С. Шестаков, Москва

Замени функцию

Эта статья посвящена методам решения неравенств, основанным на замене некоторых функций более простыми. Материал статьи может быть использован учителями, работающими в старших классах — как общеобразовательных, так и математических школ при изучении методов решения различных неравенств (содержащих модули, корни, показательных, логарифмических) на уроках и факультативах.
Решение некоторых достаточно сложных (хотя и стандартных) неравенств существенно упрощается, если использовать следующее очевидное утверждение.
Утверждение. Если область определения, нули и промежутки знакопостоянства функции f(x) соответственно совпадают с областью определения, нулями и промежутками знакопостоянства функции g(x), то неравенства

p(x) f(x) і 0     (1)
и                                          
p(x) g(x) і 0    (2)

равносильны.

По существу, это утверждение означает то, что если одна из функций f(x) или g(x) имеет более простой вид, то при решении неравенств вида (1) или (2) ее можно «заменить» на другую. Рассмотрим основные примеры таких пар функций.

I. Функции f(x) = a^u(x) – a^v(x), a>1  и g(x) = u(x) – v(x).

Очевидно, что области определения этих функций совпадают. Кроме того, при a>1

a^u(x)–a^v(x)і0 Ы a^u(x)іa^v(x)Ы u(x)іv(x) Ы u(x)–v(x)і0.

Следовательно, для функций f(x) и g(x) выполнены условия утверждения.

Пример 1. Решите неравенство

Решение. Перейдем в числителе дроби к основанию 2, а в знаменателе — к основанию 5, после чего применим сформулированное утверждение.

Последнее неравенство легко решается методом интервалов.

Ответ:

II. Функции f(x)=|u(x)|–|v(x)| и g(x)=u²(x)–v²(x).

Очевидно, что области определения этих функций совпадают. Кроме того,

|u(x)|–|v(x)|і0 Ы |u(x)|і|v(x)| Ы u²(x)іv²(x) Ы (u²(x)–v²(x))і0.

Следовательно, для функций f(x) и g(x) выполнены условия утверждения.

Пример 2. Решите неравенство

Решение. Воспользуемся утверждением и заменим разности модулей соответствующими разностями квадратов. Получим равносильное неравенство

Последнее неравенство легко решается методом интервалов.

Ответ: (–ҐЧ; – 2)И[– 1; 1]И(2; 4).

Пример 3. Решите неравенство 

Решение. Поскольку x² = |x²|, 1 = |1|, то справедливы следующие равносильные преобразования:

Последнюю систему решаем методом интервалов.

Ответ:

Пример 4. Решите неравенство

Решение. В силу сформулированного утверждения

Поэтому можно сразу перейти к следующему неравенству, равносильному данному,

Вновь воспользовавшись тем же преобразованием, получим неравенство

Последнее неравенство решим методом интервалов.

Ответ: (– Ґ; – 1,5)И(– 0,5; 0)И{1}И[2; + Ґ).

III. Функции и g(x)=u(x)–v(x),   где

Очевидно, что при нечетном n утверждение справедливо. Кроме того, при четном n области определения функций совпадают, и 

Следовательно, при четном n для функций f(x) и g(x) также выполнены условия утверждения.

Пример 5. Решите неравенство 

Решение. Заметим, что числитель и знаменатель дроби определены при любых действительных значениях переменной. Перепишем неравенство, представив знаменатель дроби в виде разности корней, после чего «заменим функцию».

Решим последнее неравенство методом интервалов.

Ответ:

Пример 6. Решите неравенство

Решение. При решении этого неравенства можно воспользоваться тем, что

Такое решение будет менее коротким по сравнению с решением методом «замены функции». В самом деле, в силу утверждения, данное неравенство равносильно следующему:

Ответ:

При решении следующего примера воспользуемся тождествами

Пример 7. Решите неравенство

Решение. В соответствии со сделанным замечанием и в силу утверждения справедлива следующая цепочка равносильных преобразований.

Решив последнюю систему методом интервалов, получим ответ.

Ответ:

IV. Функции f(x)=log_au(x)–log_av(x), a>1 и g(x)=u(x)–v(x), где

Очевидно, что области определения этих функций совпадают. Кроме того, при a>1

Следовательно, для функций f(x) и g(x) при выполнены условия утверждения.

Пример 8. Решите неравенство

Решение. Традиционный способ решения подобных неравенств состоит в рассмотрении двух случаев. Мы вновь воспользуемся утверждением, предварительно представив числитель и знаменатель дроби в виде разности логарифмов. Итак, неравенство равносильно следующему:

Ответ:

Пример 9. Решите неравенство

Решение. Приведем логарифмы к основанию 5, сложим их и воспользуемся тем же приемом, что и при решении предыдущего примера.

Ответ: (0,5; 1).

В заключение рассмотрим пример, в котором приходится «заменить» сразу три функции.

Пример 10. Решите неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно следующему:

Ответ:

Изложенные методы решения достаточно эффективны при решении неравенств, левая часть которых представляет собой произведение (частное) двух функций указанных выше видов, а правая часть равна нулю. Традиционные решения таких неравенств путем рассмотрения двух случаев (или применения обобщенного метода интервалов) оказываются, как правило, более громоздкими по сравнению с изученными.

Упражнения

Решите неравенства.

Ответы к упражнениям

1.   2.  3. c . 4. (– 2; – 1) И {1}.
5.  6. (– 2; – 1). 7. (– 7; 6) И [2; 2,5) И (4; 4,5].  8. (0; + Ґ).  
9. (– Ґ; 0) ЧИ [0,5; 1) И (1; 2) И [3; + Ґ).  10. (0; 0,1) И (1; + ҐЧ).

.