.

Карточка 1

1. Докажите, что F(x) – первообразная для f(x) на указанном промежутке:

2. Найдите первообразные для   f(x) = – 3x³ + 5x² + 6x + 7.

3. Дано F(x) = 7sin x – 5cos x + 3x² – 2x + 7. Найдите f(x).

Карточка 2

1. Докажите, что F(x) – первообразная для f(x) на

2. Найдите первообразные для

3. Дано Найдите f(x).

Карточка 3

1. Для функции f(x) найдите первообразную F(x), принимающую заданное значение в указанной точке:

а) f(x) = х², F(4) = 0;       б) f(x) Јm cos x, F(p) = 3.

2. Придумайте две практические задачи, чтобы одна из них решалась с операцией дифференцирования, а вторая – интегрирования.

Работы учащихся, выполняющих задания по карточкам, проверяются и оцениваются учителем.

Выводы. Этот этап в решении учебной задачи завершен, если учащиеся могут установить связи между двумя основными операциями математического анализа и могут самостоятельно находить первообразные некоторых функций.

Тема: «Основное свойство первообразной»

Урок 3

Цели урока.

Общеобразовательные: содержание и структура объектов, производная и первообразная, признак постоянства функций, основное свойство первообразной на аналитическом и графическом уровнях.
Развивающие: конструирование первообразной функции, проходящей через точку с заданными координатами.
Воспитательные: формирование грамотной письменной математической речи, зрительных образов объектов самостоятельной деятельности учащихся по выявлению признака первообразной.

I этап – проверка домашнего задания и знаний учащихся.

II этап. Предлагаются задания.

1. Дана функция f(x) = x⁴. Найдите F(x).

2. Будут ли функции
первообразными для f(x) = x⁴ на (–ҐЧ; + Ґ)?

3. Дана некоторая непрерывная на множестве J функция y = f(x). Сколько первообразных найдется для этой функции?

Вывод учащихся. Для данной функции найдется множество первообразных.

Мы подошли к решению проблемы: установить общий вид всех первообразных данной функции.

III этап.

Теорема. Если F(x) – первообразная для функции f(x) на промежутке J, то F(x) + C, где C – постоянная, также является первообразной для f(x) на J.

Дано: F(x) – первообразная для f(x) на J (F' (x) = f(x)).

Доказать: F(x) + C – первообразная для f(x) ((F(x) + C)'  = f(x)).

Разъяснительная часть. Мы должны доказать два факта:

1) какое бы число ни поставить вместо C в выражение F(x) + C, получится первообразная для f(x) на промежутке J;
2) какую бы первообразную F(x) для f(x) на промежутке J ни взять, найдется такое число C, что для всех xО J выполняется равенство F(x) = F(x) + C.

Доказательство. Воспользуемся определением первообразной и проверим равенство

(F(x) + C) ' = F '(x) + C' = F '(x) + 0 = f(x).

Вывод. F(x) + C – первообразная для f(x).

Вопрос. Существуют ли другие первообразные, отличные от F(x) + C? Ответ дает вторая часть доказательства (единственности).

1) Допустим, что F(x) – еще одна первообразная для f(x) на J, т. е. F' (x) = f(x). x О J.
2) Согласно условию F' (x) = f(x).
3) Найдем разность F' (x) – F' (x) = 0 или (F(x) – F(x))'  = 0 (свойство производной).

Вывод. F(x) – F(x) = C или F(x) = F(x) + C, т. е. первообразные исходной функции отличаются на постоянную C (величина, не зависящая и от x, и от f).

Вопрос. Что можно сказать о графиках первообразной данной функции?

Геометрический смысл основного свойства первообразной. Графики всех первообразных функции f(x) получаются из любого из них параллельным переносом вдоль оси Oy (рис. 1).

Задания

1. Для функции f(x) = x² найдите первообразную, график которой проходит через точку (3; 7).

Решение. Первообразная для

График F(x) проходит через точку (3; 7), ее координаты обращают уравнение в верное числовое равенство: 9 + C = 7, C = – 2.

Ответ:

2. Проинтегрируйте функцию f(x) = 6cos x и выделите первообразную, проходящую через точку .

Решение. 1) Первообразная для f(x): F(x) = 6sin x + C;

2) дает уравнение

Ответ:

3. Графики двух первообразных для f(x) = x² проходят через точки A(1; 5) и B(3; 8). График какой первообразной расположен выше?

Решение.

1) Для f(x) = x² первообразная
2) выделим из семейства первообразных F(x) те, графики которых проходят через заданные точки;
3) координаты точки A(1; 5) дают
4) через точку A(1; 5) проходит график
5) координаты точки B(3; 8) дают
6) через точку B(3; 8) проходит график первообразной

Ответ. График первой первообразной выше графика второй первообразной F(x) на

В каждой из рассмотренных задач выполнялась одна и та же последовательность операций. Ее общий вид:

1. Находим для данной функции f(x) первообразную F(x).
2. Запишем семейство F(x) + C, C = const.
3. Вывод: так как график F(x) + C проходит через точку (a; b), то ее координаты удовлетворяют уравнению F(a)+C=b и C=b–F(a).
4. Записываем искомую первообразную.

На IV этапе проводится комбинированный опрос. К доске приглашаются 4–5 учеников для выполнения заданий с целью нахождения первообразной, проходящей через данную точку.

После решения задач учащиеся вслух обосновывают каждую из выполняемых операций.

V этап. Самостоятельная работа на 10–12 мин с целью усвоения основного свойства первообразной.

Вариант 1

1. В «окошечки» впишите функцию из равенств:

2. Являются ли первообразными для одной и той же функции следующие функции:

а) f(x) = x², g(x) = x² + 3, h(x) = (x + 3)²;
б) F(x) = cos 2x, Ф(x) = 2cos² x?

Если да, то укажите эти функции.

3. Найдите для функции первообразную, график которой проходит через точку (2; 3).

Вариант 2

1. В «окошечки» впишите функцию из равенств:

2. Являются ли первообразными для одной и той же функции следующие функции:

  б) f(x) = x³, g(x) = x³ + 3x, h(x) = (x + 3)³, m(x) = x³ + 27?

Если да, то укажите эти функции.

3. График одной из первообразных функции f(x) = x² проходит через точку M(– 1; 10), а второй через точку N(2; – 6). График какой из них расположен выше?