АЛГЕБРА

В. Жохов, Г. Карташева, Л. Крайнева
Москва

Подготовка к экзамену

9 класс

Приближается время экзаменов в школе. Последние недели — наиболее тревожное время у учителя. Время подведения итогов обучения предмету за несколько лет, время анализа — сделано ли всё необходимое, не упущены ли какие-либо детали. В этот момент учителю особенно важно иметь основательные ориентиры в требованиях к письменным работам девятиклассников, к их оцениванию. Расскажем о пособии, которое непременно поможет учителю в период повторения курса алгебры в 9-м классе и подготовки к экзамену.

Подготовку к экзамену по алгебре за курс основной школы можно разделить на два этапа. На первом — в течение учебного года в 9-м классе — проводится текущее повторение, связанное с изучаемыми темами, а также разбираются разные способы решения более сложных задач по этим темам из «Сборника заданий». (Отметим, что такую работу полезно начинать раньше — уже в 8-м классе.) На втором — в последние два месяца перед экзаменом — проводится итоговое углубленное повторение и обобщение знаний по всему курсу алгебры основной школы.

На этапе повторения и непосредственной подготовки к письменному экзамену по алгебре в 9-м классе основная работа ведется с использованием 5-го и последующих изданий пособия «Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы: 9 класс» авторов Л.В. Кузнецовой, Е.А.Бунимовича, Б.П.Пигарева и С.Б.Суворовой (М.: Дрофа, 2000 — 2002) с тем, чтобы ближе познакомиться с теми типами задач, которые будут предложены на экзамене, со структурой экзаменационной работы, с требованиями к обоснованиям, ссылкам на теоретические положения, к оформлению решений.

В экзаменационном сборнике заданий все задачи разделены на две группы. Из более простых – типовых, соответствующих уровню обязательной подготовки – составлены наборы по 7 задач для первой части экзаменационной работы. Более сложные задания – из них берутся последние три задачи экзаменационной работы – помещены во второй части «Сборника».

Подробные рекомендации по организации подготовки к экзамену и решению задач экзаменационного сборника читатель найдет в книге В.И.Жохова, Г.Д.Карташевой и Л.Б.Крайневой «9 класс: экзамен по алгебре: Дидактические материалы для подготовки к экзамену», вышедшей в московском издательстве «Вербум-М».

В этом пособии даются необходимые справочные материалы (основные формулы, справочные таблицы, графики изученных функций и т.д.), а также рассматриваются решения заданий как для первой, так и для второй части экзаменационной работы. Практика проведения экзаменов в последние годы показала, что в предэкзаменационный период часто возникает необходимость не только разобрать сложные задачи, аналогичные которым не всегда есть в учебниках. Кто-то из девятиклассников нуждается и в повторении, и тренировке в решении самых простых задач, восстановлении в памяти основных формул, теорем, свойств функций, рассмотрении целых тем, которые в свое время не были достаточно усвоены. Обеспечить такую работу необходимыми дидактическими материалами имеют целью первые разделы указанного пособия – «Справочные материалы» и «Рекомендации по решению задач первой части экзаменационной работы». В последнем разделе пособия даются рекомендации по решению и оформлению решений задач второй части экзаменационной работы.

Задания в пособии – как в первой, так и во второй части – расположены тематически, что в наибольшей степени удобно для повторения и систематизации знаний. В такой же последовательности задания экзаменационных работ первой части собраны в приложении «Сборника». Номера заданий в первом разделе пособия соответствуют номерам задач в указанном приложении «Сборника». В случае, если возникнет необходимость рассмотрения комплексных наборов заданий (например, целиком одной из работ «Сборника»), дана таблица — указатель соответствия номеров заданий.

Решения заданий экзаменационной работы в данном пособии выполнены таким образом, чтобы обеспечить возможность разноуровневого обучения, организации самостоятельной работы. Для этого в каждой теме решения заданий одного типа выполнены с разной степенью подробности. Поэтому у учителя есть возможность одним учащимся предложить рассмотреть полные рассуждения, обоснования со ссылками на теоретический материал, а другим — решения в «свернутом» виде, где ученику необходимо вникнуть в ход решения, разобраться, почему именно так выполнены преобразования, какие формулы использованы и т.д. В первой части экзаменационной работы четные задания — это задачи-дубли для нечетных, во второй части задачи-дубли – это вторые задачи каждого задания. К задачам-дублям в пособии даются только ответы, чтобы была возможность использовать их для тренировки и самостоятельного решения по образцу полных решений соответствующих им нечетных (или первых) заданий.

Тематическим планированием предусмотрено текущее (в течение всего учебного года) и итоговое (в конце года) повторение основных вопросов курса алгебры 7–9-х классов (в частности, с использованием упражнений «Сборника заданий»). При этом предполагается, что девятиклассники будут постепенно знакомиться со структурой и содержанием этого сборника, учиться в нем ориентироваться. Текущие и итоговую контрольные работы можно предлагать учащимся по текстам из «Дидактических материалов по алгебре для
9-го класса» авторов Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Миндюк и Л.М.Коротковой, либо использовать отдельные упражнения «Сборника заданий». Полезно в ходе повторения и подготовки к экзамену провести в качестве итоговой тренировочную работу, для чего можно воспользоваться текстами, предлагавшимися в прошлые годы, или же, используя сборник, составить свой вариант текста работы. Это поможет учителю проверить, в какой степени девятиклассники освоили основной учебный материал, научились оформлять решения задач, ориентироваться в «Сборнике заданий», а учащимся — разобраться в экзаменационных требованиях, понять принципы выставления оценки за работу.

Приведем рекомендации по планированию уроков заключительного повторения. В них предусмотрено широкое использование упражнений и задач, прежде всего — из второй части «Сборника заданий». Однако, на этапе заключительного повторения, как и в ходе текущего, необходимо осуществлять дифференцированный подход к учащимся, создавать условия для того, чтобы в учебной работе эффективно могли участвовать, могли продемонстрировать и совершенствовать свои знания учащиеся с разным уровнем математической подготовки. Поэтому в планах уроков повторения следует предусматривать решение задач и из первой части «Сборника» по вопросам, вызывающим наибольшие затруднения у учащихся конкретного класса.

УРОКИ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ПОВТОРЕНИЯ

* В объеме, изучавшемся в течение учебного года

В заключение приведем решения ряда экзаменационных задач из пособия «9 класс: экзамен по алгебре».

П — обязательно оставить, остальные задачи — по возможности.

39.1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение

Решение. Данное выражение не имеет смысла при тех значениях переменной a, которые обращают в нуль знаменатель хотя бы одной из дробей, входящих в выражение:

Таким образом, данное выражение имеет смысл для всех значений переменной a, кроме – 1 и 0:

Ответ: выражение имеет смысл при

40.2. Известно, что  Не вычисляя a , найдите

Решение. 

Ответ: 3,44.

43.1. Расположите в порядке возрастания числа 

60.1. Расположите в порядке возрастания 

Решение.

Функция возрастает. Поэтому, так как получаем:

Следовательно,

Ответ:

91.1. Решите уравнение

Решение. Корни квадратного трехчлена x² – 4x + 3 — числа 1 и 3 (по теореме, обратной теореме Виета), значит, трехчлен можно разложить на множители:  x² – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3).

Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, (x – 1)(x – 3).

Умножим обе части уравнения на это выражение. Получим:

Проверка. Если если x = 3, то (x – 1)(x – 3) = 0, значит, корнем исходного уравнения является только число

Ответ:

Замечание. Задачу можно решить и другим способом:

Ответ:

98.1. При каких значениях a уравнение ax² + x + 2 = 0 имеет два корня? Из чисел –  выберите те, которые удовлетворяют этому условию.

Решение. Если a = 0, получим линейное уравнение x + 2 = 0, имеющее лишь один корень.

Если a № 0, получим квадратное уравнение, которое имеет два корня при положительном дискриминанте:

Ответ: уравнение имеет два корня при этому условию удовлетворяют числа

Замечание. Ответ можно записать и так: уравнение имеет два корня при

104.1. Решите систему уравнений 

Решение. 

Эта система уравнений равносильна следующим двум системам уравнений:

Ответ: (5; – 2); (2; – 5).

116.1. Решите систему уравнений

Решение. Пусть тогда получим систему уравнений

Умножим обе части первого уравнения системы на – 2 и сложим его почленно со вторым. Получим систему уравнений a

Возвращаясь к исходным переменным, получим систему уравнений

Ответ: (5; 4).

120.1. Запишите уравнение прямой, которая проходит через начало координат и через точку пересечения прямых 2x + 3y = – 4 и x – y = – 7.

Решение. Найдем координаты точки пересечения прямых 2x + 3y = – 4 и x – y = – 7. Для этого составим и решим систему уравнений

Прямая в координатной плоскости задается уравнением ax + by = c. Так как прямая проходит через точку (0; 0), то 0·a + 0·b = c, c = 0. Значит,

Прямая проходит через точку (– 5; 2), следовательно, равенство — верно. Получаем, что Искомое уравнение прямой имеет вид: y = – 0,4x.

Ответ: уравнение прямой y = – 0,4x.

133.1. При каких положительных значениях x верно неравенство x² – 2x Ј 2?

Решение. Решим неравенство x² – 2x Ј 2:

x² – 2x – 2 Ј 0.

Найдем корни квадратного трехчлена x² – 2x – 2:

Покажем схематически, как расположен график функции  y = x² – 2x – 2 (график — парабола, ветви которой направлены вверх):

Из рисунка видно, что данное неравенство верно при

Выберем положительные решения этого неравенства: так как поэтому множество положительных решений неравенства — промежуток

Ответ: неравенство верно при

143.1. Решите систему неравенств

Решение. 

Решим второе неравенство системы. По теореме, обратной теореме Виета, корни квадратного трехчлена x² – 6x + 8:

x₁ = 2, x₂ = 4.

Изобразим график функции y = x² – 6x + 8:

Неравенство верно при x < 2 или x > 4, следовательно, возвращаясь к системе неравенств, получаем:

Замечание. Ответ можно записать и так: x > 4.

.