Б. Зив, В. Гольдич,
С.-Петербург
Новые дидактические материалы
Начинаем печатать выдержки из новой книги Б. Зива и В. Гольдича «Дидактические материалы по алгебре». Учитывая ограничения по объему в газете будут помещены нечетные варианты самостоятельных работ и первые варианты контрольных заданий.
Данная книга рассчитана на всех желающих улучшить свои знания в алгебре и составлена в полном соответствии со школьной программой.
Пособие содержит 22 самостоятельные работы и 8 контрольных работ. Сборник несколько отличается от обычных дидактических материалов тем, что самостоятельные работы в нем приведены в восьми вариантах, с четырьмя уровнями сложности. Чем мы руководствовались? Не секрет, что в последние годы очень существенно возросла сложность вступительных экзаменов в вузы. Одновременно пошел процесс упрощения содержания школьных учебников математики. Мы полагаем, что уже в средних классах – в 10-м и 11-м на это может просто не хватить времени – необходимо показывать ученикам более содержательные задачи.
Какова же структура наших дидактических материалов?
I уровень сложности (варианты 1–2) – это минимум того, что должен знать ученик, – база.
II уровень сложности (варианты 3–4) – «твердая четверка».
III уровень сложности (варианты 5–6) – «на пятерку».
IV уровень сложности (варианты 7–8) – для тех, кто всерьез увлечен математикой.
Если подходить к использованию книги формально, то рекомендуется следующее:
I или II уровень – для базовой школы;
II или III уровень – для гимназий;
III или IV уровень – для лицеев или математических школ.
Следует иметь в виду, что все самостоятельные и контрольные работы составлены избыточно. Учителю ни в коем случае не следует считать, что объем работ должен быть именно таким – мы лишь хотели предоставить ему возможность выбора.
Все контрольные представлены в четырех равноценных вариантах.
Вообще, структура книги полностью повторяет «Задачи к урокам геометрии» Б.Г. Зива, а значит, может быть использована как задачник.
Надеемся, что наша книга поможет учителям и ученикам успешно заниматься математикой.
По вопросам приобретения пособий обращаться по следующим адресам.
В Москве:
Издательство «ЧеРо», ЗФО «Книжный Двор МГУ» (расположены в одном месте)
118899 Москва, Воробьевы горы, Хохлова 11.
Тел. факс: (095) 939-34-93,
(095) 939-47-09, (095) 939-41-70,
(095) 939-41-90.
E-mail: chero@orc.ru
Издательство «Эстет»
Тел.: 8-926-213-94-19.
E-mail: agost@df.ru
В Санкт-Петербурге:
Издательство «ЧеРо-на-Неве»
196035, С.-Петербург, Бассейная 47.
Тел.: (812) 388-65-32,
факс: (812) 173-75-32.
E-mail: info@atlas.spb.su
Самостоятельные работыИздательство «Сага»
196035, С.-Петербург, Гагарина 21, к. 300.
Тел./факс: (812) 443-56-05.
E-mail: nvk@nwgsm.ru
7 класс
1. Числовые и алгебраические
выражения
Вариант 1
1. Найдите числовые значения
алгебраического выражения 
2. Ученик купил m карандашей по 2 руб. и n тетрадей по 3 руб. Сколько стоят все покупки?
3. Запишите утроенную сумму чисел a и
b и найдите ее значение при 
4. Запишите три последовательных числа, кратных 3, если меньшее из них 3k + 3.
5. Запишите трехзначное число в виде суммы разрядных слагаемых, у которых цифра сотен равна a, цифра десятков — 3, а цифра единиц — b.
Вариант 3
1. Найдите значение алгебраического
выражения при 
2. Один фермер засеял яровой пшеницей a га, а второй в 1,5 раза больше. Сколько гектаров земли засеяли пшеницей оба фермера вместе?
3. Запишите формулой частное от деления
удвоенной суммы чисел c и d на их разность и
найдите ее значение при 
4. Докажите, что сумма трех последовательных четных чисел делится на 6.
5. Найдите абсолютную величину числового
значения выражения m – n + p – q при 
Вариант 5
1. Найдите значение алгебраического
выражения 
2. Один мастер за шитье костюмов получил a руб., а второй в два раза меньше. Сколько денег получили оба мастера вместе за выполненную работу?
3. Запишите в виде формулы частное от деления суммы чисел a и b на утроенную разность их, увеличенную на утроенную разность чисел m и n.
4. Докажите, что сумма двух последовательных нечетных чисел делится на 4.
5. Число x при делении на 10 дает в остатке 3, а число y при делении на 10 дает в остатке 2. Докажите, что сумма x + y делится нацело на 5.
Вариант 7
1. Найдите числовое значение
алгебраического выражения 
2. Автомобиль шел по шоссе m ч со скоростью a км/ч и по грунтовой дороге n ч со скоростью b км/ч. За какое время проедет весь этот путь мотоцикл, делая в среднем v км/ч?
3. Запишите формулу частного от деления суммы чисел a и b на удвоенную разность их, увеличенную на учетверенную разность чисел c и d.
4. Найдите все такие целые числа x и y, что (x + 1)(y – 2) = 2.
5. Докажите, что число 
– делится на 9.
8 класс
1. Положительные и
отрицательные числа. Числовые неравенства
Вариант 1
1. Сравните дроби 
2. Сравните числа x и y, если x = y – 0,4.
3. Сравните выражения a2 + 49 и 14a.
4. Докажите, что если ab > 0, то имеет
место неравенство 
5. Докажите неравенство (a2 – b2)2 і 4ab(a – b)2.
6. Решите уравнение 
Вариант 3
1. Сравните дроби 
2. Сравните числа a и b, если b – a = – (a2 – 4a + 5).
3. Сравните выражения (a – 2)(a + 3) и (a – 5)(a + 6).
4. Докажите, что 3x2 – 4xy + 4y2 і 0.
5. Докажите, что a3 + b3 і a2b + ab2, если a + b > 0.
6. Решите уравнение 
.
Вариант 5
1. Докажите, что 297·299 < 2982.
2. Расположите числа в порядке
возрастания: 
3. Сравните выражения m2 + 5 и 2m + 3.
4. Докажите, что если abі0, то имеет место неравенство (a2 – b2)2і(a – b)4.
5. Докажите, что 
6. Решите относительно x уравнение 
Вариант 7
1. Докажите, что 742–272>732–262.
2. Расположите в порядке возрастания: 
3. Сравните m4 + 1 и 2m·|m|.
4. Докажите, что 2a2 + b2 + c2 і 2a(b + c).
5. Докажите, что (a + b)3Ј 4(a3 + b3), если aі0 и bі0.
6. Решите уравнение 
9 класс
1. Деление многочленов.
Решение алгебраических уравнений
Вариант 1
1. Найдите частные:
а) (x2 – 5x + 6) : (x – 2);
б) (3x2 – 2x – 1) : (3x + 1);
в) (2x3 – 7x2 + x – 20) : (x – 4).
2. Найдите частное и остаток при делении P(x) на Q(x).
P(x) = x3 – 19x – 30; Q(x) = x2 + 1.
3. Сократите дробь 
4. Решите уравнения:
а) x3 + 2x2 – x – 2 = 0;
б) x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36 = 0.
Вариант 3
1. Найдите частные:
а) (9x2 – 7x – 2) : (x – 1);
б) (x3 + 9x2 + 23x + 15) : (x2 + 8x + 15).
2. Найдите частное и остаток при делении P(x) на Q(x).
P(x) = x3 + 3x2 – 18x – 40; Q(x) = x + 2.
3. Сократите дробь 
4. Решите уравнения:
а) 2x3 – 4x2 – x – 15 = 0;
б) x4 – x3 – 13x2 + x + 12 = 0.
Вариант 5
1. Найдите частные:
а) (2x3 – 5x2 – x + 1) : (x2 – 5x + 1).
б) (5x4 + 9x3 – 2x2 – 4x – 8) : (5x2 + 4x + 4).
2. При каких a и b P(x) делится без остатка на Q(x)?
P(x) = 2x3 – 5x2 + ax + b; Q(x) = x2 – 4?
3. Сократите дробь 
4. Решите уравнение x3 + ax2 – 5x + 6 = 0, если известно, что один из его корней равен 3.
5. Решите уравнение x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8 = 0.
Вариант 7
1. Найдите частное (6x4 + 5x3 – 74x2 + 11x + 12) : (x2 + x – 12).
2. Сократите дробь 
3. Найдите все числа a и b, при которых P(x) делится нацело на Q(x).
P(x) = 4x5 + ax4 – 11x3 + 23x2 + bx + 2; Q(x) = x2 + x – 2.
4. Решите уравнение 2x4 – 9x3 + 4x2 + 21x – 18 = 0.
5. Число 
является
корнем уравнения x4 + ax3 + bx2 +
2x + 2 = 0, где a и b — рациональные числа.
Найдите a и b и решите уравнение.
Ответы, указания и решения
7 класс
В-1. 1. – 1. 3.
5. 100a + 3·10
+ b.
В-3. 1. 4,2. 3. 
4. Решение. 2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 6n + 6 = 6(n + 1), что
делится на 6. 5. 2,95.
В-5. 1. 
3. 
4.
Решение. 2n + 1 + 2n + 3 = 4n + 4 = 4(n + 1), что делится на 4.
5. Решение. x = 10n1 + 3; y = 10n2 + 2. x + y = 10(n1
+ n2) + 5, что делится на 5.
В-7. 1. 
2. 
3. 
4. Решение.
Отсюда: 
5. Решение.
8 класс
В-1. 1. 
2. x < y. 3. a2 + 49 і 14a. 4. Решение. 
так как (a – b)2 і
0 и ab > 0. 5. Решение. (a2–b2)–4ab(a–b)2=(a–b)2(a+b)2–4ab(a–b)2=(a–b)2(a2+2ab+b2–4ab)=(a–b)4
і 0. 6. 
В-3. 1.
2.
a>b. 3. (a–2)(a+3) >(a–5)(a+6).
4. Решение. 3x2–4xy+4y2=x2–4xy+4y2+2x2=(x–2y)2+2x2
і 0. 5. Решение. a3+b3–a2b–ab2=(a+b)(a2–ab+b2)–ab(a+b)=(a+b)(a–b)2і0, так как a+b>0 по условию и (a–b)2і0. 6. x=7.
В-5. 1. Указание. Представьте 297 и 299 в виде
298 – 1 и 298 + 1. 2. 
3. m2+5>2m + 3. 4.Решение. (a – b)2·(a + b)2і(a
– b)2·(a–b)2.
Если a = b, то имеет место равенство. Если a№b, то (a–b)2>0. Теперь нужно
доказать, что (a+b)2і(a–b)2
или 4abі0, что следует из
условия. 5. Указание. Необходимо составить
разность 
и
доказать, что они больше или равны нулю. 6. 
В-7. 2. 
3.
Решение. 
т. е. m4+1і2m| m |. 4.
Решение. 2a2+b2+c2–2ab–2ac=a2–2ab+b2+a2–2ac+c2=(a–b)2+(a–c)2і0. 5. Решение. (a+b)3–4(a3+b3)=(a+b)3–4(a+b)(a2–ab+b2)=(a+b)(a2+2ab+b2–4a2+4ab–4b2)=(a+b)(–3a2+6ab–3b2)=
=–3(a+b)(a2–2ab+b)=– 3(a + b)(a
– b)2Ј 0. 6. 
9 класс
В-1. 1. а) x – 3; б) x – 1; в) 2x2 + x + 5. 2.
P(x) = Q(x)x – 20x – 30. 3. 
4. а) {– 2; – 1,1}; б) {– 2; 3}.
В-3. 1. а) 9x + 2; б) x + 1. 2. P(x) = Q(x)(x2 + x
– 20). 3. 
4. а)
{3}; б) {3; 1; – 1; 4}.
В-5. 1. а) 2x + 1; б) x2+x–2. 2. a =
– 8, b = 20. 3. 
4. a=–2; {– 2; 1; 3}. 5. {– 1; 1; – 2; 3}.
В-7. 1. 6x2–x–1. 2. 
3. a = – 5, b = – 13.
4. {– 1,5; 1; 2; 3}. 5. 
. Указание. Подставьте 
в уравнение.
После преобразований получится: 
Так как a и b
рациональные числа, то a+2=0 и a+b+5=0, таким
образом, a=–2 , b=–3.
.