В. Рыжик, С.–Петербург
Тесты на экзамене
Геометрия
8-11 классы
Я уже писал в нашей газете о тестах и о переводном экзамене в 10-м классе по алгебре и началам анализа, который я проводил ранее по составленным мной тестам. Весной 2000 года я провел в тестовой форме четыре экзамена по геометрии – в 8, 9, 10, 11-х классах школы, где я работаю. Школа специализированная, в первую очередь по физике.
Сначала – несколько чисто формальных подробностей. Экзаменовались ученики одного восьмого, одного девятого, двух десятых и одного одиннадцатого класса – всего порядка 80 человек. В 9-х и 11-х классах экзамен был выпускным и по выбору. До экзамена ученики никогда не работали с тестами, и на консультациях был проведен подробный инструктаж.
В каждом классе на экзамен отводилось 4 часа. Расчет был простой – полная батарея тестов состоит из 12 тестов, в каждом тесте по пять тестовых заданий, итого – 60 заданий. На выполнение каждого задания я положил в среднем 3 минуты, итого на тест – 15 минут, а на всю батарею тестов – 180 минут, т.е. 3 часа. Плюс один час «про запас». Оказалось, что времени достаточно; дольше всех, почти «под звонок», работали старшеклассники.
Теперь – подробности. Каждое тестовое задание – некоторое утверждение. Оно было задано в словесной форме – по техническим соображениям я не стал давать задания на готовых рисунках. Ученику предлагается на заданное утверждение как-то отреагировать. Впрочем, реакция не является обязательной, проще говоря, ученик может и не приступать к его выполнению. Но если приступает, то ответ дается в пяти вариантах: «+» – если ученик согласен с утверждением, «–» – если ученик не согласен с утверждением, «!» – если ученик считает условие задачи некорректным, «?» – если условие задачи не позволяет дать однозначный ответ, «0» – если ученик не знает, какой знак поставить. В результате ответ на каждый тест выглядит как матрица 5 на 5 – пять тестовых заданий, и на каждое – пять возможных ответов.
Последний знак весьма существен при подсчете общего числа баллов. Дело в том, что за верный ответ ученику давался один балл, за неверный ответ с результата ученика снимался 1 балл, при «нолевом» знаке результат ученика не изменялся. «Нолевой» знак я ввел для того, чтобы устранить отгадывание ответа. Вот – для примера – конкретный расчет. Пусть ученик дал 60 ответов, из которых 45 верных и 15 неверных. Начисляем ему 45 баллов и вычитаем 15 – в итоге он набирает 30 баллов. Если же он дает те же 45 верных ответов, а на оставшиеся 15 ставит «0», то ему начислено 45 баллов. Тут же замечу, что ученикам до экзамена было сказано, что оценку «5» они получат за 45 баллов (максимума), оценку «4» – за 40 баллов (
максимума), оценку «3» – за 30 баллов (
максимума).
Реально почти так и получилось, но я сразу предупредил, что возможен некий люфт в этих критериях. Это вполне естественно, так как никакого опыта в тестовых по форме экзаменах по геометрии у меня пока нет (а у кого есть?). В частности, я не понимаю пока, как «поймать» разницу в работе ученика, давшего на некоторое задание «нолевой» ответ, и ученика, не приступившего к данному заданию вообще. В результатах, показанных учениками, стоит отметить максимальный – 56 баллов (в 11 классе) и минимальный, оказавшийся отрицательным (в 8 классе).
Реально экзамен выглядел так. Каждый ученик получил листок, на котором были все тесты, и листок-бланк ответов, в который он и должен был внести свои ответы, листы бумаги для работы. Фамилия вносится в бланк ответов. В бланке не разрешалось делать никаких исправлений. Разумеется, таковые обнаружились, но тогда ответ, как первоначальный, так и вновь полученный в данном задании, уже не учитывался, как если бы ученик вообще к этому заданию не приступал. Ученик сдавал обратно только текст заданий и бланк с ответами. Допускалось использовать калькуляторы.
Каковы же первые впечатления от итогов?
1. Проверка одной работы занимает 1 минуту.
2. Оценки, полученные учениками, в целом соответствуют их годовым оценкам. Разница между годовой и экзаменационной оценками в два балла была исключением и только в лучшую для ученика сторону.
Мне ясно, что тестовая форма экзамена и в этот раз себя оправдала, несмотря на существенные затраты времени при составлении тестов.
Теперь о содержании тестовых заданий. Я приведу полностью (с небольшими стилистическими поправками) все тесты, предлагавшиеся на этих экзаменах.
8 класс
Тест № 8–1. Сравнение отрезков
Отрезок a больше отрезка b, если:
1) a – медиана, а b – высота, проведенные из одной и той же вершины треугольника;
2) a – большая диагональ параллелограмма, а b – его сторона;
3) a – большее основание равнобокой трапеции, а b – ее диагональ;
4) a – диаметр, а b – хорда одного и того же круга;
5) a – диагональ прямоугольного параллелепипеда, а b – диагональ его грани.
Тест № 8–2. Сравнение углов
Угол является прямым, если:
1) он равен своему смежному;
2) он является одним из углов треугольника со сторонами 5,6,7;
3) он является углом между диагоналями ромба;
4) его вершина удалена на 2 от центра окружности радиусом 2, а стороны проходят через концы данного диаметра этой окружности;
5) его вершина находится в вершине A куба ABCDA1B1C1D1, а стороны проходят через точки B1 и D.
Тест № 8–3. Треугольник
В треугольнике одна сторона равна 1, другая сторона равна a, а угол между ними равен 30°. Верны такие утверждения, если:
1) третья сторона равна 0,8, то этот треугольник остроугольный;
2) этот треугольник остроугольный, то он не является равнобедренным;
3) если площадь этого треугольника равна 1, то этот треугольник – тупоугольный;
4) если этот треугольник равнобедренный, то его периметр больше, чем 3;
5) если этот треугольник прямоугольный, то его площадь больше, чем 0,25.
Тест № 8–4. Треугольник
Существует треугольник, в котором перпендикулярны:
1) две медианы;
2) две биссектрисы;
3) две высоты;
4) медиана и биссектриса, проведенные из одной и той же вершины;
5) два серединных перпендикуляра.
Тест № 8–5. Треугольник
Имеется некоторый треугольник. Две его стороны равны 10 и 20. Тогда, если:
1) в этом треугольнике есть ось симметрии, то его периметр равен 50;
2) периметр этого треугольника равен 60, то он тупоугольный;
3) угол между данными сторонами прямой, то расстояние от точки, равноудаленной от всех вершин, до каждой из них больше 10;
4) его площадь равна 100, то он остроугольный;
5) один из углов 150°, то против стороны, равной 10, лежит угол больший, чем 15°.
Тест № 8–6. Равнобедренный треугольник
Существуют два таких равнобедренных треугольника, из которых можно составить:
1) квадрат;
2) прямоугольник, но не квадрат;
3) ромб;
4) трапецию;
5) четырехугольник (не параллелограмм и не трапецию), имеющий ось симметрии.
Тест № 8–7. Равнобедренный треугольник
Имеется некоторый треугольник. Он является равнобедренным, если:
1) две его высоты равны;
2) биссектриса одного из углов делит его на две равновеликие части;
3) равны все его средние линии;
4) две его высоты, пересекаясь, делятся пополам;
5) его вершины находятся в вершинах равнобокой трапеции.
Тест № 8–8. Прямоугольный треугольник
Имеется некоторый прямоугольный треугольник ABC. В нем РC = 90°, AB = 1. Тогда, если:
1) РA > 30°, то BC > 0,5;
2) периметр равен 2, то медиана, проведенная к гипотенузе, равна 0,5;
3) площадь равна 0,25, то у треугольника есть ось симметрии;
4) AC < 0,6, то BC > 0,9;
5) прямая, проходящая через середину гипотенузы и точку, равноудаленную от всех его сторон, параллельна катету, то треугольник равнобедренный.
Тест № 8–9. Прямоугольный треугольник
Имеется некоторый треугольник. Он является прямоугольным, если:
1) ему принадлежит точка пересечения его высот;
2) одна из сторон в два раза больше одной из его медиан;
3) точка, равноудаленная от всех его вершин, лежит на его стороне;
4) квадрат одной из сторон равен разности квадратов двух других его сторон;
5) биссектриса одного из углов равна одному из отрезков, на которые она делит противоположную данному углу сторону, и в два раза меньше другого из этих отрезков.
Тест № 8–10. Квадрат
В квадрате ABCD со стороной 1 существуют такие точки P и Q, что:
1) PQ > 1;
2) PQ > 1,5;
3) PA = 1, QC = 1, PQ = 1;
4) QC > QD, PA < PC, PQ = 1,2;
5) PA > PC, QA = Ѕ, PQ < 0,1.
Тест № 8–11. Прямоугольник
В прямоугольнике ABCD AD = 2, AB = 1. В этом прямоугольнике существует такая точка X, что:
1) XA = 1, РXAB = 45°;
2) XB = XC, РCXB = 90°;
3) РAXB = РCXD;
4) РAXD = РCXD;
5) XB = XD, РAXD – острый.
Тест № 8–12. Равнобокая трапеция
Имеется некоторая равнобокая трапеция ABCD . В ней AD ккBC, AD = 5, BC = 1.
Тогда, если:
1) AB = 1, то периметр равен 8;
2) РA > 45°, то высота больше 3;
3) AC = AD, то площадь равна 12;
4) AB = 3, то расстояние от точки, равноудаленной от всех ее сторон, до каждой из них больше 1,5;
5) расстояние от точки, равноудаленной от всех ее вершин, до каждой из них больше 2, то такая точка лежит внутри трапеции.
9 класс
Тест № 9–1. Равенство отрезков
Два отрезка равны, если они:
1) являются диагоналями равнобокой трапеции;
2) являются медианами равнобедренного треугольника;
3) являются высотами параллелограмма;
4) центрально-симметричны;
5) являются диаметрами двух параллелей одной и той же сферы.
Тест № 9–2. Длина отрезка
Длина отрезка равна 1, если он является:
1) высотой равностороннего треугольника со стороной 2;
2) третьей стороной треугольника, в котором две другие стороны равны 1 и 2 и угол между которыми равен 45°;
3) большей диагональю ромба со стороной 1;
4) стороной правильного шестиугольника, описанного около окружности радиуса 1;
5) радиусом шара , объем которого равен.
Тест № 9–3. Прямоугольный треугольник
В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4:
1) есть острый угол, больший, чем 45°;
2) одна из медиан меньше, чем 3;
3) одна из высот меньше, чем 2,5;
4) радиус описанной окружности больше, чем 2;
5) радиус вписанной окружности меньше, чем 0,1.
Тест № 9–4. Равнобедренный треугольник
Существует такой равнобедренный треугольник, у которого:
1) все высоты равны;
2) хотя бы одна биссектриса равна какой-то медиане при условии, что они проведены из разных вершин;
3) центр описанной окружности лежит вне треугольника;
4) точка пересечения высот лежит в его вершине;
5) есть центр симметрии.
Тест № 9–5. Равнобедренный треугольник
В равнобедренном треугольнике ABC AС = 2, AB = BC, РB > 40°. В этом треугольнике:
1) РA < 70°;
2) AB > 1;
3) пощадь больше 1;
4) радиус описанной окружности больше 1;
5) радиус вписанной окружности больше 1.
Тест № 9–6. Треугольник
О данном треугольнике высказаны такие утверждения:
A. Этот треугольник – тупоугольный.
B. Центр его описанной окружности лежит вне его.
C. Одна из медиан меньше половины стороны, к которой она проведена.
Верны такие следования:
1) (A) Ю (B);
2) (B) Ю (A);
3) (C) Ю (A);
4) (C) Ю (B);
5) если не B и не C, то не A.
Тест № 9–7. Треугольник
Имеется некоторый треугольник, две стороны которого равны 10 и 20. Тогда, если:
1) в этом треугольнике есть ось симметрии, то его периметр равен 50;
2) периметр этого треугольника равен 60, то он тупоугольный;
3) угол между данными сторонами прямой, то радиус его описанной окружности больше 10;
4) его площадь равна 100, то он остроугольный;
5) один из углов 150°, то против стороны, равной 10, лежит угол больший, чем 15°.
Тест № 9–8. Равнобокая трапеция
Трапеция является равнобокой, если.
1) ее диагонали равны;
2) около нее можно описать окружность;
3) в нее можно вписать окружность;
4) ее средние линии перпендикулярны;
5) она составлена из двух равнобедренных треугольников.
Тест № 9–9. Трапеция
Существует трапеция, в которой средняя линия боков:
1) перпендикулярна боковой стороне;
2) перпендикулярна одной из диагоналей;
3) равна одной из диагоналей;
4) равна полусумме боковых сторон;
5) проходит через точку пересечения диагоналей.
Тест № 9–10. Окружность
В окружности с центром O проведена хорда AB длиной 2. Тогда, если:
1) эта хорда удалена от центра O на 1, то она видна из центра под тупым углом (то есть РAOB – тупой);
2) хорда AC этой окружности, перпендикулярная AB, имеет длину 1, то площадь данного круга меньше, чем p.
3) хорда AB видна из точки K на данной окружности под углом 120° (то есть РAKB = 120°), то найдется такая точка L на данной окружности, из которой она видна под углом 60° (то есть РALB = 60°);
4) AB – самая длинная хорда в этой окружности, то длина этой окружности больше 6;
5) на данной окружности найдется такая точка M, что AM = 2, то радиус данной окружности больше, чем 1,4.
Тест № 9–11. Описанная окружность
Радиус описанной окружности больше 1, если эта окружность описана около:
1) треугольника ABC, в котором сторона, равная 1, видна из противоположной вершины под углом 40°;
2) треугольника со сторонами
3) прямоугольника с площадью 1 и углом между диагоналями 60°;
4) трапеции, у которой три стороны равны 1, а четвертая равна 2;
5) правильного шестиугольника с площадью 3.
Тест № 9–12. Вписанная окружность
Радиус вписанной окружности больше 1, если эта окружность вписана в:
1) равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом 2;
2) ромб со стороной 2 и углом 60°;
3) равнобокую трапецию с меньшим основанием, равным 2, и углом при нем 120°;
4) равнобедренный треугольник с основанием 2 и углом при основании 80°;
5) правильный пятиугольник с радиусом описанной окружности, равным 2.
10 класс
Тест № 10–1. Взаимное положение прямых
Две прямые скрещиваются, если:
1) они скрещиваются с третьей прямой;
2) они перпендикулярны одной и той же прямой и не имеют общих точек;
3) они лежат в параллельных плоскостях;
4) каждая из них соответственно перпендикулярна грани правильного тетраэдра, причем проходит через центр этой грани;
5) одна из них проходит через боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, а другая – через среднюю линию основания.
Тест № 10–2. Параллельность прямых
Две прямые параллельны, если:
1) существует прямая, параллельная каждой из данных прямых;
2) каждая из данных прямых перпендикулярна одной и той же прямой;
3) найдется плоскость, перпендикулярная каждой из данных прямых;
4) они лежат в параллельных плоскостях;
5) существует прямая, одинаково удаленная от данных прямых.
Тест № 10–3. Перпендикулярные прямые
Прямые взаимно перпендикулярны, если:
1) они соответственно параллельны двум взаимно перпендикулярным плоскостям;
2) они лежат в плоскостях граней прямого двугранного угла, причем их общая точка лежит на ребре двугранного угла;
3) они проходят через скрещивающиеся ребра правильной треугольной пирамиды;
4) одна из них проходит через боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, а другая проходит через скрещивающуюся с эти ребром диагональ основания;
5) они проходят через скрещивающиеся диагонали соседних боковых граней прямоугольного параллелепипеда.
Тест № 10–4. Параллельные плоскости
Две плоскости параллельны, если:
1) существует плоскость, параллельная каждой из них;
2) найдется прямая, перпендикулярная каждой из них;
3) они перпендикулярны одной и той же плоскости;
4) существует плоскость, равноудаленная от них;
5) существует плоскость, которая пересекает обе данных плоскости под одним и тем же углом.
Тест № 10–5. Расстояние в пространстве
Зависимость y от x– линейная.
1) ABCDA1B1C1D1 – куб. AD = x, DB1 = y;
2) ABCD – правильный тетраэдр, DD1= x, BC = y, D1 – центр грани ABC.
3) PABCD – четырехугольная пирамида, в которой все ребра равны, P1 – центр основания, Q – центр боковой грани. PP1=x, P1Q=y;
4) PABC – тетраэдр, AB = BC = CA = PB = x, PB ^ (ABC). KL=y, K – середина AP, L – середина BC;
5) ABCA1B1C1 – призма, AB = BC = CA=x, CC1=y, РC1CA = РC1CB.
Тест № 10–6. Длина отрезка
Длина отрезка больше 1, если этот отрезок:
1) является высотой в правильном тетраэдре с ребром 2;
2) является диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами основания 1 и 2, причем эта диагональ образует с этими ребрами основания углы 30° и 60° соответственно;
3) соединяет середины двух противоположных ребер некоторой правильной треугольной пирамиды, в которой ребро основания равно 2, а двугранный угол при основании меньше 75°;
4) является кратчайшим между скрещивающимися диагоналями соседних граней куба с ребром 2;
5) является наибольшим в правильной четырехугольной пирамиде, в которой боковое ребро равно 1, а противоположные боковые грани взаимно перпендикулярны.
Тест № 10–7. Углы в пространстве
В кубе ABCDA1B1C1D1 
, если a
– угол между:
1) прямыми B1K и CD, где K – центр грани ABCD;
2) прямой KL и плоскостью CDD1, где K – середина AA1, L – середина B1C1;
3) прямой BD1 и плоскостью ADB1;
4) плоскостями KLM и PMN, где K – середина A1B1, L – середина B1C1, M – середина BB1, N – середина AB, P – середина BC;
5) плоскостями DKB1 и D1KB, где K – середина AA1.
Тест № 10–8. Сечения многогранников
Равнобедренный прямоугольный треугольник можно получить в сечении:
1) куба.
2) правильной треугольной призмы;
3) правильного тетраэдра.
4) правильной четырехугольной пирамиды, у которой
все ребра равны;
5) тетраэдра PABC, в котором AB = BC = AC = PB, PB ^
(ABC).
Тест № 10–9. Сечения многогранника
Площадь сечения больше, чем 1.
1) в кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 проведено сечение плоскостью A1KC1, где K – середина DD1;
2) в кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 проведено сечение плоскостью KLC1, где K – середина CD, L – середина AD;
3) в правильной призме ABCA1B1C1 с ребром 1 проведено сечение плоскостью CC1K, где K – центр грани AA1B1B;
4) в правильном тетраэдре с ребром 1 проведено сечение, являющееся прямоугольником;
5) в кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 проведено сечение плоскостью AKL, где K – середина BB1, L – середина DD1;
Тест № 10–10. Сечения многогранника
Наибольшая площадь сечения:
1) больше 1, если оно проведено в кубе с ребром 1 и является треугольником;
2) меньше 1, если оно проведено в правильном тетраэдре с ребром 1 и является параллелограммом;
3) меньше 1, если оно проведено в правильной треугольной призме с ребром, равным 1, и является треугольником;
4) больше 1, если оно проведено в четырехугольной пирамиде с ребром, равным 1, параллельно двум боковым ребрам и является треугольником;
5) больше 1, если оно проведено в тетраэдре PABC (в нем ребро PB перпендикулярно основанию ABC и AB=BC=CA=PB=1) и проходит перпендикулярно AC.
Тест № 10–11. Сечения многогранников
Правильный n-угольник можно получить в сечении, не совпадающем с гранью для таких многогранников:
1) правильного тетраэдра, если n = 4;
2) куба, если n = 6;
3) правильной треугольной призмы с равными ребрами, если n = 5;
4) правильной четырехугольной пирамиды с равными ребрами, если n = 3;
5) тетраэдра ABCD, в котором DB ^ (ABC), AD=DC=3, AB=BC=1,5, AC=2, если n = 3.
Тест № 10–12. Трехгранный угол
В трехгранном угле, если:
1) есть два плоских прямых угла, то есть два прямых двугранных угла;
2) есть прямой двугранный угол, то есть и прямой плоский угол;
3) все плоские углы равны, то углы между биссектрисами его плоских углов – острые;
4) один плоский угол прямой, то луч, выходящий из вершины трехгранного угла и образующий с лучами плоского прямого угла углы, равные 30°, образуют с третьим ребром трехгранного угла острый угол;
5) все плоские углы прямые, то внутри его плоских углов не может быть лучей с началом в вершине трехгранного угла и взаимно перпендикулярных.
11 класс
Тест № 11–1. Сечения шара
В шаре радиуса 2:
1) площадь большого круга больше, чем 12;
2) площадь сечения, удаленного от центра на 1, меньше, чем 10;
3) площадь сечения, составляющего с плоскостью большого круга угол 60°, больше, чем 1;
4) существует сечение, площадь которого равна 1;
5) существуют два взаимно перпендикулярных сечения, суммарная площадь которых равна 20.
Тест № 11–2. Сечения цилиндра
Диаметр основания цилиндра равен его образующей и равен 2. В таком цилиндре:
1) площадь осевого сечения больше, чем 3;
2) существует прямоугольное сечение, площадь которого равна 4;
3) площадь сечения, параллельного основанию меньше, чем 3;
4) наибольшая площадь сечения, являющегося эллипсом, больше, чем 16;
5) площадь сечения, проходящего через диаметр основания и середину любой образующей его поверхности, больше, чем 2.
Тест № 11–3. Сечения конуса
Диаметр основания конуса равен образующей его поверхности и равен 2. В таком конусе:
1) площадь осевого сечения больше, чем 1,5;
2) существует сечение, параллельное основанию, площадь которого равна 1;
3) существует сечение, проходящее через вершину конуса, площадь которого меньше, чем 0,01;
4) наибольшая площадь треугольного сечения равна 2;
5) существует сечение с площадью, равной 8.
Тест № 11–4. Сечения пространственных фигур
Площадь сечения может равняться:
1) 4 , если это сечение шара радиусом 1;
2) 5, если это сечение куба с ребром 1;
3) 4, если это сечение цилиндра с радиусом 1 и образующей 1;
4) 2, если это сечение конуса и проходит через его вершину. (Образующая поверхности конуса равна 2 и составляет с плоскостью основания угол 15°);
5), если это сечение правильной треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 1 и попарно перпендикулярны.
Тест 11–5. Свойства тетраэдра
В тетраэдре PABC PB ^ (ABC).
В этом тетраэдре:
1) все грани прямоугольные треугольники;
2) наименьшее ребро – ребро AC;
3) AP ^ BC;
4) есть тупой двугранный угол;
5) есть плоскость симметрии.
Тест 11–6. Свойства правильного тетраэдра
В правильном тетраэдре с ребром 1:
1) угол между скрещивающимися ребрами больше 60°;
2) угол между гранями больше 45°;
3) объем меньше 1;
4) радиус описанного шара больше, чем 0,5;
5) расстояние между скрещивающимися ребрами больше, чем 0,5.
Тест 11–7. Свойства куба
В кубе с ребром 1:
1) можно уместить отрезок длиной 1,7;
2) угол между диагональю и гранью больше 30°;
3) расстояние между скрещивающимися ребрами соседних граней больше, чем 0,5;
4) найдется сечение площадью, большей, чем 1,2;
5) найдется сечение, которое является правильным пятиугольником.
Тест 11–8. Описанная сфера
Радиус описанной сферы больше 1, если эта сфера описана около:
1) правильной треугольной пирамиды с боковым ребром 1 и попарно перпендикулярными боковыми ребрами;
2) правильного тетраэдра с ребром 2;
3) правильной треугольной призмы, у которой все ребра равны 2;
4) правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром 3 и диагональю основания 4;
5) конуса, в котором высота равна 1, а отношение диаметра основания к образующей его поверхности равна 1,5.
Тест 11–9. Вписанная сфера
Радиус вписанной сферы больше 1, если эта сфера вписана в:
1) куб с диагональю 2;
2) правильный тетраэдр с ребром 6;
3) правильную треугольную призму с объемом 2;
4) цилиндр с площадью боковой поверхности 20;
5) конус с образующей поверхности 2.
Тест 11–10. Описанная и вписанная сфера
В данное тело вписана сфера и около него описана сфера. Отношение радиуса описанной сферы к радиусу вписанной сферы больше, чем 2, если данное тело:
1) прямоугольный параллелепипед;
2) правильная четырехугольная пирамида с равными ребрами;
3) правильная треугольная призма;
4) цилиндр;
5) конус, у которого осевым сечением является равносторонний треугольник.
Тест 11–11. Площадь поверхности тела
Площадь поверхности этого тела больше, чем 10:
1) прямой треугольной призмы с объемом 16, у которой все ребра равны;
2) правильного тетраэдра объемом 2;
3) правильной четырехугольной пирамиды с объемом 2 и углом между боковыми гранями 150°;
4) пилиндра объемом 3 и площадью осевого сечения, равной 6;
5) конуса объемом 4 и углом при вершине в осевом сечении, равным 900.
Тест 11–12. Объем
Имеется некоторое тело M. Объем его больше 10, если это тело:
1) прямоугольный параллелепипед, диагональ которого, равная 30, образует равные углы с гранями, имеющими с ней общую точку;
2) тетраэдр, у которого пять ребер равны 4;
3) правильная четырехугольная пирамида, у которой боковые ребра равны 2;
4) цилиндр, у которого осевое сечение имеет площадь 6;
5) конус с площадью поверхности 16.
Небольшой комментарий к заданиям. Специального внимания требуют тесты, в условии которых использован термин «некоторый». Именно этот термин используется в заданиях, в которых возможен неопределенный ответ, когда данных недостаточно для однозначного ответа. Поясню эту мысль простым примером. Возьмем утверждение «Маша любит кашу». Если вам предложат высказать к нему свое отношение, то вполне естественной будет реакция такого типа: «Смотря какая Маша и смотря какая каша.» Хочется получить аналогичную реакцию в утверждении математического характера. Но как тогда его сформулировать? Если придать утверждению про Машу и кашу математический характер, то надо развешивать кванторы всеобщности и существования. Но кванторы тут же «убьют» неопределенность и кроме ответов «да» и «нет» никаких других не получить. Для получения других по природе ответов и приходится говорить что-то вроде: «Некоторая Маша любит некоторую кашу.» И так как истинность (ложность) такого утверждения зависит от Маши и от каши, то поставим в качестве ответа знак «?».
Как же такая ситуация отражается в тестах? Возьмем тест 11–12. Первое утверждение верно, поскольку прямоугольный параллелепипед, отвечающий условию, является кубом, а для куба это верно. Третье утверждение неверно, так как даже наибольший объем такой пирамиды меньше десяти. Неверным является и пятое утверждение, ибо даже шар с такой площадью поверхности имеет объем, меньший 10. А вот второе утверждение не позволяет дать однозначный ответ, так как тетраэдр, отвечающий условию может иметь и объем, больший десяти, и объем, меньший десяти. Поэтому верный знак в ответе – «?». Такой же ответ и в четвертом утверждении.
Я, разумеется, не считаю, что тестовая проверка на экзамене по геометрии единственно разумная, а предлагаемая мной «тестовая идеология» идеальна. Скорее наоборот – здесь открывается громадное поле для эксперимента, а потому неизбежны ошибки, заблуждения и неудачи. Полный анализ и результатов таких экзаменов еще впереди. В частности, вряд ли стоит сохранять на будущее такие тесты, на которые почти все ученики дали верные ответы (Напомню, что под тестом я пониманию набор из пяти тестовых заданий – утверждений.)
Два соображения подвигают меня на продолжение эксперимента. Первое – громадная экономия времени на проверку. Второе. Экзамен в традиционной форме, что ни говори, проверяет в первую очередь память школьника – помнит ли он, как решать определенные типы заданий. Предлагаемые мной тесты сразу же погрузили ученика в мир размышлений. Чтобы в этом убедиться, достаточно читателю «пройтись» по этим тестам самому, как и сделали мои коллеги, бывшие ассистентами на экзаменах.
Глобально же «идеология» составляемых мной тестов – проверка готовности к продолжению математического образования. Но разговор на эту тему – в будущем.
P.S. Первая часть тестов «готовности» под рубрикой «Числа» издана в 1999 году. Заказы на них можно прислать по адресу: 198188, Санкт–Петербург, пр. Стачек 72, офис 65, Издательство «Оракул».
.