Органы управления образованием
субъектов Российской Федерации

Об экспериментальном преподавании математики в XI классах
в 2002/03 учебном году

Продолжается эксперимент по модернизации общего среднего образования. В 2002/2003 учебном году в эксперименте примут участие одиннадцатые классы.
Основной целью проводимого эксперимента в области школьного математического образования является совершенствование системы обучения математике – постепенный переход к личностно-ориентированному обучению, введение в практику старшей школы курсов математики, различных по содержанию, интенсивности обучения, методическим аранжировкам, гармонично сочетающим требования, предъявляемые к выпускнику со стороны государства и общества, с индивидуальными возможностями и интересами каждого отдельного выпускника.
Согласно концепции математического образования содержание обучения математике в старших классах разделяется на общеобразовательный и профильный курсы математики.
Общеобразовательный курс (курс А) в большей степени отражает гуманитарный потенциал обучения математике. Его содержание отличается сбалансированным и вполне обозримым набором понятий, дающим возможность организовать полноценную математическую деятельность без перегрузки при тех учебных часах, которые целесообразно отводить на изучение математики учащимися, не предполагающими продолжать обучение в вузах с повышенными требованиями к математической подготовке. В курсе А на первый план выдвигаются не широта математического аппарата и не скорость усвоения абстрактных понятий, а общеобразовательные умения и навыки (например, навыки алгоритмической деятельности и проведения логических рассуждений и обоснований), которые могут быть перенесены на другие предметы и профессиональную сферу. Школьники, обучающиеся по курсу А, не имеют, как правило, склонности к изучению математики, и для успешного их обучения методическое сопровождение курса должно уделять большое внимание мотивационным аспектам, вовлекая учащихся в математическую деятельность, развивая и совершенствуя их природные задатки, но, в то же время, не пытаясь доминировать в ряду учебных предметов. Поэтому, в частности, количество домашних заданий должно быть сведено к минимуму.
На изучение общеобразовательного курса (курс А) отводится 3 урока в неделю и преподавание ведется в рамках единого курса математики.
Для тех, кто предполагает получать в дальнейшем высшее образование, связанное с естественными науками, техникой, математическая подготовка носит более фундаментальный характер. Выпускники, изучавшие профильный курс (курс В), должны не только поступить в вуз, но и успешно учиться дальше, не испытывая трудностей с математическими обоснованиями и расчетами, в том числе связанными со статистикой. Наличие у учащихся внутренней мотивации позволяет задать достаточно высокий уровень изложения материала, ввести некоторые новые содержательные линии (которые, возможно, выйдут за рамки минимума содержания), широко использовать символику, знакомить с разнообразными математическими идеями и методами, показывать решения нестандартных математических и прикладных задач. Вместе с тем, очевидно, что нельзя требовать от каждого ученика твердого усвоения каждого «нестандартного приема». Смысл профильного курса заключается в предоставлении каждому ученику индивидуальной «зоны потенциального развития». Опасность возникновения перегрузки учащихся устраняется, главным образом, путем значительного облегчения непрофильных предметов.
Профильный курс рассчитан на 5 или 6 уроков математики в неделю в зависимости от выбранного профиля. В 2002/2003 учебном году продолжается обсуждение проекта нового минимума содержания общеобразовательного и профильного курсов математики для старшей школы.
Примерное распределение учебных часов по тематическим разделам минимума содержания представлено в публикуемом ниже варианте программ по математике.

ПРИМЕРНЫЕ ПРОГРАММЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ 10–11 КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ (КУРС А)

10 класс (всего 102 ч)

1. Уравнения и неравенства (12 ч)

Равносильность уравнений и неравенств. Рациональные уравнения. Квадратные неравенства. Метод интервалов. Системы и совокупности уравнений и неравенств.

2. Тригонометрические выражения и функции (20 ч)

Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла, действительного числа. Периодичность синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Графики тригонометрических функций. Решение простейших тригонометрических уравнений.

3. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей (28 ч)

Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Пересекающиеся и параллельные прямая и плоскость. Перпендикулярность прямой и плоскости. Параллельные и пересекающиеся плоскости. Двугранный угол. Перпендикулярные плоскости.
Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Линейный угол двугранного угла.

4. Показательная, логарифмическая и степенная функции (34 ч)

Понятие о корне n-ой степени и степени с рациональным и иррациональным показателем. Логарифм. Основные свойства степени и логарифма. Показательная и логарифмическая функции. Графики степенной функции с натуральным показателем, показательной и логарифмической функций. Решение простейших показательных и логарифмических уравнений.

5. Повторение (8 ч)

11 класс (всего 102 ч)

1. Производная. Применение производной (24 ч)

Производная, ее геометрический и механический смысл. Таблица производных элементарных функций. Производная суммы, произведения и частного двух функций. Признаки возрастания и убывания функций. Экстремумы функции. Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

2. Первообразная (9 ч)

Основное свойство первообразных. Таблица первообразных. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона–Лейбница.

3. Многогранники (12 ч)

Призма и пирамида, их элементы. Прямая и правильная призмы. Прямоугольный параллелепипед.
Правильная пирамида.

4. Тела вращения (15 ч)

Цилиндр и конус, их элементы. Осевые сечения цилиндра и конуса. Сечения шара плоскостью. Касательная плоскость к шару.

5. Объемы многогранников и тел вращения.
Площади поверхностей многогранников и тел вращения (18 ч)

Вычисление площадей боковых поверхностей призмы, пирамиды, цилиндра. Формула площади сферы.
Формулы объемов прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара.

6. Повторение (24 ч)

ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ (КУРС В)

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

1. Математический язык и логика (14 ч)

Высказывание. Отрицание высказывания. Противоречие.
Переменная. Предложение с переменными. Равносильные предложения. Следствие. Уравнения и неравенства как предложения с переменными.
Общие высказывания и высказывания о существовании. Отрицание общих высказываний и высказываний о существовании. Контрпример. Отрицание сложных высказываний.
Правила вывода. Индукция и дедукция. Метод полной индукции.
Алгоритм. Свойства алгоритмов. Исполнитель алгоритма. Алгоритмы в школьной математике.

2. Делимость натуральных и целых чисел (14 ч)

Основные свойства делимости натуральных чисел. Простые и составные числа. Взаимно простые числа. Связь между наибольшим общим делителем, наименьшим общим кратным и произведением двух чисел. Свойства остатков.

3. Действительные числа (20 ч)

Корень степени n из действительного числа. Арифметический корень. Степень с рациональным и иррациональным показателем. Логарифм. Число е и натуральный логарифм.

4. Комплексные числа (14 ч)

Обобщение понятия числа: натуральные, целые, рациональные и действительные числа. Комплексные числа. Арифметические действия с комплексными числами. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и обратно. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра.

5. Элементы комбинаторики, статистики и вероятность (14 ч)

Размещения и сочетания. Формулы размещений и сочетаний. Размещения и сочетания с повторениями. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.
Поле событий, элементарные и сложные события в классической модели вероятности. Вероятность сложного события. Условная вероятность. Независимые события. Вероятность совместного наступления независимых событий.
Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Закон распределения случайной величины. Понятие о нормальном распределении вероятностей.

6. Многочлены (14 ч)

Многочлены с одной переменной. Значения и корни многочленов. Вычисление значений многочленов по схеме Горнера. Деление многочленов. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Число корней многочлена. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.

7. Свойства корней, степеней и логарифмов (35 ч)

Свойства корня степени n и степени с действительным показателем. Основные свойства логарифмов: логарифм произведения, частного и степени. Основное логарифмическое тождество. Формула перехода от одного основания логарифма к другому. Преобразования иррациональных, степенных и логарифмических выражений.

8. Уравнения и неравенства (30 ч)

Основные приемы решения уравнений: тождественные преобразования, замена переменной. Равносильность уравнений. Исключение «посторонних» корней. Приемы решения рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.
Равносильность неравенств. Рациональные, иррациональные, показательные и логарифмические неравенства. Метод интервалов для решения неравенств.
Системы уравнений и неравенств. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Системы неравенств с одной переменной.
Решение текстовых задач с помощью уравнений и систем.
Уравнения, неравенства и системы с параметрами, их решение и исследование.

9. Элементы тригонометрии (35 ч)

Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс числового аргумента. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус, косинус и тангенс двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Простейшие тригонометрические уравнения. Приемы решения тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические неравенства.

10. Функции (30 ч)

Функция. Функциональная символика. Свойства функций: четность и нечетность, возрастание и убывание, монотонность, нули функции и промежутки знакопостоянства, периодичность, ограниченность, непрерывность. Особые значения функций: наибольшее и наименьшее значения, экстремумы. Применение свойств функций для построения графиков и решения уравнений и неравенств.
Обратная функция. Признак существования и свойства обратной функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Сложная функция.
Преобразования графиков функций: параллельный перенос, растяжение и сжатие вдоль осей координат, симметрия относительно осей координат и относительно прямой y = x.
Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных функций. Графики рациональных функций.
Свойства и графики степенных функций с натуральным, целым и дробным показателем. Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики.
Тригонометрические функции числового аргумента: синус, косинус, тангенс и котангенс. Периодичность тригонометрических функций. Основной период. Нахождение периода сложных функций, суммы, произведения и частного двух функций. Свойства и графики тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции. Свойства и графики обратных тригонометрических функций.

11. Пределы и последовательности (14 ч)

Последовательность как функция натурального аргумента. Конечная последовательность. Общий член последовательности. Предел числовой последовательности. Единственность предела. Теоремы о пределах последовательностей. Переход к пределам в неравенствах. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга, площадь боковой поверхности и объем цилиндра и конуса как пределы последовательностей.
Числовой ряд. Сумма числового ряда. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

12. Производная и первообразная (40 ч)

Производная. Геометрический и механический смысл производной. Дифференцируемость функций. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Производные сложной и обратной функций. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл.
Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма (необходимый признак экстремума), теорема Лагранжа, достаточные условия монотонности функции, признаки экстремумов. Применение теорем дифференциального исчисления к исследованию функций и построению графиков.
Таблицы первообразных. Свойства первообразных. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства. Формула Ньютона–Лейбница. Приложения интеграла к вычислению площадей и объемов геометрических фигур.

ГЕОМЕТРИЯ

10 класс (всего 68 ч)

1. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства (26 ч)

Неопределяемые понятия и аксиомы. Аксиоматическое построение евклидовой геометрии.
Обобщенная теорема Фалеса. Построение четвертого пропорционального отрезка. Построение среднего геометрического.
Теорема синусов. Теорема косинусов. Решение треугольников. Соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма.
Величина угла с вершиной внутри и вне круга. Величина угла между хордой и касательной. Теорема о произведении отрезков хорд. Теорема о касательной и секущей.
Вписанные и описанные многоугольники. Свойство четырехугольника, вписанного в окружность. Свойство четырехугольника, описанного вокруг окружности.
Геометрические места точек.

2. Аксиомы стереометрии и их простейшие свойства (6 ч)

Основные понятия стереометрии. Прямые, кривые и поверхности в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Геометрическое тело. Аксиомы стереометрии и их связь с аксиомами планиметрии.

3. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей (32 ч)

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признаки параллельности прямых. Свойства параллельности и перпендикулярности прямых.
Взаимное расположение прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Свойства и признаки параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.
Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности плоскостей. Признак перпендикулярности плоскостей. Свойства параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный и многогранный углы. Линейный угол двугранного угла. Свойство плоских углов трехгранного угла.
Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от прямой до плоскости. Расстояние между параллельными прямыми и плоскостями.
Изображение пространственных фигур на плоскости и его свойства.

4. Повторение. Решение задач (4 ч)

11 класс (всего 68 ч)

1. Многогранники (12 ч)

Многогранники. Теорема Эйлера. Сечения многогранников. Наклонная и прямая призма. Правильная призма и ее свойства. Пирамида. Правильная пирамида и ее свойства. Усеченная пирамида. Правильные многогранники.

2. Тела вращения (16 ч)

Тела и поверхности вращения. Цилиндр и конус. Прямой круговой цилиндр. Прямой круговой конус. Усеченный конус. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию цилиндра и конуса. Сфера, шар и его части (шаровой сектор, сегмент, пояс). Сечения шара и сферы. Касательные плоскость и прямая к сфере. Взаимное расположение сфер в пространстве. Вписанные и описанные шары и сферы.
Комбинации многогранников и тел вращения.

3. Площади поверхностей многогранников и тел вращения.
Объёмы многогранников и тел вращения (12 ч)

Площади боковых и полных поверхностей призмы, пирамиды, цилиндра, конуса. Площадь сферы.
Понятие об объеме. Основные свойства объема. Объемы призмы и пирамиды. Объемы цилиндра, конуса, шара и его частей. Объемы подобных геометрических тел.

4. Декартовы координаты и векторы в пространстве (9 ч)

Прямоугольная система координат в пространстве. Уравнение плоскости. Уравнение прямой в пространстве. Уравнение сферы. Формула расстояния между точками. Координаты середины отрезка. Деление отрезка в данном отношении.
Векторы в пространстве. Координаты вектора. Сложение векторов и его свойства. Произведение вектора на число. Скалярное произведение векторов. Условие перпендикулярности векторов.

5. Движение в пространстве (4 ч)

Движение в пространстве. Симметрия относительно точки, прямой и плоскости. Параллельный перенос. Равенство и подобие фигур в пространстве.

6. Повторение. Решение задач (15 ч)

Обновление содержания школьного математического образования в старшей школе и создание соответствующего методического обеспечения будет происходить поэтапно. Прежде всего, в 2002/2003 учебном году учителям экспериментальных классов рекомендуется выделить 12–14 уроков на изучение одного (на выбор) из новых разделов минимума содержания, по возможности связывая его с изучаемым материалом.
Все вопросы, касающиеся поиска путей обновления школьного математического образования, будут обсуждаться на страницах журнала «Математика в школе» в рубрике «Двенадцатилетняя школа: эксперимент». Там, в частности, будут опубликованы главы из нового учебника алгебры и начал анализа для X класса Г.В. Дорофеева и других. На страницах журнала появятся материалы, рассказывающие о направлениях преобразования системы обучения математике в старшей школе, в которых воплощены новые идеи профилирования.
Преподавание математики в одиннадцатых классах во избежание накладок и пропусков содержательно важных фрагментов целесообразно вести по учебникам тех же авторов, по которым изучалась математика в десятых классах. Это относится как к тем учебникам, которые изданы единой книгой для X–XI классов, так и к тем, которые издаются по отдельности.
Министерство образования Российской Федерации информирует о том, что выпущены следующие учебники для одиннадцатых классов:

По просьбе МО РФ в помощь учителям авторскими коллективами рекомендованных к эксперименту учебников предоставлены свои варианты планирования учебного материала.

Общеобразовательный курс

• Карп А.П., Вернер А.Л. Математика. 11 класс. –М.: Просвещение, 2002

• Смирнова И.М. Геометрия: Учебное пособие для классов гуманитарного профиля. – М.: Просвещение, 1997–2002.

Преподавание общеобразовательного курса возможно также с использованием следующих многопрофильных учебников. Учебные часы на изучение алгебры и начал анализа и геометрии рекомендуется делить в отношении 2 : 1, чередуя в учебном процессе изучение разделов из этих дисциплин.

•  Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. 10–11 кл. – М.: Дрофа, 1999–2001

¹ По техническим причинам в методическом письме по преподаванию математики в 10-х классах в 2001/2002 учебном году допущены неточности при передаче планирования по учебнику М.И. Башмакова. Составители письма приносят глубочайшие извинения уважаемому Марку Ивановичу и публикуют настоящий вариант планирования для 10 и 11-х классов по курсу А, ниже – по курсу В.

•  Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10–11 классы. – М.: Просвещение, 1999, 2000

• Погорелов А.В. Геометрия. 10–11 классы. – М.: Просвещение, 1999.

Профильный уровень

• Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. 10–11 кл. – М.: Дрофа, 1999–2001

• Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала анализа, 10–11. – М. Мнемозина, 2001.

• Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 11. – М.: Мнемозина, 2000.

• Никольский С.М. и др. Алгебра и начала анализа, 11. – М.: Просвещение, 2002.

* Темы, необязательные для изучения всеми учащимися.

• Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. Учебник для 10–11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1998.

• Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10–11 классы. – М.: Просвещение, 2001

• Погорелов А.В. Геометрия. 10–11 классы. – М.: Просвещение, 2001.

• Смирнова И.М. , Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 10–11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2001.

• Шарыгин И.Ф. Геометрия, 10–11. – М.: Дрофа, 1999, 2000.

Учебник рекомендуется, в основном, для школ и классов физико-математических профилей с повышенными требованиями к математической подготовке.

Для школ и классов физико-математических профилей с повышенными требованиями к математической подготовке рекомендуются следующие учебники:

• Александров А.Д. и др. Геометрия для 10–11 классов. Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1992 и последующие годы.

• Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1992–1997, М.: Мнемозина, 2000.2

Авторские тематические планирования для экспериментальных классов будут опубликованы на страницах журнала «Математика в школе» в рубрике «Эксперимент».

Дополнительно к названным учебникам МО РФ рекомендует руководствоваться следующими учебными изданиями:

Список учебно-программных и методических материалов,
рекомендованных общеобразовательным учреждениям, участвующим в эксперименте
по совершенствованию структуры и содержанию образования

1. Мордкович А.Г., Денищева Л.О., Корешкова Т.А., Мишустина Т.Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра и начала анализа, 10–11. Задачник. – М.: Мнемозина, 2001.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 10–11. Методическое пособие для учителей. – М.: Мнемозина, 2000.
3. Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е. Алгебра и начала анализа, 10–11. Контрольные работы. – М.: Мнемозина, 2000.
4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Программы, тематическое планирование, дидактические материалы по геометрии. – М.: Просвещение, 2002.
5. Смирнова И.М. Сборник устных задач и упражнений по геометрии для 10–11 классов средней школы. – М.: Аквариум, 1998.
6. Смирнова И.М. Сборник задач по геометрии в рисунках и тестах. 10–11 класс. – М.: Аквариум, 1998.
7. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Устные упражнения по геометрии для 7-11 классов. – М.: Просвещение, 2002.
8. Смирнова И.М. В мире многогранников. – М.: Просвещение, 1995.
9. Башмаков М.И. и др. Алгебра и начала анализа 10–11 класс. Дидактические материалы. – М.: Дрофа, 2001.
10. Комплект методических рекомендаций к курсу алгебры и начал анализа для 10–11 классов. – С.-Пб.,
Институт продуктивного обучения, 1996–2000.
11. Шарыгин И. Ф., Шарыгин Д.И. Геометрия 10–11. Методическое пособие. – М.: Дрофа, 2001.
12. Ивлев Б.М. и др. Дидактические материалы по алгебре для 10 класса. – М.: Просвещение, 2001.
13. Ивлев Б.М. и др. Дидактические материалы по алгебре для 11 класса. – М.: Просвещение, 2001.
14. Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. – М.: Просвещение, 2001.
15. Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 11 класса. – М.: Просвещение, 2001.
16. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре и математическому анализу: уч. пос. для 10 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2001.
17. Галицкий М.Л. Углубленное изучение алгебры и математического анализа: Кн. для учителя. – М. :Просвещение, 2001.
18. Никольский С.М. и др. Алгебра и математический анализ: Уч. пос. для 10 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2001.
19. Рыжик В.И. Дидактические материалы по алгебре и математическому анализу: 10–11 кл. с угл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2001.
20. Рыжик В.И. Дидактические материалы по геометрии: 10 кл. с углуб. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2001.
21. Паповский В.М. и др. Углубленное изучение геометрии в 10 классе: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 2001.
22. Рыжик В.И. Дидактические материалы по геометрии: 11 кл. с углуб. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2001.
23. Паповский В.М. и др. Углубленное изучение геометрии в 11 классе: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 2001.
24. Литвиненко В.И. Геометрия.10 класс. – М.: Вербум-М, 2002.
25. Литвиненко В.И. Геометрия. Тетрадь заданий. 10 класс. – М.: Вербум-М, 2002.
26. Литвиненко В.И. Геометрия. Контрольные и проверочные работы. 10 класс. – М.: Вербум-М, 2002.

Руководитель Департамента А.В. Баранников