Ю. Глазков, Л. Денищева,
К. Краснянская, П. Семенов,
Москва

Единый государственный экзамен по математике

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике отличается от выпускного экзамена, который проводится в школе по окончании 11-го класса. Это отличие прежде всего состоит в том, что ЕГЭ совмещает два экзамена – выпускной школьный и вступительный в высшее учебное заведение.
Выпускной экзамен проводится для того, чтобы оценить уровень усвоения школьником материала курса «Алгебра и начала анализа», который изучается в 10-11-х классах. Поэтому задания экзаменационной работы на выпускном экзамене проверяют усвоение материала только этого курса.
Целью вступительного экзамена является оценка подготовленности выпускника к обучению в вузе. В этом случае содержание экзаменационной работы значительно шире, чем на выпускном экзамене. При подготовке к сдаче ЕГЭ необходимо повторить материал не только курса «Алгебры и начал анализа», но и некоторых разделов курса математики основной и средней школы: проценты; пропорции, формулы общего члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий; материал курса планиметрии для 7-9-х классов и курса стереометрии для 10-11-х классов.
На выполнение экзаменационной работы при сдаче ЕГЭ отводится 3 часа (180 минут). Работа содержит 25 заданий и разделена на 3 части, которые различаются по числу, сложности и типу включенных в них заданий.
Часть 1 содержит 13 несложных заданий (обязательного уровня), составленных только на материале курса «Алгебры и начал анализа» для 10-11-х классов.
Все задания первой части – задания с выбором ответа из 4 предложенных вариантов. За верное выполнение задания дается 1 балл.
Часть 2 содержит 9 заданий (повышенного уровня), более сложных по сравнению с заданиями части 1. Эти задания составлены на материале курса математики для 5-11-х классов. Среди них имеются алгебраические, геометрические задания и задания, связанные с использованием процентов и пропорций.
Все задания второй части требуют записи только краткого ответа в виде некоторого числа. За верное выполнение задания дается 1 балл.
Задания части 3 можно сравнить с наиболее трудными заданиями, которые предлагаются в экзаменационной работе на выпускном экзамене по алгебре и началам анализа в 11-м классе (обычно под номерами 5 и 6) или на вступительных экзаменах в большинстве вузов. Эти задания требуют записи полного решения с необходимым обоснованием, как это обычно делается при выполнении письменных контрольных работ в школе. В зависимости от полноты и правильности решения за выполнение задания выставляется от 0 до 4 баллов.

В приведенной ниже таблице представлена краткая информация об особенностях экзаменационной работы.

Характеристика частей экзаменационной работы

Всего в работе 25 заданий.

При сдаче ЕГЭ подготовка выпускника оценивается двумя разными оценками: одной оценивается уровень подготовки к обучению в вузе, другой – уровень усвоения материала курса «Алгебры и начал анализа» для 10-11-х классов.

Первая из них выставляется по 100 – балльной шкале на основе баллов, полученных за все выполненные выпускником задания. Эта оценка заносится в его сертификат, который он может послать в приемные комиссии выбранных им российских вузов, участвующих в эксперименте по введению единого государственного экзамена.

Вторая оценка – аттестационная – выставляется по пятибалльной шкале. При этом учитывается выполнение только заданий по курсу «Алгебры и начал анализа» для 10-11-х классов. Если, например, в работу включены две геометрические задачи, то при выставлении аттестационной оценки выполнение этих двух заданий не принимается во внимание, так как проверяемый ими материал не относится к курсу «Алгебры и начал анализа». Оценка, полученная при сдаче ЕГЭ, учитывается наряду с предварительной годовой отметкой, выставленной учителем, при определении итоговой отметки, которая заносится в аттестат о среднем образовании.

Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов

Инструкция по выполнению работы

На выполнение экзаменационной работы по математике дается 3 часа (180 минут). В работе 25 заданий. Они расположены по нарастанию трудности и распределены на 3 части.

В первой части 13 более простых заданий по материалу курса «Алгебры и начал анализа». К каждому из них даны 4 варианта ответа, из которых только один верный.

Часть 2 содержит 9 более сложных заданий по материалу курса «Алгебры и начал анализа» для 10-11-х классов, а также разделов курсов алгебры и геометрии девятилетней и средней школы. При их выполнении требуется записать только полученный ответ.

Часть 3 содержит 3 наиболее сложных задания, при выполнении которых требуется записать полное решение.

Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удается выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у вас останется время, то можно вернуться к пропущенным заданиям.

Для получения отметки «3» достаточно выполнить верно любые 7 заданий из всей работы. Для получения отметки «4» необходимо выполнить не только задания части 1, но и части 2. Для получения отметки «5» необходимо выполнять задания из частей 1, 2 и 3, при этом не требуется решить все задания работы, но среди верно выполненных заданий должно быть хотя бы одно из части 3.

За верное выполнение различных по сложности заданий дается один или более баллов. Сумма баллов, полученная Вами за все выполненные задания, выставляется в сертификат, который может быть использован при поступлении в вуз. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать как можно большее количество баллов.

Проверьте, заполнили ли Вы все поля «бланка ответов», которые должны были заполнить ДО начала выполнения работы.

Приступайте к выполнению работы.

Желаем успеха!

Часть 1

При выполнении заданий этой части укажите в бланке ответов цифру, которая обозначает выбранный Вами ответ (1–4), поставив знак «ґ» в соответствующей клеточке бланка для каждого задания А1 – А13.

А1. Упростите выражение

А2. Найдите значение выражения 

если х = 27, у = 25.

1)
2) 3;
3) 9;
4)

А3. Вычислите: log₂ 0,04 + 2log₂ 5.

1) 0;
2) 3;
3) – 1;
4) log₂5.

А4. Упростите выражение

1) 0;
2) 2cosa;
3) cosa + sina;
4) cosa – sina.

А5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) [– 3; – 1);
2) [– 1; 1);
3) [1; 3);
4) [3; 5).

А6. Решите неравенство log_0,5(2 – 0,5x) і –1.

1) [0; 4);
2) (– Ґ; 0];
3) (4; + Ґ);
4) (4; 6].

А7. Найдите область определения функции

1) (1,5; + Ґ);
2) [2; + Ґ);
3) [1,5; + Ґ);
4) [5; + Ґ).

А8. Функция у = р(х) задана графиком на отрезке [– 4; 2]. Найдите область ее значений.

1) [– 4; 2];
2) [– 2; 0];
3) [– 2; 4];
4) [– 2; 1].

А9. Укажите график нечетной функции.

1)            2)

3)           4)

А10. На рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке а. Укажите функцию, производная которой в точке а равна 1.

1)           2)

3)           4)

А11. Найдите значение производной функции в точке x₀ = – 3.

1) 2;      2) 0;      3) – 2;       4) – 3.

А12. Укажите первообразную функции f(x) = 2 – sin x.

1) F(x) = 2x – cos x;
2) F(x) = x² + cos x;
3) F(x) = 2x + cos x;
4) F(x) = 2 + cos x.

А13. Найдите корень уравнения sin 2x – 4cos x = 0, принадлежащий отрезку [2p; 3p].

Часть 2

Ответом на задания этой части будет некоторое число. Это число надо записать в бланке ответов рядом с номером задания (В1 – В9), начиная с первого окошка. Каждую цифру пишите в отдельном окошке. Единицы измерений писать не нужно. Если у Вас ответ получился в виде дроби, то ее надо округлить до ближайшего целого числа.

В1. Найдите минимум функции

В2. Вычислите площадь фигуры, расположенной в первой координатной четверти и ограниченной линиями

В3. Сколько решений имеет уравнение

В4. При каком наименьшем значении а функция возрастает на всей числовой прямой?

В5. Пусть (x₀; y₀) – решение системы уравнений

Найдите произведение x₀•y₀.

В6. Вычислите значение выражения

В7. Найдите наименьшее значение функции

В8. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны соответственно 2м и 5м.

В9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ АВ = 6м, ВС = 8м, Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой АС и содержащей прямую BA₁.

Часть 3

Для ответов на задания этой части используйте специальный бланк. Запишите сначала номер задания (С₁ и т.д.), а затем запишите полное решение.

С1. Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству значений функции

С2. Найдите наибольшее значение а, при котором уравнение x³ + 5x² + ax + b = 0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен – 2.

С3. При каком значении x из множества {1, 2, 3, …, 98, 99} значение выражения  ближе всего к числу 73?

Инструкция по проверке и оценке выполнения заданий

В экзаменационной работе используются задания трех типов.

Задание части 1 (с выбором ответа) считается выполненным верно, если в «Бланке ответов» отмечена цифра, которой обозначен верный ответ. Верный ответ в заданиях части 2 (с кратким ответом) – целое число. Такое задание считается выполненным верно, если в «Бланке ответов» записано именно это число. Проверка выполнения этих типов заданий осуществляется с помощью компьютера. За каждое верно выполненное задание выставляется 1 балл.

Ответы к заданиям части 1

Ответы к заданиям части 2

Выполнение заданий части 3 (с развернутым ответом) оценивается экспертной комиссией. На основе критериев, представленных в приведенной ниже таблице, за выполнение каждого задания выставляется от 0 до 4 баллов.

Приведем варианты развернутых ответов к заданиям части 3.

С1. Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству значений функции

Решение. Так как то множество значений этой суммы есть отрезок Значит, множество значений числителя дроби – отрезок а для всей дроби – отрезок [2; 4]. Так как функция y=log _1/16x является монотонно убывающей и непрерывной, то множество значений данной функции – отрезок . Вычислив значения логарифмов, получаем, что множеством значений функции f(x) является отрезок [– 8; – 4]. Этому отрезку принадлежат ровно пять целых чисел:
– 8; – 7; – 6; – 5; – 4.

Ответ: 5.

С2. Найдите наибольшее значение а, при котором уравнение x³ + 5x² + ax + b = 0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен (– 2).

Решение. 1)Подставим х = – 2 в левую часть уравнения: –8 + 20 – 2а + b = 0, b = 2a – 12.

2) Так как (–2) – корень, то в левой части уравнения можно вынести общий множитель x + 2:

x³ + 5x² + ax + b = x³ + 2x² + 3x² + ax + (2a – 12) =
= x²(x + 2) + 3x(x + 2) – 6x + ax + (2a – 12) =
= x²(x + 2) + 3x(x + 2) + (a – 6)(x + 2) – 2(a – 6) +
+ 2(a – 6) = (x² + 3x + (a – 6))(x + 2).

3) По условию имеется еще два корня уравнения. Значит, дискриминант первого множителя положителен:
D = (–3)² – 4(a – 6) = 33 – 4a > 0, следовательно a < 8,25.

4)Подставим а = 8 в исходное уравнение:

x³ + 5x² + ax + b = x³ + 5x² + 8x + 4 =
= (x² + 3x + 2)(х + 2) = (х + 1)(х + 2)².

Тогда уравнение имеет только два различных корня. Подставим а = 7 в исходное уравнение:

x³ + 5x² + ax + b = x³ + 5x² + 7x + 2 =
= (x² + 3x + 1)(х + 2).

У первого множителя корни различны, так как дискриминант D = (–3)² – 4 = 5 > 0 . Эти корни – иррациональные, так как иррационален Значит, при а = 7 уравнение имеет три различных корня.

Ответ: 7.

С3. При каком значении x из множества {1, 2, 3, …, 98, 99} значение выражения ближе всего к числу 73?

Решение. После тождественных преобразований данного выражения, учитывая, что х принимает только натуральные значения, получаем

Оценим подкоренное выражение x(x + 2) сверху и снизу.

Так как x² < x(x + 2) < (x + 1)², то

Значит, исходное выражение больше, чем 1 + x и меньше, чем 1 + x + 0,5. Поэтому, при x = 72 значение этого выражения лежит в интервале (73; 73,5).

При х і 73 все значения этого выражения больше 74, а при x Ј 71 все значения меньше 72,5.

Ответ: 72.

К единому государственному экзамену, как и к традиционным выпускным школьным экзаменам, учащихся нужно готовить. В ближайшее время издательство «Просвещение» опубликует 10 вариантов экзаменационной работы, которые были использованы в 2001г., а московское издательство «Интеллект-Центр» выпустит брошюру с рекомендациями и тренировочные задания для подготовки к единому экзамену 2002 г. В следующем номере будут опубликованы примеры таких заданий по всем основным разделам школьной программы.

Продолжение в N 7/2002

.