Классы с углубленным изучением математики

А. Мордкович,
Москва

О новых учебниках «Алгебра, 8» и «Алгебра, 9»

Углубленное изучение математики в основной школе может осуществляться по-разному. Первый вариант – создание специализированных классов под патронажем ведущего высшего учебного заведения или под личную ответственность высококлассного учителя-мастера, работающего по своей авторской программе и по своим эксклюзивным методикам. Второй вариант – создание в общеобразовательной школе класса с повышенным уровнем математической подготовки и, соответственно, с увеличенным числом часов в неделю, выделенных на изучение математики. При первом варианте специальные учебники в принципе не нужны – достаточно иметь хорошие задачники, а теоретическую часть обеспечит учитель. При втором варианте учителю, наоборот, в первую очередь нужен учебник, с помощью которого можно вывести обычных, но проявляющих склонность к математике учеников на более высокий уровень математического развития.
Именно над такими учебниками по алгебре для 8–9-х классов с повышенным уровнем математической подготовки в общеобразовательных школах я работал в последнее время. Учебник для 8-го класса уже прошел экспертизу в Министерстве образования, получил соответствующий гриф и будет опубликован к началу 2002/03 учебного года. Учебник для 9-го класса проходит в издательстве «Мнемозина» редакционную подготовку.
Оба учебника в значительной степени соответствуют нашим учебникам для общеобразовательных школ (речь идет о книгах: Мордкович А.Г. Алгебра, 8. Учебник; Мордкович А.Г. Алгебра, 9. Учебник). В них реализована практически та же программа (но, естественно, с некоторым углублением и расширением). Дело в том, что 8–9-е классы в определенном смысле являются ориентационными; часто ученик выбирает математический класс, но не справляется с предложенными нагрузками и на будущий год возвращается в общеобразовательный класс. Бывает и наоборот: в 8-м классе ученик учился в общеобразовательном классе, но почувствовал интерес к математике и решил перейти в 9-й класс с углубленным изучением математики. Для обеих групп учащихся такой переход должен быть по возможности безболезненным. Этого можно добиться при соответствии программ и идеологии в общеобразовательном и математическом классах. Естественно, что при указанных условиях облегчается и участь учителя, работающего в классах обоих уровней.
Новые учебники отличаются от наших учебников для общеобразовательной школы прежде всего более углубленным изучением соответствующих вопросов курса (убраны чересчур простые примеры и рассуждения, добавлены примеры более сложные и более интересные). Что касается материала, которого нет в нашем учебнике для общеобразовательных школ, то его легко обнаружить по приведенным ниже оглавлениям.

8 класс

Глава 1
Преобразование рациональных выражений

1. Многочлены от одной переменной.
2. Алгебраические дроби — основные понятия.
3. Сложение и вычитание алгебраических дробей.
4. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень.
5. Преобразование рациональных выражений.
6. Первые представления о решении рациональных уравнений.
7*. Представление рациональной дроби в виде суммы простейших дробей (значком * отмечены параграфы, необязательные для изучения).

Глава 2
Квадратичная функция. Функция

8. Функция y = kx², ее свойства и график.
9. Функция ее свойства и график.
10. Как построить график функции y=f(x+l)+m, если известен график функции y=f(x).
11. Функция y=ax²+bx+c, ее свойства и график.
12. Графическое решение квадратных уравнений.
13*. Дробно-линейная функция и ее график.

 Глава 3
Функция
Свойства квадратного корня

 

14. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа.
15. Функция ее свойства и график.
16. Свойства квадратных корней.
17. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня.
18*. Алгоритм извлечения квадратного корня.

 Глава 4
Квадратные уравнения

19. Основные понятия, связанные с квадратными уравнениями.
20. Формулы корней квадратных уравнений.
21. Теорема Виета.
22. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
23. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций.

Глава 5
Действительные числа. Неравенства

24. Натуральные и целые числа. Делимость чисел.
25. Основная теорема арифметики.
26. Множество рациональных чисел.
27. Иррациональные числа.
28. Множество действительных чисел.
29. Свойства числовых неравенств.
30. Доказательство неравенств.
31. Исследование функций на монотонность.
32. Решение линейных неравенств.
33. Решение квадратных неравенств.
34. Модуль действительного числа.
35. Функция y = | x |. Графики с модулями.
36. Приближенные вычисления.

Глава 6
Уравнения

37. Уравнения высших степеней.
38. Рациональные уравнения.
39. Уравнения с модулями.
40. Иррациональные уравнения.
41. Задачи с параметрами.

Приведем перечень новых (по сравнению с учебником для общеобразовательной школы) параграфов:
§ 1. «Многочлены от одной переменной» (речь идет о корнях многочлена, о теореме Безу и т. д.).
§ 7. «Представление рациональной дроби в виде суммы простейших дробей».
§ 13. «Дробно-линейная функция и ее график».
§ 18. «Алгоритм извлечения квадратного корня».
§ 24, 25. «Натуральные и целые числа. Делимость чисел. Основная теорема арифметики».
§ 30. «Доказательство неравенств».
§ 35. «Функция y = | x |. Графики с модулями».
§ 37. «Уравнения высших степеней».
§ 39. «Уравнения с модулями».
§ 41. «Задачи с параметрами».
Иногда внутри параграфа имеется материал, выходящий за рамки программы – он набран петитом. Изучать этот материал или нет – определяет учитель.

9 класс

Глава 1
Неравенства с одной переменной.
Системы и совокупности неравенств

1. Рациональные неравенства.
2. Системы неравенств.
3. Совокупности неравенств.
4. Неравенства с модулями.
5. Иррациональные неравенства.
6. Задачи с параметрами.

Глава 2
Системы уравнений

7. Уравнения и неравенства с двумя переменными.
8. Основные понятия, связанные с системами уравнений и неравенств с двумя переменными.
9. Методы решения систем уравнений.
10. Однородные системы. Симметрические системы.
11. Иррациональные системы. Системы с модулями.
12. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций.

Глава 3
Числовые функции

13. Определение числовой функции. Область определения, область значений функции.
14. Способы задания функции.
15. Свойства функций.
16. Четные и нечетные функции.

Глава 4
Степенные функции. Степени и корни

17. Функции y=xⁿ (nОN), их свойства и графики.
18. Степень с отрицательным целым показателем.
19. Функции y = x^–n (nОN), их свойства и графики.
20. Понятие корня n-й степени из действительного числа.
21. Функции их свойства и графики.
22. Свойства корня n-й степени.
23. Преобразование выражений, содержащих радикалы.
24. Обобщение понятия о показателе степени.
25. Функции y = x^r (rОQ), их свойства и графики.

 Глава 5
Тригонометрические функции

26. Числовая окружность.
27. Числовая окружность на координатной плоскости.
28. Синус и косинус. Тангенс и котангенс.
29. Тригонометрические функции числового аргумента.
30. Тригонометрические функции углового аргумента.
31. Функции y=sin x, y=cos x, их свойства и графики.

Глава 6
Преобразование тригонометрических выражений

32. Синус и косинус суммы и разности аргументов.
33. Тангенс суммы и разности аргументов.
34. Формулы приведения.
35. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени.
36. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения.
37. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы.

Глава 7
Прогрессии

38. Числовые последовательности – определение и способы задания.
39. Свойства последовательностей.
40. Арифметическая прогрессия.
41. Геометрическая прогрессия.
42. Метод математической индукции.

Здесь, по сравнению с учебником для общеобразовательной школы, в перечень дополнительного материала входят неравенства с модулями и иррациональные неравенства, задачи с параметрами, специальные методы решения систем уравнений (включая системы с тремя, четырьмя переменными), корни n-й степени, обобщение понятия о показателе степени, формулы тригонометрии, метод математической индукции.

Таким образом, в наших учебниках для 8-го и 9-го классов практически полностью реализована государственная программа для классов с углубленным изучением математики в основной школе.

Что касается задачников, которые учитель будет использовать в паре с этими учебниками, то здесь возможны варианты (на выбор учителя): первый вариант – используются наши задачники для общеобразовательной школы (Мордкович А.Г., Мишустина Т.Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра, 8 (9)) плюс какие-либо задачники для классов с углубленным изучением математики (для дополнительного материала); второй вариант – используются задачники (авторы Звавич Л.И. и Рязановский А.Р.), которые готовятся к изданию (тем же издательством «Мнемозина») и которые по расположению материала соответствуют представленным в данной статье учебникам.

.