Система тестов для
математических классов

Окончание. См. № 13–15, 18–20, 22/2002.

Делимость целых чисел – II

1. Если а делится на с и b делится на с, где a, b, с – целые числа, то …

A. Числа (a + b) и (a – b) делятся на c.
B. Ни (a + b), ни (a – b) не делятся на c.
C. (a + b) делится на c, и (a – b) не делится на c.
D. (a – b) делится на c, и (a + b) не делится на c.
E. нет правильного ответа.

2. Если b и c взаимно простые числа, a делится на b и a делится на c, то …

A. a делится на число b + c.
B. a делится на число b – c.
C. a делится на число b•c.
D. нет правильного ответа.

3. Для любых целых чисел a и b число a•b•(a – b)•(a + b) делится на …

A. 5.
B. 6.
C. 7.
D. 8.
E. нет правильного ответа.

 4. Если числа a и с взаимно простые и число a•b (b – целое) делится на c, то …

A. b и c взаимно простые.
B. число a•c делится на b.
C. число b – c делится на c.
D. нет правильного ответа.

5. Число 18а + 3с, где а и с – целые числа, делится на 9 …

A. Тогда и только тогда, когда а делится на 9 и с делится на 3.
B. только в том случае, если с делится на 3.
C. только в том случае, если а делится на 6.
D. нет правильного ответа.

6. Если натуральное число а делится на 3 и делится на 9, то …

A. а делится на 5.
B. а делится на 27.
C. а делится на 18.
D. нет правильного ответа.

7. Утверждение «p² – 1 – простое число» верно для …

A. p = 2.
B. p = 2 и p = 122.
C. всех натуральных значений p.
D. всех простых p.
E. нет правильного ответа.

8. Число 9ⁿ – 1, где n – натуральное число, делится на 8 при условии, что …

A. n – четное.
B. n – нечетное.
C. n – любое.
D. однозначно определить нельзя.
E. нет правильного ответа.

9. Число 17^с + 1, где с –натуральное число, делится на 9 при условии, что …

A. с – четное.
B. с – нечетное.
C. однозначно определить нельзя.
D. нет правильного ответа.

10. Число 7ⁿ + 3, где n – натуральное число, делится на 13 при условии, что …

A. n – четное.
B. n – нечетное.
C. n – любое.
D. нет правильного ответа.

11. Если целое число а делится на 7, а целое число с делится на 38, то число 19•а + 14•с делится …

A. на 2 и на 3.
B. на 5.
C. на 7 и на 9.
D. на 133.
E. на 135.
F. нет правильного ответа.

12. Число 7^а – 5^а делится на 24, если а – …

A. Четное и не делится на 4.
B. четное.
С. любое натуральное.
D. нет правильного ответа.

13. Произведение 2•2•2•3•3 имеет ... различных натуральных делителей.

A. 10.
B. 12.
C. 14.
D. нет правильного ответа.

14. Если произведение (n + 1)•(n + 2)•...• (2n – 1)•2n, где n – натуральное число, разложить на простые множители, то показатель степени двойки будет равен …

A. n.
B. 10.
C. n – 1.
D. 2n – 1.
E. нет правильного ответа.

15. Количество натуральных чисел n, таких что каждое из чисел n – 2. n + 24. n + 26 является простым, равно …

A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
E. 26.
F. таких чисел бесконечно много.
G. нет правильного ответа.

16. Десятичная запись числа а, равного 15!, оканчивается на …

A. Один нуль.
B. два нуля.
C. три нуля.
D. четыре нуля.
E. нет правильного ответа.

17. Если – десятичные записи чисел, то число – кратно …

A. 9 и 10.
B. 9 и 11.
C. 11 и 22.
D. нет правильного ответа.

18. Если различные числа a, b, c, d – целые и a•b + c•d делится на a + c, то a•d + c•b не делится на …

A. a + c.
B.|a – c|.
C. b + d.
D. |b – d|.
E. нет правильного ответа.

19. Пусть среди первой тысячи натуральных чисел а – количество чисел, делящихся и на 3 и на 5. b – количество чисел не делящихся ни на 3, ни на 5. с – количество чисел, делящихся на 3 или на 5, тогда …

A. c > b > a.
B. c > a > b.
C. b > c > a.
D. a > c > b.
E. нет правильного ответа.

20. Если число а – четное, а число с – нечетное, то …

A. Числа (а + с)•c – нечетное и а – с – четное.
B. числа ас – четное и а•(a + 5с) – четное.
C. числа а + 2с – четное и 3а + с – нечетное.
D. нет правильного ответа.

21. Если а делится на 3, а с не делится на 3, то число …

A. а + с делится на 3.
B. а – с делится на 3.
C. а•с делится на 3.
D. нет правильного ответа.

22. Если число а – четное, то остаток от деления а на 6 может быть равен …

A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 8.
E. нет правильного ответа.

23. Если НОД(а; 6) = 1, то число а² при делении на 24 дает остаток, равный …

A. 1.
B. 4.
C. 7.
D. 10.
E. нет правильного ответа.

24. Если а и с – натуральные числа, сумма которых равна 35, и НОК(а; с) = 42, то …

A. Одно из них равно 21, другое – 14.
B. а = 21 и с = 14 или а = 7 и с = 28.
C. Таких пар чисел не существует.
D. нет правильного ответа.

Последовательности и прогрессии

1. Бесконечной числовой последовательностью называется …

A. Произвольная функция.
B. Функция, заданная на множестве N.
C. Функция, заданная на множестве N и имеющая областью значений подмножество N.
D. Числовая функция, заданная на множестве N.
E. нет правильного ответа.

 2. Последовательность (a_n) является конечной, если …

A. Ее область определения состоит из натуральных чисел от 1 до k.
B. ее область определения – множество N.
C. существует k, такое что для любого n из ее области определения |а_n| Ј k.
D. существует k, такое что для любого n из ее области определения |а_n| і k.
E. нет правильного ответа.

 3. Последовательность (a_n): 2, 4, 6, 8, 10, 9, … является …

A. Возрастающей.
B. не возрастающей.
C. убывающей.
D. не убывающей.
E. нет правильного ответа.

4. Последовательность является монотонной, если ...

A. n-й член равен остатку от деления n на 7.
B. n-й член равен числу, обратному числу n.
C. n-й член равен сумме цифр числа n.
D. n-й член равен десятичному приближению дроби взятому с недостатком с точностью до n знаков после запятой.
E. нет монотонных последовательностей.

5. Даны две последовательности a_n = n! и b_n = n³. Для любого n, большего 5, …

A. a_n < b_n.
B. a_n > b_n.
C. a_n Ј b_n.
D. a_n і b_n.
E. нет правильного ответа.

6. B последовательности (a_n):  

E. нет правильного ответа.

7. B последовательности (a_n):

E. нет правильного ответа.

8. Последовательность (xn) задана рекуррентно: x₁ = – 5, x_n•x_{n + 1} = 2. Седьмой член этой последовательности равен …

D. нет правильного ответа.

9. Арифметической прогрессией называется последовательность (a_n), для которой …

A. Формула n-ого члена имеет вид a_n = k•n + b.
B. равны разности двух пар соседних членов.
C. существует такое b, что для любого натурального n a_n+1 = a_n + b.
D. нет правильного ответа.

10. Геометрической прогрессией называется последовательность (a_n), для которой …

A. Формула n-ого члена имеет вид a_n = k•t^{a•n + b}.
B. существует такое b, что для любого натурального n a_{n + 1} = a_n•b.
C. равны отношения двух пар соседних членов.
D. нет правильного ответа.

11. Последовательность (a_n) задана рекуррентно: a₁ = 5, a_{n + 1} = a_n – 8. Последовательность (a_n) является …

A. Арифметической прогрессией с разностью 8.
B. арифметической прогрессией с разностью – 8.
C. геометрической прогрессией со знаменателем 8.
D. геометрической прогрессией со знаменателем – 8.
E. нет правильного ответа.

12. Геометрическая прогрессия (b_n) задана однозначно, если даны ...

A. b₁ и b_m (m № 1).
B. b_k и b_p (k № p).
C. b₁, b_t и b_s (l, t, s – попарно различны).
D. b_n и знаменатель прогрессии.
E. нет правильного ответа.

13. (a_n) – арифметическая прогрессия, разность которой равна d. Она является возрастающей тогда и только тогда, когда ...

A. d < 0.
B. d > 0.
C. d і 0.
D. d Ј 0.
E. нет правильного ответа.

14. (a_n) – геометрическая прогрессия со знаменателем q. Она является возрастающей тогда и только тогда, когда ...

A. a₁ < 0, q < 1.
B. a₁ > 0, q > 1.
C. q > 1.
D. q < 1.
E. нет правильного ответа.

15. Выражение, задающее n-й член арифметической прогрессии, может иметь вид …

A. 9• n – 5.
B. n² – 1.
C. 2ⁿ.
D. нет правильного ответа.

16. Выражение, задающее n-й член геометрической прогрессии, может иметь вид …

A. 9•n + 5.
B. 2n² + 10.
C. 3²ⁿ.
D. нет правильного ответа.

17. Характеристическим свойством арифметической прогрессии (a_n) является:

A. Для любого n, большего 1,
B. для любого n, большего 1, a_n•a_n = a_{n – 1}•a_{n + 1}.
C. формула n-ого члена имеет вид: a_n = k•n + b.
D. формула n-ого члена имеет вид: a_n = k•n + b (k и b – натуральные числа).
E. нет правильного ответа.

18. Характеристическим свойством геометрической прогрессии (a_n) является …

A. Для любого n, большего 1:
B. Для любого n, большего 1: a_n•a_n = a_{n – 1}•a_{n + 1}.
C. формула n-ого члена имеет вид a_n =t^an+b ,   где t О R.
D. нет правильного ответа.

19. (a_n) – арифметическая прогрессия. Не является арифметической прогрессией последовательность:

A. a₁; a₃; a₅; ... ; a_{2n – 1}; ... .
B. t•a₁ + 3; t•a₂ + 3; t•a3 + 3; ... ; t•a_n + 3; ... , где t О R.
C .
D. a₁ + 3; a₂ + 4; a₃ + 5; ... ; a_n + n + 2; ... .
E. все последовательности – арифметические прогрессии.

 20. (b_n) – геометрическая прогрессия. Не является геометрической прогрессией последовательность:

A. b₂; b₄; b₆; ... ; b_2n; ... .
B. t•b₁; t•b₂; t•b₃; ... ; t•b_n; ... , где t О R.
C.
D. все указанные последовательности – геометрические прогрессии.

21. Если (a_n) – арифметическая прогрессия и m – p = r – k (m, p, r, k – натуральные числа), то …

A. a_m + a_r = a_p + a_k.
B. a_m + a_k = a_p + a_r.
C. a_m + a_p = a_r + a_k.
D. a_m – a_p = a_k – a_r.
E. a_p – a_m = a_k – a_r.
F. нет правильного ответа.

22. Если (b_n) – геометрическая прогрессия и b_m•b_k = b_p•b_r, то …

A. m – k = p – r.
B. m – p = r – k.
C. m – p = k – r.
D. m – k = r – p.
E. нет правильного ответа.

23. Сумма первых n членов некоторой арифметической прогрессии может иметь вид ...

A. 5n + 3.
B. n² + 6.
C. n² + 5n.
D. n³ – 6n + 5.
E. n² + 6n – 1.
F. нет правильного ответа.

24. Сумма первых n членов некоторой геометрической прогрессии может иметь вид ...

A. 8n + 5.
B. 9n² + 4n.
C. 2ⁿ – n.
D. 2ⁿ.
E. Нет правильного ответа.

25. Геометрическая прогрессия (a_n) со знаменателем q называется бесконечно убывающей, если ...

A. q > 1.
B. q < 1.
C. – 1 < q < 1.
D. q > 1 или q < – 1.
E. нет правильного ответа.

26. Если числа являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа ...

A. a², b², c² образуют арифметическую прогрессию.
B. a², b2, c2 образуют геометрическую прогрессию.
C. a, b, c образуют арифметическую прогрессию.
D. a, b, c образуют геометрическую прогрессию.
E. нет правильного ответа.

27. (a_n) – арифметическая прогрессия, a₂₃ = 10. Сумма первых сорока пяти членов этой прогрессии равна …

A. 45.
B. 90.
C. 450.
D. 460.
E. нет правильного ответа.

28. (b_n) – геометрическая прогрессия, b₈•b₁₈ = 9, b₁ < 0, следовательно, b₁₃ = …

A. – 3.
B. 3.
C. 9.
D. 81.
E. нет правильного ответа.

29. Сумма первых пятидесяти членов арифметической прогрессии равна 100, сумма девятнадцатого и тридцать второго членов равна …

A. 2.
B. 4.
C. 7.
D. 11.
E. нет правильного ответа.

30. В геометрической прогрессии сумма первых пяти членов равна 1, сумма следующих пяти членов равна 2, сумма следующих пяти членов этой прогрессии равна …

A. 8.
B. 5.
C. 4.
D. 3.
E. нет правильного ответа.

31. Бесконечная сумма равна

E. нет правильного ответа.

32. Три числа образуют арифметическую прогрессию с разностью d и одно из чисел кратно d. Их произведение делится на ...

A. 2d.
B. 3d².
C. 6d³.
D. 12d².
E. нет правильного ответа.

Ответы

Четырехугольники. I. 1. B. 2. A. 3. A. 4. A. 5. C. 6. A. 7. A. 8. A. 9. A. 10. A, E. 11. C, D. 12. D. 13. A. 14. A. 15. B, D. 16. C. 17. D. 18. C. 19. C, D. 20. A, B. 21. A. 22. C. 23. B. 24. B. 25. A. 26. D. 27. B. 28. B, C. 29. B. 30. A.
Четырехугольники. II. 1. B. 2. A. 3. C. 4. D. 5. B. 6. A. 7. A. 8. D. 9. C. 10. B. 11. C. 12. D. 13. E. 14. B, D. 15. C. 16. A. 17. A. 18. D. 19. D. 20. B.
Теорема Пифагора. 1. E. 2. B. 3. A. 4. B. 5. C. 6. C. 7. A. 8. D. 9. B. 10. B. 11. A, C. 12. B. 13. C. 14. A. 15. A. 16. C. 17. A. 18. D. 19. B. 20. A.
Декартовы координаты на плоскости. 1. B. 2. A. 3. A, E. 4. B. 5. C. 6. A, B, C. 7. B. 8. B. 9. E. 10. A. 11. E. 12. A. 13. E. 14. A. 15. D. 16. B. 17. C. 18. D. 19. B. 20. C.
 Преобразование на плоскости – I. 1. C. 2. B. 3. B. 4. A, D. 5. A, D, F. 6. C. 7. A, D. 8. B, C. 9. A. 10. B, C. 11. C. 12. B. 13. A. 14. C. 15. D. 16. C. 17. B. 18. A. 19. F. 20. C. 21. A. 22. C. 23. E. 24. B. 25. F. 26. B. 27. A. 28. E. 29. E.
Преобразование на плоскости – II. 1. D. 2. B, E. 3. B. 4. B. 5. B, D. 6. C. 7. A, B, D. 8. C. 9. C. 10. A. 11. H. 12. D. 13. H. 14. B. 15. D. 16. A, C, E, G. 17. B, D. 18. A, E, G. 19. C. 20. D. 21. A, M. 22. A. 23. D. 24. E. 25. C.
Векторы. 1. B. 2. B. 3. A, D. 4. B. 5. C. 6. B. 7. A, E. 8. B. 9. D. 10. D. 11. A. 12. B. 13. C. 14. B, F. 15. D. 16. D. 17. A. 18. B, D. 19. A, C. 20. B, C. 21. B. 22. C. 23. A. 24. D.
Делимость целых чисел – I. 1. C. 2. D. 3. A. 4. A. 5. D. 6. B. 7. B, C. 8. B, D. 9. A. 10. B. 11. C. 12. A. 13. C. 14. B. 15. D. 16. C. 17. B. 18. A. 19. B, C. 20. D. 21. A, C. 22. B, C. 23. C. 24. C. 25. A. 26. B. 27. A.
Делимость целых чисел – II. 1. A. 2. C. 3. B. 4. C. 5. B. 6. D. 7. A. 8. C. 9. B. 10. D. 11. D. 12. B. 13. B. 14. A. 15. B. 16. C. 17. B. 18. C. 19. C. 20. B, C. 21. C. 22. B. 23. A. 24. A.
Последовательности и прогрессии. 1. D. 2. A. 3. E. 4. B, D. 5. B. 6. C. 7. B. 8. A. 9. C. 10. B. 11. B. 12. D. 13. B. 14. B. 15. A. 16. C. 17. A. 18. B. 19. C. 20. D. 21. B, E. 22. B. 23. C. 24. D. 25. C. 26. A. 27. C. 28. A. 29. B. 30. C. 31. D. 32. C.

.