Т. Жаворонкова,
гимназия № 4, г. Пятигорск
Письменная экзаменационная
работа в ФМК
в 1999/2000 уч. году
9 класс
Вариант 1
Задание 1. От турбазы до озера 8 км. Дорога сначала идет в гору, затем лесом, потом под гору. До озера туристы шли 1 ч 27 мин, а обратно 1 ч 51 мин. Скорость их в гору была 4 км/ч, лесом 5 км/ч, а под гору 6 км/ч. Сколько километров туристы шли лесом в одном направлении?
Решение. Способ I. Внесем обозначения и
данные в таблицу, учитывая, 
Зная общее время движения на пути туда и
обратно, составим и решим систему уравнений для
нахождения
x и y:
Следовательно, туристы шли лесом в одном направлении 2 км.
Ответ: 2 км.
Способ II. Пусть x км – дорога лесом в одном направлении; тогда на всем пути туда и обратно туристы шли в гору (8 – x) км, под гору (8 – x) км и лесом 2x км. Зная скорость движения на отдельных участках пути, легко получить общее время движения туристов
С другой стороны, из условия задачи это же
время 
Составим и решим уравнение для нахождения x:
Дорога лесом в одном направлении составляет 2 км.
Задание 2. Найдите наименьший по длине отрезок, содержащий ровно два числа, удовлетворяющие неравенству
Решение. Разложим выражение в левой части неравенства на линейные множители:
Для разложения трехчлена 
на множители найдем его
нули, т. е. корни уравнения
Используя обратную теорему Виета,
получаем: 
.
Следовательно,
Перепишем исходное неравенство в виде
Воспользуемся методом интервалов.
Пусть 
Функция y = f(x) определена и непрерывна на R. Нули функции и ее знаки отмечены на координатной прямой (f(x) > 0 при x > 5, учет степени входящих в произведение множителей позволяет определить знаки f(x) на всей области ее определения.)
Решение исходного неравенства – все 
Любой из числовых
отрезков, у которого либо левая граница меньше
– 
, либо
правая больше 5, содержит бесконечно много чисел,
удовлетворяющих исходному неравенству. Ровно
два числа, удовлетворяющих неравенству, содержит
числовые отрезки вида 
либо отрезки вида 
Среди первых наименьшую длину l1
имеет отрезок 
среди
последних наименьшую длину l2 имеет
отрезок 
Имеем: 
Из двух
положительных чисел больше то, квадрат которого
больше; 
так как 
тогда 
Таким образом,
искомый отрезок – 
Ответ:
Замечания
1. Многие учащиеся находят корни
квадратного уравнения 
используя его дискриминант, так как
не обращают внимание на особенности числовых
коэффициентов трехчлена
2. Для сравнения длин l1 и l2
можно воспользоваться двойным неравенством для
числа 
Тогда
Следовательно, 
Отсутствие в работе сравнения чисел 
– можно
расценивать как недочет, так как очевидным
неравенство 
–
не является.
3. Некоторые ученики не включают в
решение число 
и
в качестве ответа ошибочно указывают отрезок 
.
4. Найдя нули функции y = f(x), которые разбивают ее область определения на промежутки, внутри которых функция сохраняет знак, можно устанавливать знаки функции, находя знак f(x) в какой-либо внутренней точке промежутка:
Задание 3. При каких натуральных
значениях n дробь 
является правильной и несократимой?
Решение. Определим, при каких натуральных
значениях n дробь является правильной. При nОN числитель и знаменатель дроби
положительны; дробь будет правильной, если ее
числитель меньше знаменателя.
Найдем натуральные значения n, при которых n2 + 16n < 9n + 60. (1)
Перепишем получившееся неравенство в виде n2 + 7n – 60 < 0.
Рассмотрим функцию y = x2 + 7x – 60. Ее график – парабола, ветви которой направлены вверх. Нули функции являются корнями приведенного квадратного уравнения x2 + 7x – 60 = 0.
По обратной теореме Виета находим x1=–12, x2=5. (– 12; 5) – множество, включающее все решения неравенства (1). Данное множество содержит натуральные числа 1, 2, 3, 4.
Рассмотрим исходную дробь при этих натуральных n и выделим искомые значения, при которых дробь несократима.
Дробь несократима.
Так как числитель и знаменатель представляют собой четные числа, то дробь сократима.
Дробь сократима на 3.
Дробь сократима на 4. Таким образом, нас устраивает только значение n = 1.
Ответ: 1.
Задание 4. Постройте график функции y = f(x), где f(x) = |x2–x–6 | + 2x – 6, и, используя его, найдите множество значений функции f(x) и все целые значения, принимаемые функцией четыре раза.
Решение. Избавимся от знака модуля при задании функции y = f(x):
Определим знаки квадратного трехчлена x2–x–6 методом интервалов, найдя предварительно его корни.
x2–x–6=0. По теореме, обратной теореме Виета, имеем: x1=–2, x2=3. Следовательно, при xЈ–2 или xі3
f(x)=x2–x–6+2x–6=x2+x–12,
а при – 2<x<3 имеем
Построим графики вспомогательных функций
y=g(x)=x2+x–12=(x+0,5)2–12,25 и y=t(x)=–x2+3x=–(x–1,5)2+2,25,
с которыми совпадает график функции y = f(x) на заданных промежутках. y = g(x): xb = – 0,5,
Координаты вспомогательных точек
Координаты вспомогательных точек
Графики вспомогательных функций изображены на рисунке 1, график функции y=f(x) – на рисунке 2. Из рисунка 2 следует, что min f(x)=f(–2)=–10, xОR. Функция непрерывна на R и при x®±Ґ , y®+Ґ. Следовательно, E(f)=[–10;+Ґ). Как видно из рисунка 2, только при 0<a<2,25 прямая y=a пересекается с графиком функции y=f(x) в четырех различных точках; при этом значение a функция принимает четыре раза. Из целых значений числовому интервалу (0; 2,25) принадлежат 1 и 2. Следовательно, целые значения 1 и 2 и только они принимаются функцией y=f(x) четыре раза.
Ответ: 1, 2.
Рис.1
Рис. 2
Задание 5. Докажите неравенство 
Решение. Способ I. По основному тригонометрическому тождеству cos270°+sin270°=1.
Из формул приведения cos(90°–a)=sina. Тогда cos20°=sin70°.
Перепишем исходное неравенство в виде
Так как
0<cos70°<1 и 0<sin70°<1, то и 0<cos370°<1; 0<sin570°<1.
Тогда из свойств функций 
следует, что
а 
Выражения в скобках в левой части неравенства (1) положительны, левая часть неравенства, как сумма произведений двух положительных чисел, больше нуля.
Способ II. 
cos20°=sin70°, 0<cos70°<1,
0<sin70°<1.
Изобразим схематически графики функций f(x)
= x2, 
при 0Ј xЈ1. Как следует из
полученных графиков, при всех f(x)<g(x)
0<x<1. Согласно основному тригонометрическому
тождеству cos270°+sin270°=1;
тогда
Замечание. Некоторые учащиеся для дальнейших преобразований переходят от представления числа в виде корня степени n к представлению его в виде рациональной степени, что при положительном основании вполне оправдано.
Задание 6. Найдите все значения параметра a, при которых квадратный трехчлен (a–2)x2–2ax+2a–3
имеет два различных корня одного знака.
Решение. Корни квадратного трехчлена – решения уравнения (a–2)x2–2ax+2a–3=0, (1)
где x – неизвестное, a – параметр, причем a–2№0, a№2. Разделив обе части уравнения на a–2№0, получим приведенное квадратное уравнение, равносильное (1):
Имеем
Уравнение (1) имеет два различных корня,
если 
при этом
из теоремы Виета следует, что корни
получившегося уравнения могут быть одного знака
только при условии, что его свободный член
положителен, т. е. 
Для нахождения значений параметра a, удовлетворяющих условию задачи, составим и решим систему неравенств
(2):
(–a2+7a–6>0) Ы (a2–7a+6<0)Ы((a–6)(a–1)<0.)
Решение неравенства (2) – числовой промежуток (1; 6).
(3):
Решение неравенства (3) – все aО(–Ґ; 1,5)И(2;+Ґ).
Решением составленной системы неравенств является пересечение множеств решений неравенств (2) и (3). Объединение числовых промежутков (1; 1,5) и (2; 6) – все искомые значения a.
Ответ: (1; 1,5)И(2; 6).
.