148 «хороших» графиков   квадратичной функции

Данный материал представляет собой учительскую шпаргалку, которая позволяет быстро подобрать для учащихся задания на построение графиков и исследование квадратичной функции (148 графиков!), причем все графики условно назовем «хорошими».
Что мы будем понимать под «хорошим» графиком квадратичной функции? График будем называть «хорошим», если при его построении выполняются следующие условия:

а) для построения графика достаточно следующей области системы координат: – 12Ј x Ј12 и – 12Ј y Ј12 (единичный отрезок при этом равен стороне тетрадной клетки);
б) вершина параболы имеет целочисленные координаты;
в) график пересекает ось Ox в точках с целочисленными координатами, ось Oy в большинстве случаев также пересекается графиком в «хороших» точках;
г) все точки пересечения графика с осями находятся в пределах видимости начерченной системы координат (в пределах половины листа ученической тетради!).

В шпаргалке приведены формулы для построения парабол, вершины которых расположены в IV четверти системы координат. Из каждой формулы можно получить еще три, достаточно лишь изменить коэффициенты квадратного трехчлена по указанному правилу, при этом полученные новые графики симметричны данным относительно осей Ox и Oy. На схеме показано, как изменяются коэффициенты квадратного трехчлена и координаты вершины параболы.

Итак, остается привести примеры функций, имеющих «хорошие» графики в IV четверти, с помощью которых мы можем получить и формулы для построения (и/или исследования) других «хороших» квадратичных функций (координаты вершины параболы указаны здесь для учителя, чтобы он мог быстро сориентироваться в расположении графика во время проверки выполненных учениками построений).

1	y = x2 – 2x – 8	(1; – 9)
2	y = x2 – 4x – 5	(2; – 9)
3	y = x2 – 6x	(3; – 9)
4	y = x2 – 8x + 7	(4; – 9)
5	y = x2 – 2x – 3	(1; – 4)
6	y = x2 – 4x	(2; – 4)
7	y = x2 – 6x + 5	(3; – 4)
8	y = x2 – 8x + 12	(4; – 4)
9	y = x2 – 2x	(1; – 1)
10	y = x2 – 4x + 3	(2; – 1)
11	y = x2 – 6x + 8	(3; – 1)
12	y = 2x2 – 4x – 6	(1; – 8)
13	y = 2x2 – 8x	(2; – 8)
14	y = 2x2 – 12x + 10	(3; – 8)
15	y = 2x2 – 4x	(1; – 2)
16	y = 2x2 – 8x + 6	(2; – 2)
17	y = 3x2 – 6x	(1; – 3)
18	y = 3x2 – 12x + 9	(2; – 3)
19	y = 4x2 – 8x	(1; – 4)
20	y = 0,5x2 – x – 7,5	(1; – 8)
21	y = 0,5x2 – 2x – 6	(2; – 8)
22	y = 0,5x2 – 3x – 3,5	(3; – 8)
23	y = 0,5x2 – 4x	(4; – 8)
24	y = 0,5x2 – x – 1,5	(1; – 2)
25	y = 0,5x2 – 2x	(2; – 2)
26	y = 0,5x2 – 3x + 2,5	(3; – 2)
27	y = 0,5x2 – 4x + 6	(4; – 2)
28		(3; – 3)
29	y = 0,25x2 – x – 8	(2; – 9)
30	y = 0,25x2 – 2x – 5	(4; – 9)
31	y = 0,25x2 – 3x	(6; – 9)
32	y = 0,25x2 – x – 3	(2; – 4)
33	y = 0,25x2 – 2x	(4; – 4)
34	y = 0,25x2 – 3x + 5	(6; – 4)
35	y = 0,25x2 – x	(2; – 1)
36	y = 0,25x2 – 2x + 3	(4; – 1)
37	y = 0,25x2 – 3x + 8	(6; – 1)

В качестве примера использования этой шпаргалки автором предложена разбивка части приведенных здесь заданий на 20 вариантов, содержащих по четыре формулы с различными коэффициентами при x2.

Постройте графики квадратичных функций и исследуйте одну из них по указанию учителя.

Вариант 1

1. y = x² – 4x
2. y = – 2x² + 4x + 6
3. y = – 0,5x² – 3x – 2,5.
4. y = 0,25x² + 3x + 5.

Вариант 2

1. y = x² + 6x.
2. y = – 3x² – 12x – 9.
3. y = 0,25x² – x – 7,5.
4. y = – 0,25x² + 2x + 5.

Вариант 3

1. y = – x² + 2x + 8.
2. y = 2x² – 12x + 10.
3. y = – 0,5x² – 2x.
4. y = 0,25x² + 2x – 5.

Вариант 4

1. y = – x² + 6x – 8.
2. y = 3x² + 12x + 9.
3. y = 0,5x² – 4x.
4. y = – 0,25x² – 3x – 5.

Вариант 5

1. y = x² + 8x + 12.
2. y = – 2x² + 8x.
3. y = 0,5x² – x – 1,5.
4. y = – 0,25x² – x + 3.

Вариант 6

1. y = x² + 6x + 8.
2. y = – 3x² + 6x.
3. y = 0,5x² – 2x – 6.
4. y = – 0,25x² – 2x + 5.

Вариант 7

1. y = x² – 8x + 7.
2. y = – 2x² – 12x – 10.
3. y = 0,5x² + 2x.
4. y = – 0,25x² + 3x – 8.

Вариант 8

1. y = x² – 2x – 3.
2. y = – 2x² + 8x – 6.
3. y = 0,5x² + 4x + 6.
4. y = – 0,25x² – 3x.

Вариант 9

1. y = – x² – 4x + 5.
2. y = 2x² – 4x – 6.
3. y = 0,5x² + 3x + 2,5.
4. y = – 0,25x² + 2x.

Вариант 10

1. y = – x² – 2x + 8.
2. y = 2x² + 8x + 6.
3. y = – 0,5x² + 3x – 2,5.
4. y = 0,25x² – 3x.

Вариант 11

1. y = – x² + 4x.
2. y = 2x² + 4x – 6.
3. y = – 0,5x² – 3x + 3,5.
4. y = 0,25x² – 2x – 5.

Вариант 12

1. y = x² + 2x – 3.
2. y = – 2x² – 8x.
3. y =  – 0,5x² + 3x + 3,5.
4. y = 0,25x² – x – 8.

Вариант 13

1. y = – x² – 6x.
2. y = 2x² – 8x + 6.
3. y = – 0,5x² + 4x – 6.
4. y = 0,25x² + 3x + 8.

Вариант 14

1. y = – x² – 4x – 3.
2. y = – 2x² + 12x – 10.
3. y = 0,5x² + x – 7,5.
4. y = 0,25x² – 2x.

Вариант 15

1. y = – x² + 6x – 5.
2. y = – 2x² – 8x – 6.
3. y = 0,5x² + 4x.
4. y = 0,25x² – 3x + 8.

Вариант 16

1. y = – x² – 2x.
2. y = – 3x² + 12x – 9.
3. y = 0,5x² – 3x – 3,5.
4. y = 0,25x² + 2x + 3.

Вариант 17

1. y = – x² + 4x – 3.
2. y = 2x² – 4x.
3. y = 0,5x² + 3x – 3,5.
4. y = – 0,25x² – 2x – 3.

Вариант 18

1. y = x² – 4x + 3.
2. y = 2x² + 12x + 10.
3. y = – 0,5x² – 4x.
4. y = – 0,25x² + 3x – 5.

Вариант 19

1. y = x² – 6x + 8.
2. y = – 2x² – 4x + 6.
3. y = – 0,5x² + 2x + 6.
4. y = 0,25x² + 2x.

Вариант 20

1. y = x² + 8x + 7.
2. y = 2x² – 8x.
3. y = – 0,5x² + x + 1,5.
4. y = – 0,25x² – 3x – 8.

Примечание. Используя квадратный трехчлен любой из данных квадратичных функций, можно очень быстро составить задания для решения квадратных уравнений и квадратных неравенств, причем все они будут иметь целочисленные («хорошие») корни.

Приведем пример составления уравнений и неравенств для квадратного трехчлена x2 – 6x + 5, данного в формуле 7.

1) x² – 6x + 5 = 0 (или – x² + 6x – 5 = 0);
2) x² + 6x + 5 = 0 (или – x² – 6x – 5 = 0).

Всего можно составить 40 различных уравнений.

3) x² – 6x + 5 < 0 (или – x² + 6x – 5 > 0);
4) x² – 6x + 5 > 0 (или – x² + 6x – 5 < 0);
5) x² – 6x + 5 Ј 0 (или – x² + 6x – 5 і 0);
6) x² – 6x + 5 і 0 (или – x² + 6x – 5 Ј 0);
7) x² + 6x + 5 < 0 (или – x² – 6x – 5 > 0);
8) x² + 6x + 5 > 0 (или – x² – 6x – 5 < 0);
9) x² + 6x + 5 Ј 0 (или – x² – 6x – 5 і 0);
10) x² + 6x + 5 і 0 (или – x² – 6x – 5 Ј 0).

Всего можно составить 160 различных неравенств.

.