И. Вальдман,
математический лицей № 40
г. Петрозаводск

О проведении экзамена

7 класс

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. Учебник для учащихся 7-го класса средних школ. – СПб., «Специальная литература», 1998.

В 7-м классе начинается систематическое изучение курса геометрии. За этот учебный год учащиеся познакомились с тем, что такое аксиома и что такое теорема. Узнали, каким образом получается новое геометрическое знание (аксиома – теорема – новая теорема), в чем суть математического доказательства. Познакомились со структурой теоремы и получили первые навыки работы с ней.
Экзамен проводится по билетам, в каждый из которых включены теорема и задача. Главная цель экзамена – не проверить как можно больший объем знаний учеников, а культуру их логического мышления. Поэтому объем проверяемого теоретического материала содержит лишь основные теоремы курса (12) и наиболее важные следствия из них (10).
В качестве задач выбраны наиболее важные, т. е. те, которые широко используются в дальнейшем, иллюстрируют основные методы доказательства теорем или решения задач. Часть из этих задач были решены в течение учебного года, а часть – нет. Уровень сложности предлагаемых задач достаточно высокий, поэтому в ходе экзамена не все ученики смогут решить задачу «сходу». Следовательно, здесь не применим стандартный подход к оценке ответа. Экзаменатор должен дать возможность каждому экзаменуемому сориентироваться в конкретной ситуации (резерв времени, дополнительные вопросы) и в процессе беседы с учеником выяснить уровень его математической подготовки.
Количество экзаменационных задач более чем в два раза превышает количество билетов. Это сделано из желания предоставить каждому ученику отдельную задачу.

В ходе ответа на экзамене учащийся должен:

1) знать определение всех объектов, которые встречаются в ходе доказательства;
2) формулировать полностью все утверждения, на которые ссылается при доказательстве;
3) четко формулировать доказываемое утверждение и выделять, что дано и что надо доказать;
4) понимать, в чем суть метода доказательства от противного;
5) понимать, что такое прямая и обратная теоремы;
6) продемонстрировать понимание (описать своими словами) таких категорий, как свойство и признак;
7) уметь выполнять основные построения циркулем и линейкой.

Билеты для экзамена

Билет № 1

1. Теорема о равенстве углов равных треугольников (теорема 1).
2. Задача по теме «Сумма углов треугольника».

Билет № 2

1. Первый признак равенства треугольников (теорема 2).
2. Задача по теме «Неравенства в треугольнике».

Билет № 3

1. Второй признак равенства треугольников (теорема 3).
2. Задача по теме «Параллельность».

Билет № 4

1. Свойства равнобедренного треугольника (теорема 4).
2. Задача по теме «Отрезки, лучи, прямые».

Билет № 5

1. Теорема о серединном перпендикуляре (теорема 5) и теорема, ей обратная.
2. Задача по теме «Неравенства в треугольнике».

Билет № 6

1. Признаки равнобедренного треугольника (теорема 6 и задача 5.4).
2. Задача по теме «Сумма углов треугольника».

Билет № 7

1. Теорема о внешнем угле треугольника (теорема 7).
2. Задача по теме «Окружность и круг. Сфера и шар».

Билет № 8

1. Следствия к теореме о внешнем угле треугольника (следствия 1–5).
2. Задача по теме «Равенство треугольников».

Билет № 9

1. Теорема о соответствии в треугольнике большего угла большей стороне (теорема 8).
2. Задача по теме «Сумма углов треугольника».

Билет № 10

1. Теорема о соответствии в треугольнике большей стороны большему углу (теорема 9).
2. Задача по теме «Углы».

Билет № 11

1. Неравенство треугольника (теорема 10).
2. Задача по теме «Отрезки, лучи, прямые».

Билет № 12

1. Теорема о сумме углов треугольника (теорема 11).
2. Задача по теме «Параллельность».

Билет № 13

1. Первый признак параллельности прямых.
2. Задача по теме «Углы».

Билет № 14

1. Второй и третий признаки параллельности прямых, параллельность перпендикуляров.
2. Задача по теме «Равенство треугольников».

Билет № 15

1. Свойства параллельных прямых.
2. Задача по теме «Равнобедренный треугольник».

Билет № 16

1. Теорема о равенстве отрезков параллельных прямых, заключенных между двумя другими параллельными прямыми.
2. Задача по теме «Равнобедренный треугольник».

Задачи к билетам

Тема: «Отрезки, лучи, прямые»

1. Отрезок AB разбит точкой C на два отрезка: AC = 1, CB = 2. Чему равно расстояние между серединами этих отрезков?
Решите такую же задачу в общем виде, когда AC = a, CB = b.
Сможете ли вы решить эту задачу, если известна только длина AB = d?

2. Три отрезка длиной 6 см каждый лежат на одной прямой. Первый и второй отрезки имеют общую часть, равную 4 см. Такую же общую часть имеют второй и третий отрезки. Можете ли вы вычислить длину общей части первого и третьего отрезков?
Попытайтесь решить такую же задачу в общем виде.

3. В треугольнике ABC провели отрезок BD до стороны AC. Чему равен отрезок BD, если:

а) периметр данного треугольника равен 20 см, а периметры полученных треугольников равны 10 см и 12 см;
б) периметр данного треугольника равен 3 м, а периметры полученных треугольников равны 1 м и 2 м?

Тема: «Окружность и круг. Сфера и шар»

1. Даны две точки A и B.

а) Сколько через них можно провести окружностей?
б) Есть ли среди них самая большая? Самая маленькая?

2. Какие из приведенных ниже утверждений верны, а какие – нет?

а) В круге есть самая длинная хорда.
б) В круге есть самая короткая хорда.
в) Для каждой хорды данного круга в нем найдется равная ей.
г) В каждом круге есть такой сегмент, который является и сектором этого круга.
д) В каждом секторе круга содержится бесконечно много сегментов этого круга.
е) В каждом круге можно найти такой его сегмент, который содержит данный сектор этого круга.

3. Даны две точки A и B такие, что AB = 1. Нарисуйте фигуру, состоящую из всех точек X таких, что:

а) AX Ј 1, BX і 1;
б) AX і 1, BX і 1.

4. Отметьте на шаре точку A. Проведите окружность на поверхности шара с центром в этой точке. Возьмите на этой окружности точки B и C. Объясните, почему треугольник ABC – равнобедренный. Может ли такой треугольник быть равносторонним?

Тема: «Углы»

1. Даны две точки A и B. Нарисуйте фигуру, состоящую из всех точек X таких, что:

а) Р XAB і 30°, Р XBA Ј 30°;
б) Р XAB Ј 30°, Р XBA і 30°.

2. Углы ab и bc – смежные, луч p – биссектриса угла ab. Луч q идет внутри угла bc из его вершины. Докажите, что q – биссектриса угла bc, если угол pq – прямой.

3. 

а) С помощью транспортира постройте угол равный 70°. Уберите транспортир и постройте угол равный 10°. (Можно использовать другие инструменты.)
б) С помощью транспортира постройте угол равный 17°. Уберите транспортир и постройте угол равный 7°.
в) С помощью транспортира постройте угол равный 65°. Уберите транспортир и постройте угол равный 20°.

Тема: «Равенство треугольников»

1. Докажите, что если у четырехугольника все стороны и все углы равны, то его диагонали равны и перпендикулярны.

2. Докажите, что в равных треугольниках равны соответственные:

а) медианы;
б) биссектрисы;
в) высоты.

3. Нарисуйте угол POQ. Нарисуйте его биссектрису. На сторонах угла отложите равные отрезки OA и OB, а на биссектрисе отметьте точку C. Докажите, что:

а) CA = CB;
б) луч CO – биссектриса Р ACB;
в) AB ^ OC.

4. Постройте окружность в центром в точке O₁. Постройте еще одну окружность с центром в точке O₂ того же радиуса так, чтобы эти окружности пересекались в двух точках. Назовите их A и B. Докажите, что:

а) AB одинаково виден из точек O₁ и O₂;
б) O₁O₂ одинаково виден из точек A и B.

Какое из этих утверждений будет верным, если радиусы построенных окружностей будут разными?

5. ABCD – треугольная пирамида. Докажите, что все грани этой пирамиды являются равными треугольниками,
если Р ABD = Р BDC, Р ADB = Р CBD, Р ADC = Р BAD.

Тема: «Равнобедренный треугольник»

1. На листе бумаги изображена окружность. Как при помощи линейки и циркуля найти ее центр?

2. Нарисуйте треугольник. Постройте серединные перпендикуляры двух его сторон. Пусть O – точка их пересечения. Докажите, что:

а) точка O равноудалена от всех вершин треугольника;
б) точка O лежит на серединном перпендикуляре третьей стороны треугольника.

3. На земле проведена прямая и на ней выбрана точка. Нужно провести прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через эту точку. Измерительных инструментов у вас нет. Сможете ли вы справиться с задачей?

4. Мимо двух поселков проходит шоссе. Где вы предложите сделать остановку автобуса, чтобы это было удобно для жителей обоих поселков?

5. В четырехугольной пирамиде PABCD основание – квадрат ABCD. Какими по виду являются треугольники PCD, PQC, APC, BPD (точка Q – точка пересечения диагоналей квадрата)?

 Тема: «Неравенство треугольника»

1. У двух треугольников соответственно равны по две стороны, а угол между ними в первом треугольнике больше. Докажите, что и третья сторона в первом треугольнике больше.

2. Вы идете по шоссе мимо башни. Чем ближе вы к башне, тем лучше ее видно. Как это можно объяснить?

3. Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы и больше полуразности сторон, между которыми она находится.

Тема: «Сумма углов треугольника»

1. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°. Докажите, что катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

2. Вы стоите на ровном участке склона. Придумайте способ для нахождения угла, который склон образует с горизонтальной поверхностью.

3. Внешний угол равнобедренного треугольника равен a. При каком значении a этот треугольник является равносторонним? Прямоугольным?

4. Чему равен угол между биссектрисами двух углов треугольника, если третий его угол равен a? Как решить обратную задачу?

5. Из точки A, лежащей внутри данного угла, провели на его стороны перпендикуляры. Установите вид угла A в зависимости от вида данного угла.

6. Нарисуйте две пересекающиеся прямые. Нарисуйте точку, не лежащую на этих прямых. Проведите через нее прямые, перпендикулярные данным прямым. Докажите, что угол между проведенными прямыми равен углу между данными прямыми.

Тема: «Параллельность»

1. Докажите, что в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам.

2. Нарисуйте две параллельные прямые a и b. На прямой a отметьте две точки K и M. Проведите через эти точки две прямые, образующие с прямой a равные углы. Докажите, что отрезки этих прямых, заключенных между a и b, равны.

3. Докажите, что если в четырехугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

4. Изобразите произвольную прямую и точку, не лежащую на ней. Проведите через эту точку прямую, параллельную изображенной прямой.

.