А. Егоров, Ж. Раббот,
Москва

У нас в гостях журнал "Квант"

Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения довольно часто становятся «камнем преткновения» на вступительных экзаменах. О некоторых методах их решения мы и поговорим, причем в основном будем иметь дело с квадратными корнями (радикалами). Как правило, такая задача решается, если нам удается избавиться от радикалов и свести ее к «обычным» уравнениям, не содержащим корней.

Простейшие уравнения

Так мы будем называть уравнения вида

 
и

Именно к ним сводится в итоге решение большинства уравнений, связанных с квадратными корнями. Избавиться от радикалов в простейших уравнениях можно, возведя их почленно в квадрат. Однако при этом могут появиться посторонние корни, так что надо еще позаботиться об их отсеве.

Уравнение первого типа равносильно каждой из двух систем

и

поскольку после возведения в квадрат получаем уравнение-следствие f(x) = g(x). Мы должны, решив его, выяснить, принадлежат ли найденные корни области определения исходного уравнения, т. е. выполняется ли неравенство f(x) і 0 (или g(x) і 0). На практике из этих систем выбирают для решения ту, в которой неравенство проще.

Рассмотрим пример.

Пример 1.  Решите уравнение

Решение. Находим корни уравнения f(x) = g(x):

Поскольку для корней нашего квадратного уравнения x² – 1 = – x, неравенство

g(x) і 0 Ы x² – 1 і 0

выполняется при x₂ < 0 и не выполняется при x₁ > 0.

Ответ:

Обратите внимание на то, что мы при отборе корней обошлись, по сути дела, без непосредственных вычислений.

Уравнение второго типа равносильно системе

Школьники довольно часто добавляют к этой системе неравенство f(x) і 0. Однако обычно этого делать не нужно (и даже опасно, особенно в задачах с параметром), поскольку условие f(x) і 0 автоматически выполняется для корней уравнения f(x) = g²(x), в правой части которого стоит неотрицательное выражение — квадрат функции g(x).

Пример 2. Решите уравнение

Решение. После возведения в квадрат получаем уравнение 2x² + x – 3 = 0. Его корни Условию x і 1 удовлетворяет лишь x = 1.

Ответ: 1.

Пример 3. Решите уравнение

Решение. После возведения в квадрат и упрощений получаем уравнение x² + 6x + 2 = 0

с корнями Условию

удовлетворяет лишь корень «с плюсом». В этом можно убедиться, заметив, что

Но можно поступить и так. Поскольку при значение квадратного трехчлена отрицательное:

число лежит между его корнями x₁ и x₂.

Такой прием иногда избавляет от необходимости проводить не очень сложные, но порой утомительные вычисления.

Ответ:

Упражнение 1. Решите уравнения:

Более сложные уравнения

Если в уравнении имеется несколько радикалов или же их нагромождение вроде и т. п., первоначальной целью является избавление от них, что достигается возведением в квадрат (может быть, неоднократным) с тем, чтобы в конце концов прийти к уравнениям, которые мы умеем решать.

Пример 4. Решите уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде

и возведем в квадрат. После упрощений получим простейшее уравнение

или, после повторного возведения в квадрат,

x² – 92x + 180 = 0.                           (2)

Возводить в квадрат число 46 без калькулятора — занятие довольно неприятное. Поэтому попробуем угадать корень. Легко понять (просто перебирая первые квадраты: 1, 4, 9, 16, 25... и приравнивая им двучлен 7x – 5 — «наименьший» из подкоренных выражений), что x₁ = 2 удовлетворяет уравнению (1), а значит — и (2). По теореме Виета второй корень уравнения (2) это x₂ = 90, причем оба корня удовлетворяют второму, а следовательно, и исходному уравнению.

Замечание. Вообще в случаях, когда корни, получаемые в результате последовательных возведений в квадрат, достаточно простые (например, целые), можно не заботиться о равносильности переходов и в конце решения просто проверить их прямой подстановкой. В более сложных случаях, когда прямая проверка затруднена, приходится тщательно следить за возможностью появления посторонних корней.

Пример 5. Решите уравнение

Решение. Способ I. Переписываем уравнение так:

Возводим в квадрат и упрощаем:

Повторное возведение в квадрат дает уравнение  x² – 17x + 34 = 0

с корнями 

Неравенству x і 4 удовлетворяет лишь (Можно подставить x=4 в трехчлен x²–17x+34 — см. конец решения примера 3).

Способ II. Выполним замену откуда x = t² + 2. Приводим уравнение к виду

После возведения в квадрат и упрощений получаем

t² – 3t – 2 = 0,     (3)

откуда (второй корень отрицателен). Теперь вычисляем корень исходного уравнения:

(мы опять воспользовались уравнением (3), для корней которого верно, что t² + 2 = 3t + 4).

Ответ: .

Вообще же подстановка вида часто упрощает решение уравнений вида

После замены получаем уравнение вида . Существенно здесь то, что при решении квадратного уравнения

At² + Bt + C = 0,

к которому приходим после однократного возведения последнего уравнения в квадрат, приходится выявлять лишь неотрицательные корни, что также достаточно просто.

Рассмотрим теперь два уравнения с «двухэтажными» радикалами.

Пример 6. Решите уравнение

Решение. Возведя уравнение в квадрат и приведя подобные члены, получаем простейшее уравнение

решая которое, приходим к ответу.

Ответ:

Пример 7. Решите уравнение

Решение. Пусть Тогда x = t² + 1, и уравнение принимает вид

Заметив, что под вторым знаком радикала стоит (t – 1)², получаем

При 0 Ј t < 1 имеем откуда  t = 0, а x₁ = 1.

При t і 1 приходим к уравнению

единственный корень которого удовлетворяет условию t і 1. Итак,

Ответ:

Рассмотрим еще уравнение с параметром.

Пример 8. Решите уравнение

Решение. ОДЗ исходного уравнения: x і 2. При этом (2x – 1) – (x – 2) = x + 1 > 0, т. е. левая часть исходного уравнения положительна, поэтому a і 0. Пусть Тогда x = t² + 2, и уравнение приводится к виду

Возведем в квадрат и упростим: t² – 2at + 3 – a² = 0.         (4)

Условие разрешимости этого уравнения дает

т. е. (учитывая, что a > 0) при этом

При уравнение (4) имеет один корень а 

Если свободный член уравнения (4) неотрицателен и, следовательно, оба его корня неотрицательны (ведь t₁ + t₂ = 2000). Для них

Если же годится только неотрицательный корень (с плюсом), т. е. тогда

Ответ:

корней нет при

Упражнение 2. Решите уравнения:

Упражнение 3. Решите уравнения с параметром:

Умножим на сопряженное

В основе рассматриваемого способа решения лежит формула

Выражения мы будем называть сопряженными. Иногда использование этой формулы облегчает решение.

Пример 9. Решите уравнение

Решение. Домножим левую и правую части уравнения на сумму радикалов, стоящих в левой части. Получается уравнение  равносильное такому: откуда либо либо

Последнее уравнение решим уже рассмотренным способом: пусть . Тогда приходим к уравнению 

откуда 

Ответ:

Заметим, что умножение на сумму радикалов в данном случае не приводит к появлению посторонних корней — ведь область определения этой суммы та же, что у исходного уравнения, и она положительна как сумма неотрицательных слагаемых, не обращающихся, очевидно, в ноль одновременно.

Отметим также, что решить уравнение из примера 9 «в лоб» довольно трудно — оно путем громоздких вычислений сводится к уравнению четвертой степени.

Посмотрите, насколько эффективно работает этот метод в двух следующих примерах, которые оказались по силам очень небольшому проценту поступающих.

Пример 10 (геологический факультет МГУ, 1985). Решите уравнение

Решение. Пусть A = 3x² – 1, B = 3x² + 2x + 1, C = x² – x + 1, D = x² + 2x + 4. Перепишем наше уравнение:

откуда (так как ) получаем

Поскольку C – D = – 3(x + 1), а B – A = 2(x + 1), приходим к равенству

а поскольку второй сомножитель, очевидно, положителен, имеем x = – 1. Проверкой убеждаемся, что x = – 1 — корень данного уравнения.

Ответ: – 1.

Пример 11 (геологический факультет МГУ, 1985). Решите уравнение

Указание. Область определения уравнения – , при таких x мы можем применить формулу Поэтому перепишем уравнение так:

Домножив левую и правую части на разность получим

Осталось возвести в квадрат, а затем найти и проверить корни.

Ответ: 7.

Упражнение 4. Решите уравнения:

В школьном курсе математики вы изучали свойства многих элементарных функций. Их иногда можно с успехом применять и при решении уравнений. Ограничимся несколькими примерами.

Монотонность функций

Начнем с примера.

Пример 12. Решите уравнение

Решение. Это уравнение можно попытаться решить возведением в квадрат (трижды!). Однако при этом, во-первых, получится уравнение четвертой степени и, во-вторых, его коэффициенты будут ужасны. Попробуем угадать корень. Это сделать нетрудно: x = 1. Теперь заметим, что левая часть уравнения — возрастающая функция, а правая — убывающая. Но это значит, что больше одного корня такое уравнение иметь не может. Итак, x = 1 — единственный корень.

Ответ: 1.

Вообще в случае (это относится не только к иррациональным уравнениям), если уравнение имеет вид

f(x) = 0,

где f(x) возрастает (убывает), или f(x) = g(x),

где функции f(x) и g(x) «встречно монотонны», т. е. f(x) возрастает, а g(x) убывает, то такое уравнение имеет не более одного корня. Если вам удалось заметить это или привести уравнение к такому виду и если вы сможете угадать корень, то он и будет решением данного уравнения.

И еще один любопытный пример.

Пример 13. Решите уравнение

Здесь после освобождения от радикалов получится полное уравнение 4-й степени, так что поищем какой-нибудь другой путь решения.

Решение. Пусть Наше уравнение имеет вид

f(f(x)) = x.               (5)

Заметим, что функция f(x) возрастающая, и докажем, что уравнение (5) равносильно уравнению

f(x) = x.                   (6)

Для этого заметим, что всякий корень уравнения (6) есть корень уравнения (5). Пусть x₀ — корень уравнения (5), причем f(x₀)№ x₀. Тогда либо f(x₀) > x₀, но при этом f(f(x₀)) = x₀ > f(x₀), противоречие; либо f(x₀) < x₀, но в этом случае x₀ = f(f(x₀)) < f(x₀), т. е. x₀ < f(x₀), что также невозможно. Утверждение доказано. Чтобы завершить решение, достаточно решить уравнение

Ответ:

Упражнение 5. Решите уравнения:

Область определения

На следующем примере мы рассмотрим еще один класс задач.

Пример 14. Решите уравнение 

Решение. В области определения данного уравнения должны одновременно выполняться неравенства 4–x²і0 и xі2, что возможно только при x = 2. Проверкой убеждаемся, что это — корень.

Ответ: 2.

Упражнение 6. Решите уравнения:

Ограниченность функций

Здесь мы тоже разберем достаточно характерные примеры.

Пример 15. Решите уравнение

Решение. Перепишем уравнение:

Пусть Тогда

Наибольшее значение подкоренного выражения достигается при x = – 1 (в вершине параболы y=15–2x–x²). При этом t₂ = 16. Отсюда следует, что t № 4. Наименьшее значение правой части исходного уравнения достигается также при x = – 1 и тоже равно 4. При x № – 1 левая часть (когда она существует) меньше правой.

Ответ: – 1.

И наконец, еще один пример, в решении которого мы воспользуемся свойством суммы двух взаимно обратных положительных чисел: , причем равенство достигается лишь при a = 1.

Пример 16. Решите уравнение

Решение. Пусть Левая часть уравнения, равная больше или равна 2:

а правая часть не больше 2.

Поэтому равенство возможно только при x = 2. Проверкой убеждаемся, что x = 2 — корень.

Упражнение 7. Решите уравнения:

.