Маленькие хитрости в преподавании математики

I. О кабинете математики

Учителя, которые не придают значения внешнему и содержательному оформлению кабинета математики, очень ошибаются. Состояние кабинета играет колоссальную роль в обеспечении учебного процесса, привитии интереса к предмету, воспитании культуры записей и вообще в эстетическом воспитании. Поэтому, если вы хотите, чтобы ученики интересовались предметом, оформите кабинет математики как можно более информационно. И пусть над доской перед глазами учащихся имеется фраза великого чешского просветителя: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию» (Ян Амос Коменский, XVI в.). Доска в кабинете должна быть во всю ширину класса и в том, как ее вытирать, чтобы мел хорошо писал, тоже есть маленькая хитрость. Доску должны вытирать два ученика одновременно. Один вытирает мокрой капроновой тряпкой, другой за ним — сухой сладкой тряпкой (тряпка опускается в сахарный сироп и высушивается). Ее хватает на неделю, а на месяц хватает 0,5 литра сиропа, в котором разведено всего 2 столовые ложки сахарного песка.

(Учителям показаны 47 фотографий — фрагменты кабинета математики.)

II. О пифагорейских тройках

Для решения некоторых примеров по тригонометрии, например, таких:

1. Дано:

Найти: sin a.

2. Вычислите

вовсе не обязательно пользоваться формулами. Запись получается значительно короче, если использовать прямоугольный треугольник. Для этого полезно знать сведения о пифагорейских тройках.

1. Если числа a, b, c — пифагорейская тройка, то числа ka, kb, kc тоже пифагорейская тройка.

Например:

а) 5; 12; 13 (k = 1);
б) 10; 24; 26 (k = 2);
в) 15; 36; 39 (k = 3);
г) 

2. Числа  — пифагорейская тройка.

Например:

а) 
б) 
в) 

3, Новое о пифагорейских тройках.

Можно составить сколько угодно дробных пифагорейских троек такого вида, где числитель дроби равен целой части числа, а знаменатель — любое положительное число, одинаковое для всей тройки.

Например:

а) 3; 4; 5 — пифагорейская тройка;   т. е. 3,15; 4,2; 5,25 — пифагорейская тройка;
б) 8; 15; 17 — пифагорейская тройка; т. е. 9,6; 18; 20,4 — пифагорейская тройка.

Вернемся к примерам 1 и 2 этого пункта.

1. Дано:

Найти: sin a.

Решение. 

Вот и все решение. Формула не нужна. Нужно только четкое знание определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в треугольнике. Это очень помогает и в решении задач по геометрии.

2. Вычислите 

Ответ:

III. О квадратных уравнениях

Очень часто при поступлении в вуз учащиеся сталкиваются с уравнениями, где коэффициенты — слишком большие числа, и при нахождении дискриминанта в уравнении учащиеся получают такие большие числа, из которых трудно извлечь квадратный корень. Например, такое уравнение:

1999sin² x – 1997sin x – 2 = 0.

На самом деле, это уравнение решается устно. Поэтому такую маленькую хитрость, как приемы устного решения квадратных уравнений, надо обязательно показать учащимся.

Итак, ax² + bx + c = 0.

1) Если

Например:

2) Если

Например: 

3) Если то можно устно решить другое уравнение: x² + bx + ac = 0 и его корни разделить на a.

Например:

а) 
    

Решаем устно x² – 11x + 10 = 0. Его корни 10 и 1, и делим на 2.

Ответ:

б)  

Корни 9 и (– 2). Делим числа 9 и (– 2) на 6:

Ответ:

4) Используя пункты 1)–3), вы можете придумывать уравнения с рациональными корнями. Например, возьмем уравнение   x² – 13x + 36 = 0

(корни 4 и 9). 36 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

36 = 1·36; 36 = 2·18; 36 = 3·12; 36 = 4·9;

36 = 6·6; 36 = 9·4; 36 = 12·3; 36 = 18·2; 36 = 36·1.

Отсюда уравнения:

1x2 – 13x + 36 = 0; 36x2 – 13x + 1 = 0;	x2 + 13x + 36 = 0; 36x2 + 13x + 1 = 0;
2x2 – 13x + 18 = 0; 18x2 – 13x + 2 = 0;	2x2 + 13x + 18 = 0; 18x2 + 13x + 2 = 0;
3x2 – 13x + 12 = 0; 12x2 – 13x + 3 = 0;	3x2 + 13x + 12 = 0; 12x2 + 13x + 12 = 0;
4x2 – 13x + 9 = 0; 9x2 – 13x + 4 = 0;	4x2 + 13x + 9 = 0; 9x2 + 13x + 4 = 0;
6x2 – 13x + 6 = 0;	6x2 + 13x + 6 = 0.

Одно уравнение дало еще 17 уравнений с рациональными корнями.

IV. О приемах устных вычислений

Учащимся полезно показать приемы устных вычислений. Они могут ими не пользоваться, но у кого-то вызовут живейший интерес.

1. Умножение двузначных чисел

ab·cd = (10a + b)·(10c + d) = 100ac + 10bc + 10ad + bd = 100ac + 10(bc + ad) + bd.

Пояснения:

а) 2·6 = 12; два пишем и один запоминаем;
б) 2·4 = 8; 3·6 = 18; 8 + 18 = 26; 26 + 1 = 27 (десятков); семь пишем и два запоминаем;
в) 3·4 = 12; 12 + 2 = 14 (сотен); записываем 14.

2. Возведение в квадрат

а) 3² = 9;
б) (4·3)·2 = 24; четыре пишем, два запоминаем;
в) 4² = 16; 16 + 2 = 18.

3. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5

(10a + 5)² = 100a² + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25. a(a + 1) — число сотен искомого квадрата;
25 — две последние цифры.

352 = 1225 (3·4 = 12)

952 = 9025 (9·10 = 90)

4. Извлечение квадратного корня из полных квадратов

12 = 1; 92 = 81;

22 = 4; 82 = 64;

32 = 9; 72 = 49;

42 = 16; 62 = 36.

52 = 25.

Итак, полный квадрат может оканчиваться только цифрами: 1; 4; 9; 6 и 5.

Пример. 

1) 72 = 49 < 53;
2) 752 = 5625 > 5329, следовательно из тройки и семерки на конце берем 3.

5. Нахождение приближенного значения корня

6. Извлечение кубического корня

Значит, кубический корень из числа, на конце которого 1, 4, 5, 6, 9 имеет число единиц также 1, 4, 5, 6, 9.

Значит, кубический корень из числа, на конце которого 8, 7, 3, 2, имеет число единиц, дополняющее эти цифры до 10, т. е. 2, 3, 7, 8.

V. О некоторых вопросах стереометрии

1. Сразу после изучения аксиом стереометрии и их следствий следует изучать «Построение сечений многогранников плоскостью». Это трудно, но зато приучает учащихся «видеть» объемные фигуры, видеть, какая прямая ближе, какая дальше. И первую контрольную работу в 10-м классе нужно давать на построение сечений многогранников.

2. При изучении параллельной проекции фигуры (сразу после параллельности плоскостей) полезно ознакомить учащихся с центральной проекцией, рассказать о создателе начертательной геометрии Гаспаре Монже, соратнике Наполеона, который в египетском и итальянском походах обучал офицеров Наполеона математике. Рассказать о создателе проективной геометрии Жане Викторе Понселе, который вместе с Наполеоном вошел в Россию, под Смоленском был ранен и в плену в городе Саратове писал свою геометрию. Так что родиной проективной геометрии является город Саратов (1813). Нужно рассказать о кабинетной проекции, а чертежи плоских фигур в кабинетной проекции должны постоянно быть на стендах.

3. При изучении угла между прямой и плоскостью нужно непременно дать учащимся формулу двойного проектирования cos g = cos a cos b, чтобы значительно проще вычислять объемы некоторых многогранников.

4. При изучении теоремы о трех перпендикулярах очень полезно высвечивать прямо на доску готовые чертежи для решения одной и той же задачи.

Из точки M опустить перпендикуляр:

1) на стороны квадрата;   

2) на стороны ромба;

    

3) на стороны прямоугольного треугольника;

  

4) на стороны трапеции;

5) на хорду;

6) на стороны равнобедренного треугольника;

7) на стороны правильного треугольника.

 Так как высвечивание идет на доску, то задачи решаются очень быстро.

5. При изучении векторного аппарата в 10-м классе очень полезно сделать векторное доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости и теоремы о трех перпендикулярах.

следовательно, следовательно,

следовательно, следовательно,

6. Чтобы научить учащихся пространственному восприятию фигур, надо почаще создавать модели фигур. Делается это просто. В качестве плоскости берется пенопластовая пластинка. А отрезки прямых создаются из трубочек для коктейля. В каждую трубочку с двух сторон вставляется булавка, проколотая через ластик острием наружу.

Трубочки можно красить яркими фломастерами. На пенопластовую пластинку накалывается любой треугольник или многоугольник из цветной бумаги. Можно делать очень много различных моделей. Например, такую.

MC, MO, BD — трубочки

Но сначала можно дать чертеж на пленке, чтобы решить задачу.

Дано: MO^(ABC).

Доказать: MC^BD.

На чертеже эти отрезки кажутся параллельными. Но когда учащимся покажешь модель (или лучше они сами ее сделают), наступает «прозрение». С помощью пенопласта и трубочек можно строить модели любых пирамид, даже таких, у которых две несоседние грани перпендикулярны плоскости основания.

(MDC)^(ABC), (MBA)^(ABC), так как проходят через перпендикуляр MO к плоскости (ABC).