Ю. Глазков, Л. Денищева,
К. Краснянская, П. Семенов,
Москва

Единый государственный экзамен по математике

Окончание. См. № 6/2002

Выражения и преобразования

Задания с выбором ответа

1. Выполните действия: .

2. Упростите выражение 

3. Вычислите значение выражения 

4. Найдите значение выражения  sin(a + b) – 2cosasinb, если a=73⁰, b=28⁰.

5. Упростите выражение

1) 7;   2) 2 + 2log₇ 2;   3) 2;    4) 3 - 6log₇ 2.

Задания с кратким ответом

1. Вычислите значение выражения если р=2, q=4.

2. Найдите значение выражения

3. Известно, что log_0,2543 = a. Найдите

4. Упростите выражение cos²(45° – a) – cos²(60° + a) – сos 75°•sin(75° – 2a).

Задания с развернутым ответом

1. Многочлен Ax³ + Bx² + Сx + 84 с целыми коэффициентами имеет ровно два корня x=–2 и x=3. Найдите C.

Указание. Рассмотрите два случая:

Ax³ + Bx² + Сx + 84 = A(x + 2)(x – 3)²
и
Ax³ + Bx² + Сx + 84 = A(x + 2)²(x – 3).

Ответ. 56.

2. Известно, что лежит между 8 и 13, а log_bc b принимает целые значения. Найдите количество всех этих значений.

Указание. Обозначьте log_bc b=а, выразите через а и выясните, при каких значениях а это выражение лежит в интервале (8; 13).

Ответ. 5.

Уравнения и неравенства

Задания с выбором ответа

1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) [–4; –2];   2) (–2; –1);   3) [–1; 0];    4) (1; 2).

2. Найдите сумму корней уравнения 

1) –13;   2) –5;   3) 5;   4) 9.

3. Найдите сумму корней уравнения  cos 2x – 2cos x = 3 на промежутке (–5p; 8p).

1)12p;   2) 9p;   3) 4p;   4) 21p.

4. Решите уравнение

1) p;   2) p + 2pn, nОZ;
3) p + 4pn, nОZ;    4) p + pn, nОZ

5. Сколько корней имеет уравнение

1) четыре; 2) два; 3) один; 4) ни одного.

6. Найдите решение (x₀; y₀) системы уравнений

и вычислите значение суммы x₀ + y₀.

1) 4;   2) 5;   3) 9;   4) 10.

7. Решите неравенство 0,4^2x–1і0,16.

1) [1,5; +Ґ);    2) [-0,5; +Ґ);
3) (-Ґ; 1,5];     4) (-Ґ; -0,5].

8. Найдите число целых отрицательных решений неравенства lg(x + 5)Ј2–lg2.

1) 5;   2) 4;   3) 10;   4) ни одного.

Задания с кратким ответом

1. Решите уравнение 9^x + 6^x = 2^{2x + 1}.

2. Найдите корень уравнения log₄ (x+ 12)•log_x 2 = 1.

3. Решите уравнение (cos 6x– 1)ctg 3x = sin 3x.

4. Найдите сумму всех целых решений неравенства 3^2x – 4•3^x + 3 Ј 0.

5. Решите неравенство log_{5x – 1}6Ј0.

6. Решите систему уравнений

7. Найдите число решений уравнения 

8. Найдите наименьшее целое решение неравенства

Задания с развернутым ответом

1. Решите уравнение 3|x² + 2x – 1| = 5x + 11.

Указание. Выражение под знаком модуля меняет знак в нецелых точках. Поочередно раскрывая модуль, решите два квадратных уравнения.

Ответ: – 1.

2. Найдите все целые значения параметра а, при которых неравенство

не имеет решений.

Указание. Область определения неравенства состоит из двух чисел. Подставьте их в неравенство и, учитывая, что они не являются решениями, получите двойное неравенство.

Ответ: 0.

Функции

Задания с выбором ответа

1. Найдите область определения функции

1) (– Ґ; 2) И (2; + Ґ);    2) (– Ґ; 2);
3) (2; + Ґ);    4) (0; 2).

2. Найдите область значений функции g(x) = 2sin x – 1.

1) [–2; 0];    2) [–2; 1];
3) [–3; 1];    4) [–2; 2].

3. Укажите, на каком из данных множеств функция является четной.

1) (– Ґ; + Ґ);    2) (0; + Ґ);
3) (– Ґ; 0) И (0; +Ґ);   4) [0; +Ґ).

4. Укажите функцию, убывающую на отрезке .

1) у = sin x;   2) y = cos x;
3) y = e^–x;    4) y = | x |.

5. Какое из чисел является нулем функции

Задания с кратким ответом

1. Найдите значение функции при

2. Найдите наименьшее значение функции f(x) = 2^2x–1 на промежутке [–3; 1].

3. Найдите значения cos x, если

4. Найдите наименьший положительный период функции f(x) = sin² 4x – cos² 4x.

5. Найдите область значений функции  f(x) = 0,3^x+1 – 10.

6. Найдите наименьшее положительное значение аргумента, при котором график
функции g(x)=2sin x ctg x проходит через точку, лежащую на оси абсцисс.

7. Найдите значение производной функции

в точке х₀ = 2001.

8. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции h(x)=1–2sin²x

равен 2.

9. Найдите наибольшее положительное значение аргумента из промежутка [0; 2p], при котором скорость изменения функции f(x) = tg x больше скорости изменения функции g(x) = 4x + 23.

10. Найдите нули функции

Задания с развернутым ответом

1. Найдите наибольший член числовой последовательности

Указание. Раскройте скобки и вынесите общий множитель n^1,5, который не влияет на возрастание или убывание последовательности. Тогда второй множитель – квадратичная функция натурального аргумента.

Ответ: 552.

2. Решите уравнение 32sin x + | cos 4x – 4 cos 2x – 81| = 108.

Указание. Приведите уравнение к виду 8sin x + | 2sin⁴ x – 21 | = 27.
После замены t = sin x получите 8t + | 2t⁴ – 21 | = 27, причем tО[– 1; 1].

Ответ:

Геометрия

Задания с кратким ответом

1. Меньшее основание трапеции равно 6 м, большее – 12 м, угол при основании – 60°. Найдите радиус описанной около трапеции окружности.

2. В прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10м и 15м.

3. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2м, а радиус описанной около него окружности равен 5м. Найдите больший катет треугольника.

4. Найдите расстояние от вершины С правильной четырехугольной призмы АВСDА1B1C1D1 до прямой ВD1, если ВС = 6м,

5. Угол осевого сечения конуса равен 60°, а радиус описанной около конуса сферы 6 м. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

6. Стороны основания четырехугольной пирамиды равны 6м, 8м и 10м, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды.

Задания с развернутым ответом

1. Боковые ребра тетраэдра попарно перпендикулярны и равны 4м, 5м и 6 м. Найдите его объем.

Ответ: 20 м³.

2. Два противолежащих ребра правильного тетраэдра служат диаметрами оснований цилиндра. Найдите ребро тетраэдра, если объем цилиндра равен 32м³.

Ответ:

.